Introduction aux suites en prépa ECE
1. Suites arithmétiques
a. Définition 𝑢!!! = 𝑢!+𝑟
𝑢! fixé
r est une constante réelle appelée « raison ».
b. Théorème
Si 𝑢! !∈! est une suite arithémétique alors :
𝑢! =𝑢! +𝑛𝑟= 𝑢!+ 𝑛−1 𝑟= 𝑢!+ 𝑛−2 𝑟= ⋯= 𝑢!+ 𝑛−𝑝 𝑟
c. Somme des premiers termes
𝑢!+𝑢!+⋯𝑢! = 𝑢! =𝑛+1 2
!
!!!
𝑢!+𝑢!
2. Nouvelles sommes
a. Somme des premiers nombres
1+2+⋯+𝑛= 𝑘
!
!!!
= 𝑖
!
!!!
=𝑛(𝑛+1) 2
Peu importe de sommer par rapport à k ou par rapport à i ou rapport à une toute lettre : celle-ci n’apparaît pas dans le résultat. C’est n (terme au dessus du symbole
« sigma » ) qui est dans le résultat final. On dit que k est une variable muette.
Cette formule se démontre par récurrence mais elle peut être utilisée, dans un sujet de concours, sans démonstration
En remplaçant n par n+1 c’est-à-dire en ajoutant un terme de plus :
1+2+3+⋯+ 𝑛+1 = 𝑘
!!!
!!!
= 𝑛+1 𝑛+1+1
2 = 𝑛+1 𝑛+2 2 En remplaçant n par n-1:
1+2+⋯+ 𝑛−1 = 𝑘
!!!
!!!
= 𝑛−1 𝑛−1+1
2 = 𝑛−1 𝑛 2
b. Somme des 1
1
!
!!!
=1+1+⋯+1=𝑛
car il y a n termes quand on somme de 1 à 𝑛
1
!!!
!!!
= 1+1+⋯+1= 𝑛+1
car il y a n+1 termes quand on somme de 1 à 𝑛+1
1
!
!!!
=1+1+⋯+1=𝑛+1
car il y a encore n+1 termes quand on somme de 0 à 𝑛
c. Application à la démonstration de la formule de la somme des premiers termes d’une suite arithmétique 𝑢! 𝒏∈𝑵
𝑢! !∈! étant arithmétique, on peut écrire : 𝑢! = 𝑢!+𝑛𝑟
En remplaçant n par k : 𝑢! = 𝑢!+𝑘𝑟 Donc :
𝑢! =
!
!!!
𝑢!+𝑘𝑟 =
!
!!!
𝑢!+ 𝑘𝑟=
!
!!!
!
!!!
𝑢! 1
!
!!!
+𝑟 𝑘
!
!!!
Or :
𝑘
!
!!!
= 0+1+2+⋯+𝑛= 1+2+⋯+𝑛= 𝑛(𝑛+1) 2 Dès lors :
𝑢! =𝑢! 𝑛+1 +𝑟
!
!!!
𝑛(𝑛+1)
2 = 𝑛+1 𝑢! +𝑛𝑟
2 = 𝑛+1 2𝑢!+𝑛𝑟 2 𝑢! =
!
!!!
𝑛+1
2 𝑢!+𝑢!+𝑛𝑟 𝑢! =
!
!!!
𝑛+1
2 (𝑢!+𝑢!)
3. Suites géométriques
a. Définition 𝑢!!! =𝑞.𝑢!
𝑢! fixé
q est une constante réelle appelée « raison »
b. Théorème
Si 𝑢! !∈! est une suite géométrique alors : 𝑢! =𝑢!𝑞! =𝑢!𝑞!!! =𝑢!𝑞!!! =⋯ =𝑢!𝑞!!!
c. Sommes très usuelles et variantes
𝑞! =𝑞!1−𝑞!!!
1−𝑞
!
!!!
car de 0 à n, il y a n +1 termes : n termes de 1 à n et 1 de plus si on part de 0 ; dans ce cas, il y a donc : n+1 termes
𝑞! =𝑞!1−𝑞! 1−𝑞
!
!!!car de 1 à n, il y a n termes
𝑞! = 𝑞!1−𝑞!!!
1−𝑞
!!!
!!!car de 1 à n-1 il y a n -1 termes
𝑞! = 𝑞!1−𝑞! 1−𝑞
!!!
!!!car de 0 à n-1, il y a n termes : n-1 termes de 1 à n-1 et 1 de plus si on part de 0 ; dans ce cas, il y a donc : n-1+1 = n termes
4. Contre-exemples de suites géométriques
a. Considération préliminaire sur les factorielles
Lorsque l’on multiplie tous les nombres entre eux de 1 à n, on écrit : 1.2.3….𝑛= 𝑛!
On lit « factorielle n »
Evidemment, comme la multiplication par 1 ne change rien à l’opération : 1.2.3….𝑛= 2.3….𝑛 = 𝑛!
Si on s’arrête à (𝑛−1) :
1.2.3…. 𝑛−1 =1.2.3….(𝑛−2) 𝑛−1 = 𝑛−1 ! Si on va jusqu’à 𝑛+1 :
1.2.3….𝑛. 𝑛+1 = 𝑛+1 !
b. Contre-exemple simple 𝑢!!! = 𝑛.𝑢!,∀𝑛∈𝑁∗
𝑢! = 1
Cette suite ressemble à une suite géométrique (𝑢!!! = 𝑞.𝑢!) mais ce n’en est pas une car n peut prendre toute valeur entière strictement positive (𝑛 ∈𝑁∗). En d’autres termes, n n’est pas une constante. La suite récurrente à étudier n’a donc pas de raison. Elle n’est donc pas géométrique
Pour exprimer 𝑢! en fonction de n, il convient, dans ce cas, de s’inspirer de la méthode retenue pour démontrer que 𝑢! = 𝑢!𝑞! (cf. : fiche sur les suites récurrentes). Il s’agit d’écrire tous les termes de la suite jusqu’à 𝑢! que l’on recherche :
Pour n=1 : 𝑢! = 1.𝑢! Pour n=2 : 𝑢! = 2.𝑢! Pour n=3 : 𝑢! = 3.𝑢! .
. .
Et, enfin : 𝑢! = (𝑛−1).𝑢!!!
Par multiplications membre à membre :
• Le 𝑢! de la première ligne se simplifie avec le 𝑢! de la deuxième ligne
• Le 𝑢! de la deuxième ligne se simplifie avec le 𝑢! de la troisième ligne On constate que les termes se simplifient en cacades…
Et on imagine, que l’avant dernière ligne est : 𝑢!!! = (𝑛−2).𝑢!!!
Dès lors, les 2 dernières lignes sont : 𝑢!!! = (𝑛−2).𝑢!!!
𝑢! =(𝑛−1).𝑢!!!
Ainsi les 𝑢!!! de l’avant dernière ligne se simplifie avec le 𝑢!!! de la dernière ligne.
Finalement :
• à gauche du signe « = », il ne reste que 𝑢!. C’était le but de la démarche car c’est procisément ce que l’on cherche ;
• à droite du signe « = », il reste : 1.2.3… 𝑛−2 𝑛−1 𝑢! Par conséquent :
𝑢! =1.2.3… 𝑛−2 𝑛−1 𝑢! = 𝑛−1 !𝑢!
Comme 𝑢! =1 : 𝑢! = 𝑛−1 !
c. Contre-exemple issu du sujet HEC 2010 Soit la suite 𝐼! définie par :
𝐼! = !!𝑡!𝑒!!𝑑𝑡
!
Il n’est pas possible de calculer directement 𝐼! car on ne connaît pas de primitive de 𝑡!𝑒!!. Dans ce contexte, très fréquent dans les sujets de concours, l’énoncé requiert
• d’abord de calculer 𝐼! ;
• puis d’exprimer 𝐼! en fonction de 𝐼!!! ;
• et finalement d’en déduire 𝐼! en fonction de 𝑛.
Commençons donc par calculer 𝐼!.
𝐼! = !!𝑡!𝑒!!𝑑𝑡
!
= !!𝑒!!𝑑𝑡
!
Pour poursuivre le calcul, on doit se souvenir de la formule de primitive suivante :
𝑒!"𝑑𝑥 =𝑒!"
𝑎 +𝐶
où C est une constante réelle qui disparaît lorsque, dans le cadre du calcul d’une intégrale, on considère une variation de primitives. Ainsi, pour 𝑎= −1 :
𝐼! = 𝑒!!𝑑𝑡= 𝑒!!
−1 !
!!
= −𝑒!! !!!
!!
!
= 𝑒!! !!! =𝑒!!−0 car
!→!!lim 𝑒!! = 0
Comme 𝑒!! =1, on finalement : 𝐼! =1
Exprimons maintenant 𝐼! en fonction de 𝐼!!!
On sait que :
𝐼! = !!𝑡!𝑒!!𝑑𝑡
!
On remarque :
• n intervient, dans l’intégrale, en tant qu’exposant de t
• L’intégrale 𝐼!!! que l’on souhaite faire apparaître est : 𝐼!!! = !!𝑡!!!𝑒!!𝑑𝑡
!
• Pour passer de 𝑡! à 𝑡!!!, il convient de dériver 𝑡! . En effet : 𝑡! ! =𝑛𝑡!!!
Dans la plupart des exercices autour de suites d’intégrales, il convient de recourir à la formule de l’intégration par parties :
𝑢!𝑣= 𝑢𝑣 − 𝑢𝑣′
Cette formule, explicitement au programme de prépa ECE, peut être utilisée sans démonstration. Sa démonstration est toutefois fournie en annexe.
L’intérêt de cette formule est de dériver l’une des deux fonctions (dont on cherche la primitive du produit). Il est alors possible de ramener l’exposant de t de 𝑛 à 𝑛−1.
Il convient alors de choisir 𝑣 =𝑡! car cela permet d’en déduire: 𝑣′=𝑛𝑡!!!
Dans ce cas, on n’a pas d’autre choix que : 𝑢! = 𝑒!!
On écrit alors :
𝑢! =𝑒!! ⟸𝑢 = −𝑒!!
𝑣 =𝑡! ⟹ 𝑣′= 𝑛𝑡!!!
Dès lors, en appliquant :
𝑢!𝑣= 𝑢𝑣 − 𝑢𝑣′
𝐼! = 𝑡!𝑒!!𝑑𝑡= −𝑡!𝑒!! !!!− !!−𝑒!!
!
!!
!
𝑛𝑡!!!𝑑𝑡
On admet, à ce stade de l’année que :
!→!!lim 𝑡!𝑒!! =0
Dans ce cas : −𝑡!𝑒!! !!!= 0+0=0 Ainsi :
𝐼! =0+ 𝑛
!!
!
𝑡!!!𝑒!!𝑑𝑡=𝑛 𝑡!!!𝑒!!𝑑𝑡
!!
!
Finalement : 𝐼! =𝑛𝐼!!!
Il est maintenant possible d’exprimer 𝐼! en fonction de 𝑛
L’expression 𝐼! =𝑛𝐼!!! n’est pas celle d’une suite géométrique car 𝑛 n’est pas une constante ; en d’autres termes, 𝑛 n’est pas une raison.
Pour exprimer 𝐼! en fonction de 𝑛, il convient alors de reprendre la méthodologie suivie pour le contre-exemple simple du paragraphe 4.b. Aussi, écrit-on tous les termes de la suite 𝐼! les uns en dessous des autres, avant de procéder à des multiplications membres à membres :
Pour 𝑛= 1 : 𝐼! = 1𝐼! Pour 𝑛= 2 : 𝐼! = 2𝐼! .
. .
Et enfin : 𝐼! =𝑛𝐼!!!
Par multiplications membre à membre :
• Le 𝐼! de la première ligne se simplifie avec le 𝐼! de la deuxième ligne
• Le 𝐼! de la deuxième ligne se simplifie avec le 𝐼! de la troisième ligne On constate que les termes se simplifient en cacades…
Et on imagine, que l’avant dernière ligne est : 𝐼!!! =(𝑛−1).𝐼!!!
Dès lors, les 2 dernières lignes sont : 𝐼!!! =(𝑛−1).𝐼!!!
𝐼! =𝑛.𝐼!!!
Ainsi les 𝐼!!! de l’avant dernière ligne se simplifie avec le 𝐼!!! de la dernière ligne.
Finalement :
• à gauche du signe « = », il ne reste que 𝐼!. C’était le but de la démarche car c’est procisément ce que l’on cherche ;
• à droite du signe « = », il reste : 1.2.3… 𝑛−1 𝑛𝐼!
Or, on sait que :
• 1.2.3… 𝑛−1 𝑛= 𝑛!
• 𝐼! =1
Finalement : 𝐼! =𝑛!
d. Variante : extrait du sujet HEC 2014 Soit 𝐽! 𝑥 =1−𝑒!! et
𝐽! 𝑥 = 1
𝑛! 𝑡!𝑒!!𝑑𝑡
!
!
Calculons 𝐽! 𝑥 𝐽! 𝑥 = 1
1! 𝑡!𝑒!!𝑑𝑡=
!
!
𝑡𝑒!!𝑑𝑡
!
!
Utilisons encore une fois la formule de l’intégration par parties :
𝑢!𝑣= 𝑢𝑣 − 𝑢𝑣′
Pour simplifier le calcul de l’intégrale, il convient de considérer que la fonction à dériver est 𝑣= 𝑡 car, dans ce cas, 𝑣′= 1.
Ainsi :
𝑢! =𝑒!! ⟸𝑢 = −𝑒!!
𝑣=𝑡 ⟹𝑣′=1 Dès lors :
𝐽! 𝑥 = −𝑒!!.𝑡 !!− −𝑒!!𝑑𝑡
!
!
𝐽! 𝑥 =−𝑥𝑒!!+0+ !𝑒!!𝑑𝑡
!
𝐽! 𝑥 =−𝑥𝑒!!+ −𝑒!! !! =−𝑥𝑒!! −𝑒!! +1 Finalement :
𝐽! 𝑥 =1−(𝑥+1)𝑒!!
Démontrons que :
∀𝑛 ∈𝑁∗, 𝐽! 𝑥 = 𝐽!!! 𝑥 − 1
𝑛!𝑥!𝑒!!
𝐽! 𝑥 = 1
𝑛! 𝑡!𝑒!!𝑑𝑡
!
!
Comme on souhaite faire apparaître 𝐽!!! 𝑥 il conviendrait de dériver 𝑡!. En effet, on sait que : 𝑡! ! =𝑛𝑡!!!
Il convient alors de choisir 𝑣 =𝑡! car cela permet d’en déduire: 𝑣′=𝑛𝑡!!!
Dans ce cas, on n’a pas d’autre choix que : 𝑢! = 𝑒!!
On écrit alors :
𝑢! =𝑒!! ⟸𝑢 = −𝑒!!
𝑣 =𝑡! ⟹ 𝑣′= 𝑛𝑡!!!
Dès lors, en appliquant :
𝑢!𝑣= 𝑢𝑣 − 𝑢𝑣′
𝐽! 𝑥 = 1
𝑛! −𝑡!𝑒!! !! − −𝑒!!𝑛𝑡!!!𝑑𝑡
!!
!
𝐽! 𝑥 = 1
𝑛! −𝑥!𝑒!!− !−𝑒!!𝑛𝑡!!!𝑑𝑡
!
Ainsi :
𝐽! 𝑥 = 1
𝑛! −𝑥!𝑒!!+𝑛 !𝑒!!𝑡!!!𝑑𝑡
!
𝐽! 𝑥 = −𝑥!𝑒!!
𝑛! + 𝑛
𝑛! !𝑒!!𝑡!!!𝑑𝑡
!
𝐽! 𝑥 = − 1
𝑛!𝑥!𝑒!!+ 𝑛
1.2…. 𝑛−1 𝑛 𝑒!!𝑡!!!𝑑𝑡
!!
!
𝐽! 𝑥 = 𝑛
1.2…. 𝑛−1 𝑛 𝑒!!𝑡!!!𝑑𝑡
!!
!
− 1
𝑛!𝑥!𝑒!!
En smplifiant par n :
𝐽! 𝑥 = 1
1.2…. 𝑛−1 𝑒!!𝑡!!!𝑑𝑡
!!
!
− 1
𝑛!𝑥!𝑒!!
𝐽! 𝑥 = 1
𝑛−1 ! !!𝑒!!𝑡!!!𝑑𝑡
!
− 1
𝑛!𝑥!𝑒!!
Finalement :
𝐽! 𝑥 = 𝐽!!! 𝑥 − 1
𝑛!𝑥!𝑒!!
Annexe : démonstration de la formule de l’intégration par parties
𝑢!𝑣= 𝑢𝑣 − 𝑢𝑣′
Cette formule est obtenue à partir de la formule de la dérivée d’un produit.
En effet :
𝑢𝑣 ! =𝑢!𝑣+𝑢𝑣′
Dès lors :
𝑢!𝑣= 𝑢𝑣 ! −𝑢𝑣′
En intégrant :
𝑢!𝑣= 𝑢𝑣 !− 𝑢𝑣′
Soit encore :
𝑢!𝑣= 𝑢𝑣 − 𝑢𝑣′
ce qui achève la preuve
