PREPA COURCELLES PREMIERE ANNEE
1
Suites récurrentes usuelles
1. Suites arithmético-géométriques 𝑢!!! = 𝑎.𝑢!+𝑏
et posons :
𝑥= 𝑎𝑥+𝑏 (1)
Soustrayons membre à memnbre les deux précédentes égalités :
𝑢!!!−𝑥=𝑎.𝑢!+𝑏−𝑎𝑥−𝑏
En simplifiant par b et en factorisant par a :
𝑢!!!−𝑥=𝑎.(𝑢!−𝑥) (2)
Soit : 𝑣! = 𝑢!−𝑥 (3)
On reconnaît alors, dans l’équation (2) : 𝑣!!! = 𝑎.𝑣!
(v) est donc une suite géométrique de raison a. Ainsi : 𝑣! =𝑣!.𝑎!
Par ailleurs, la résolution de l’équation du premier degré (1) conduit à : 𝑥=!!!!
Ainsi, en reportant la valeur de x dans l’équation (3) : 𝑣! = 𝑢!−!!!!
Donc : 𝑢! = 𝑣!+!!!! = 𝑣!.𝑎! +!!!! = (𝑢!−𝑥).𝑎! +!!!!
Finalement :
𝑢!= (𝑢!−!!!! ).𝑎!+!!!!
PREPA COURCELLES PREMIERE ANNEE
2 2. Suites récurrentes d’ordre 2
𝑢!!! = 𝑎.𝑢!!!+𝑏𝑢! 𝑢! et 𝑢! sont fixés
On commence par résoudre l’équation caractéristique : 𝑟! =𝑎𝑟+𝑏 ⟺𝑟!−𝑎𝑟−𝑏= 0
Δ=𝑎!+4𝑏
1𝑒𝑟 𝑐𝑎𝑠∶ Δ> 0. Dès lors l’équation admet 2 solutions : 𝑟! = !! !!!!!! et 𝑟! = !! !!!!!!
et il existe 2 réels A et B à déterminer tels que : 𝑢! =𝐴.𝑟!!+𝐵.𝑟!! (1) Déterminons A et B :
Pour 𝑛= 0, l’expression (1) devient : 𝑢! =𝐴.𝑟!!+𝐵.𝑟!! ⟺𝐴+𝐵=𝑢! Pour 𝑛= 1, l’expression (1) devient : 𝑢! =𝐴.𝑟!!+𝐵.𝑟!! ⟺𝐴𝑟!+𝐵𝑟! =𝑢!
On est donc en présence d’un système de 2 équations dont les 2 inconnues sont A et B : En multipliant la première par 𝑟! et en soustrayant la seconde de la première :
𝐴𝑟!+𝐵𝑟!−𝐴𝑟!−𝐵𝑟! =𝑟!𝑢!−𝑢!
En simplifiant par 𝐴𝑟! et en factorisant par B : 𝐵(𝑟!−𝑟!) =𝑟!𝑢!−𝑢! ⟺ 𝐵=𝑟!𝑢!−𝑢!
𝑟! −𝑟!
La première équation permet de déduire la valeur de A : 𝐴+𝐵= 𝑢! ⟺𝐴 = 𝑢!−𝐵 =𝑢! −𝑟!𝑢!−𝑢!
𝑟!−𝑟! En mettant au même dénominateur :
𝐴 =𝑢!(𝑟!−𝑟!)
𝑟!−𝑟! −𝑟!𝑢!−𝑢!
𝑟! −𝑟! =𝑢!𝑟!−𝑢!𝑟!−𝑟!𝑢! +𝑢! 𝑟!−𝑟!
En simplifiant par 𝑢!𝑟! : 𝐴 =𝑢!−𝑢!𝑟!
𝑟!−𝑟! Finalement : 𝑢! =𝑢!−𝑢!𝑟!
𝑟!−𝑟! .𝑟!!+𝑟!𝑢!−𝑢! 𝑟!−𝑟! .𝑟!!
On ne retient pas cette formule. On la ré-établit dans chaque cas particulier. La démonstration ci-dessus doit donc être parfaitement connue.
PREPA COURCELLES PREMIERE ANNEE
3
2è𝑚𝑒 𝑐𝑎𝑠∶ Δ= 0. Dès lors l’équation admet 1 seule solution : 𝑟=!
! Dès lors : 𝑢! = 𝐴𝑛+𝐵 .𝑟! (2)
Déterminons A et B :
Pour 𝑛= 0, l’expression (2) devient : 𝑢! =𝐵𝑟! ⟺ 𝐵=𝑢!
Pour 𝑛= 1, l’expression (2) devient : 𝑢! =(𝐴+𝐵)𝑟! ⟺ 𝐴𝑟+𝐵𝑟= 𝑢! En remplaçant B par 𝑢! dans la seconde équation :
𝐴𝑟+𝑢!𝑟= 𝑢! Dès lors : 𝐴 =𝑢!−𝑢!𝑟
𝑟 =𝑢! 𝑟 −𝑢! Finalement
𝑢! = 𝑢!
𝑟 −𝑢! 𝑛+𝑢! . 𝑟 ! = 2𝑢!
𝑎 −𝑢! 𝑛+𝑢! . 𝑎 2
!
On ne retient pas cette formule. On la ré-établit dans chaque cas particulier. La démonstration ci-dessus doit donc être parfaitement connue.
Exemple
𝑢!!! =6.𝑢!!!−9.𝑢! ; 𝑢! = 5 ; 𝑢! = 6
Dans ce cas, l’équation caractéristique est 𝑟!−6𝑟+9=0. Donc : Δ=36−4.1.9=0.
Donc l’équation a une solution unique : 𝑟= −!!! =3
En refaisant toute la démonstratrion ci-dessus en remplaçant a par 6 et b par -9, on obtient :
𝑢! = −3𝑛+5 .3!
