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Applications linéaires de 𝓜𝒏,𝟏(𝑹)→𝓜𝒑,𝟏(𝑹), noyau et image
1. Applications linéaires de 𝓜𝒏,𝟏(𝑹)→𝓜𝒑,𝟏(𝑹), a. Propriété à utiliser
f est une application linéaire de E dans F si et seulement si :
∀ 𝑥,𝑦 ∈𝐸!,∀𝜆∈𝑅,𝑓 𝜆𝑥+𝑦 =𝜆𝑓 𝑥 +𝑓(𝑦)
En 1ère année : E=ℳ!,!(𝑅) où 𝑛= 1,2,3,4 et 𝐹=ℳ𝑝,1(𝑅) où 𝑝= 1,2,3,4
b. Exemple 1 : 𝑓 :ℳ!,! 𝑅 →ℳ!,! 𝑅 =𝑅
∀𝑿= 𝒙 𝒚 𝒛 𝒕
∈𝓜𝟒,𝟏 𝑹 ,𝒇 𝑿 =𝒇 𝒙 𝒚 𝒛 𝒕
=𝒂𝒙+𝒃𝒚+𝒄𝒛+𝒅𝒕,(𝒂,𝒃,𝒄,𝒅)∈𝑹𝟒
Soit 𝑋= 𝑥𝑦 𝑧𝑡
∈ℳ4,1(𝑅) et soit 𝑌= 𝑥′𝑦′
𝑧′𝑡′
∈ℳ4,1(𝑅)
∀𝜆∈𝑅,𝜆𝑋+𝑌=𝜆 𝑦𝑥 𝑧𝑡
+ 𝑥′ 𝑦′ 𝑧′ 𝑡′
=
𝜆𝑥+𝑥′ 𝜆𝑦+𝑦′ 𝜆𝑧+𝑧′ 𝜆𝑡+𝑡′ Ainsi :
𝑓 𝜆𝑋+𝑌 =𝑓
𝜆𝑥+𝑥′ 𝜆𝑦+𝑦′ 𝜆𝑧+𝑧′ 𝜆𝑡+𝑡′
=𝑎(𝜆𝑥+𝑥′)+𝑏(𝜆𝑦+𝑦′)+𝑐(𝜆𝑧+𝑧′)+𝑑(𝜆𝑡+𝑡′)
𝑓 𝜆𝑋+𝑌 =𝜆 𝑎𝑥+𝑏𝑦+𝑐𝑧+𝑑𝑡 + 𝑎′𝑥+𝑏′𝑦+𝑐′𝑧+𝑑′𝑡
Finalement :
𝑓 𝜆𝑋+𝑌 =𝜆.𝑓 𝑋 +𝑓(𝑌)
2 c. Exemple 2 : 𝑓 :ℳ!,! 𝑅 →ℳ!,! 𝑅
∀𝑿= 𝒙 𝒚 𝒛 𝒕
∈𝓜𝟒,𝟏 𝑹 ,𝒇 𝑿 =𝒇 𝒙 𝒚 𝒛 𝒕
= 𝒂𝒙+𝒃𝒚+𝒄𝒛+𝒅𝒕 𝒆𝒙+𝒈𝒚+𝒉𝒛+𝒊𝒕
avec (𝑎,𝑏,𝑐,𝑑,𝑒,𝑓,𝑔,ℎ,𝑖)∈𝑅8
Soit 𝑋= 𝑥𝑦 𝑧𝑡
∈ℳ4,1(𝑅) et soit 𝑌= 𝑥′𝑦′
𝑧′𝑡′
∈ℳ4,1(𝑅)
∀𝜆∈𝑅,𝜆𝑋+𝑌=𝜆 𝑦𝑥 𝑧𝑡
+ 𝑥′ 𝑦′ 𝑧′ 𝑡′
=
𝜆𝑥+𝑥′ 𝜆𝑦+𝑦′ 𝜆𝑧+𝑧′ 𝜆𝑡+𝑡′ Ainsi :
𝑓 𝜆𝑋+𝑌 =𝑓
𝜆𝑥+𝑥′ 𝜆𝑦+𝑦′ 𝜆𝑧+𝑧′ 𝜆𝑡+𝑡′
= 𝑎(𝜆𝑥+𝑥′)+𝑏(𝜆𝑦+𝑦′)+𝑐(𝜆𝑧+𝑧′)+𝑑(𝜆𝑡+𝑡′) 𝑒 𝜆𝑥+𝑥′ +𝑔 𝜆𝑦+𝑦′ +ℎ(𝜆𝑧+𝑧′)+𝑖(𝜆𝑡+𝑡′)
𝑓 𝜆𝑋+𝑌 =𝜆 𝑎𝑥+𝑏𝑦+𝑐𝑧+𝑑𝑡
𝑒𝑥+𝑔𝑦+ℎ𝑧+𝑖𝑡 + 𝑎𝑥′+𝑏𝑦′+𝑐𝑧′+𝑑𝑡′
𝑒𝑥′+𝑔𝑦′+ℎ𝑧′+𝑖𝑡′
Finalement :
𝑓 𝜆𝑋+𝑌 =𝜆.𝑓 𝑋 +𝑓(𝑌)
d. Exemple 3 : 𝑓 :ℳ!,! 𝑅 →ℳ!,! 𝑅
∀𝑿= 𝒙 𝒚 𝒛 𝒕
∈𝓜𝟒,𝟏 𝑹 ,𝒇 𝑿 =𝒇 𝒙 𝒚 𝒛 𝒕
=
𝒂𝒙+𝒃𝒚+𝒄𝒛+𝒅𝒕 𝒆𝒙+𝒈𝒚+𝒉𝒛+𝒊𝒕 𝒋𝒙+𝒌𝒚+𝒍𝒛+𝒎𝒕 avec (𝑎,𝑏,𝑐,𝑑,𝑒,𝑓,𝑔,ℎ,𝑖,𝑘,𝑙,𝑚)∈𝑅12
Soit 𝑋= 𝑥𝑦 𝑧𝑡
∈ℳ4,1(𝑅) et soit 𝑌= 𝑥′𝑦′
𝑧′𝑡′
∈ℳ4,1(𝑅)
∀𝜆∈𝑅,𝜆𝑋+𝑌=𝜆 𝑦𝑥 𝑧𝑡
+ 𝑥′ 𝑦′ 𝑧′ 𝑡′
=
𝜆𝑥+𝑥′ 𝜆𝑦+𝑦′ 𝜆𝑧+𝑧′ 𝜆𝑡+𝑡′
3 Ainsi :
𝑓 𝜆𝑋+𝑌 =𝑓
𝜆𝑥+𝑥′ 𝜆𝑦+𝑦′ 𝜆𝑧+𝑧′ 𝜆𝑡+𝑡′
=
𝑎(𝜆𝑥+𝑥′)+𝑏(𝜆𝑦+𝑦′)+𝑐(𝜆𝑧+𝑧′)+𝑑(𝜆𝑡+𝑡′) 𝑒 𝜆𝑥+𝑥′ +𝑔 𝜆𝑦+𝑦′ +ℎ(𝜆𝑧+𝑧′)+𝑖(𝜆𝑡+𝑡′) 𝑗 𝜆𝑥+𝑥′ +𝑘 𝜆𝑦+𝑦′ +𝑙(𝜆𝑧+𝑧′)+𝑚(𝜆𝑡+𝑡′) 𝑓 𝜆𝑋+𝑌 =𝜆
𝑎𝑥+𝑏𝑦+𝑐𝑧+𝑑𝑡 𝑒𝑥+𝑔𝑦+ℎ𝑧+𝑖𝑡 𝑗𝑥+𝑘𝑦+𝑙𝑧+𝑚𝑡 +
𝑎𝑥′+𝑏𝑦′+𝑐𝑧′+𝑑𝑡′
𝑒𝑥′+𝑔𝑦′+ℎ𝑧′+𝑖𝑡′ 𝑗𝑥′+𝑘𝑦′+𝑙𝑧′+𝑚𝑡′
Finalement :
𝑓 𝜆𝑋+𝑌 =𝜆.𝑓 𝑋 +𝑓(𝑌)
2. Noyau d’une application linéaire a. Définition à utiliser
Soit f une application linéaire de E dans F. Le noyau de f est le sous-ensemble de E défini par : Ker 𝑓 = 𝑥∈𝐸,𝑓 𝑥 =0𝐹
b. Exemple 1
∀𝑿= 𝒙 𝒚 𝒛 𝒕
∈𝓜𝟒,𝟏 𝑹 ,𝒇 𝑿 =𝒇 𝒙 𝒚 𝒛 𝒕
= 𝒂𝒙+𝒃𝒚+𝒄𝒛+𝒅𝒕
𝑓 𝑋 =0! ⇔𝑓 𝑥 𝑦 𝑧 𝑡
=0⇔ 𝑎𝑥+𝑏𝑦+𝑐𝑧+𝑑𝑡=0
On a une équation à 4 inconnues donc il y a 3 paramètres : 𝑥=𝑥
𝑦=𝑦 𝑧=𝑧 𝑡=−𝑎
𝑑𝑥−𝑏 𝑑𝑦−𝑐
𝑑𝑧
⇔ 𝑥 𝑦 𝑧 𝑡
=𝑥 1 0 0
−𝑎 𝑑
+𝑦 0 1 0
−𝑏 𝑑
+𝑧 0 0 1
−𝑐 𝑑 Ainsi :
𝐾𝑒𝑟(𝑓)=𝑉𝑒𝑐𝑡 1 0 0
−𝑎 𝑑
, 0 1 0
−𝑏 𝑑
, 0 0 1
−𝑐 𝑑
=𝑉𝑒𝑐𝑡 1 𝑑
𝑑 0 0
−𝑎
,1
𝑑 0 𝑑 0
−𝑏
,1
𝑑 0 0 𝑑
−𝑐
𝐾𝑒𝑟(𝑓)=𝑉𝑒𝑐𝑡 𝑑 0 0
−𝑎 ,
0 𝑑 0
−𝑏 ,
0 0 𝑑
−𝑐
4 c. Exemple 2
∀𝑿= 𝒙 𝒚 𝒛 𝒕
∈𝓜𝟒,𝟏 𝑹 ,𝒇 𝑿 =𝒇 𝒙 𝒚 𝒛 𝒕
= 𝒂𝒙+𝒃𝒚+𝒄𝒛+𝒅𝒕 𝜶𝒂𝒙+𝜶𝒃𝒚+𝜶𝒄𝒛+𝜶𝒅𝒕
Il est possible démontrer que f est une application linéaire en reprenant l’exemple 2 du paragraphe 1 et en remplaçant 𝑒,𝑔,ℎ,𝑖 respectivement par 𝛼𝑎,𝛼𝑏,𝛼𝑐,𝛼𝑑
𝑓 𝑋 =0ℳ!,!! ⇔𝑓 𝑥 𝑦 𝑧 𝑡
= 0 0 ⇔
𝑎𝑥+𝑏𝑦+𝑐𝑧+𝑑𝑡=0 𝛼𝑎𝑥+𝛼𝑏𝑦+𝛼𝑐𝑧+𝛼𝑑𝑡=0
Les 2 équations sont équivalentes et se ramènent à : 𝑎𝑥+𝑏𝑦+𝑐𝑧+𝑑𝑡=0 On retrouve alors l’exemple précédent donc :
𝐾𝑒𝑟(𝑓)=𝑉𝑒𝑐𝑡 𝑑 0 0
−𝑎 ,
0 𝑑 0
−𝑏 ,
0 0 𝑑
−𝑐 3. Image d’une application linéaire
a. Rappel de la définition
Soit f est une application linéaire de E dans F. L’image de f est le sous-ensemble de F défini par : Im 𝑓 = 𝑦∈𝐹,∃𝑥∈𝐸,𝑦=𝑓 𝑥
b. Formule à utiliser
D’un point de vue pratique, si ℬ= 𝑒!,𝑒!,…,𝑒! est une base de E, alors : Im 𝑓 =𝑉𝑒𝑐𝑡 𝑓(𝑒!),𝑓(𝑒!),…,𝑓(𝑒!)
En 1ère année, ℬ = base canonique de ℳ!,! 𝑅 avec 𝑛= 1,2,3,4 . Ainsi :
Pour 𝑛 =2 : ℬ= 𝑒!,𝑒! avec 𝑒!= 1
0 et 𝑒! = 0 1 Pour 𝑛 =3 : ℬ= 𝑒!,𝑒!,𝑒! avec 𝑒!= 1
0 0
, 𝑒!= 0 1 0
, 𝑒!= 0 0 1 Pour 𝑛 =4 : ℬ= 𝑒!,𝑒!,𝑒!,𝑒! avec 𝑒!=
1 0 0 0
, 𝑒!= 0 1 0 0
, 𝑒!= 0 0 1 0
,𝑒!=
0 0 0 1
5 c. Exemple 1
∀𝑿= 𝒙 𝒚 𝒛 𝒕
∈𝓜𝟒,𝟏 𝑹 ,𝒇 𝑿 =𝒇 𝒙 𝒚 𝒛 𝒕
= 𝒂𝒙+𝒃𝒚+𝒄𝒛+𝒅𝒕
𝑓 𝑒! =𝑓 1 0 0 0
=𝑎;𝑓 𝑒! =𝑓 0 1 0 0
=𝑏;𝑓 𝑒! =𝑓 0 0 1 0
=𝑐; 𝑓 𝑒! =𝑓 0 0 0 1
=𝑑
Ainsi :
Im 𝑓 =𝑉𝑒𝑐𝑡 𝑓(𝑒!),𝑓 𝑒! ,𝑓 𝑒! ,𝑓 𝑒! =𝑉𝑒𝑐𝑡 𝑎,𝑏,𝑐,𝑑 Im 𝑓 =𝑉𝑒𝑐𝑡 𝑎.1,𝑏.1,𝑐.1,𝑑.1 =𝑉𝑒𝑐𝑡 1,1,1,1 =𝑉𝑒𝑐𝑡(1)
d. Exemple 2
∀𝑿= 𝒙 𝒚 𝒛 𝒕
∈𝓜𝟒,𝟏 𝑹 ,𝒇 𝑿 =𝒇 𝒙 𝒚 𝒛 𝒕
= 𝒂𝒙+𝒃𝒚+𝒄𝒛+𝒅𝒕 𝜶𝒂𝒙+𝜶𝒃𝒚+𝜶𝒄𝒛+𝜶𝒅𝒕
𝑓 𝑒! =𝑓 1 0 0 0
= 𝑎 𝛼𝑎
𝑓 𝑒! =𝑓 0 1 0 0
= 𝑏 𝛼𝑏
𝑓 𝑒! =𝑓 0 0 1 0
= 𝑐 𝛼𝑐
𝑓 𝑒! =𝑓 0 0 0 1
= 𝑑 𝛼𝑑
Ainsi :
Im 𝑓 =𝑉𝑒𝑐𝑡 𝑓(𝑒!),𝑓 𝑒! ,𝑓 𝑒! ,𝑓 𝑒! =𝑉𝑒𝑐𝑡 𝑎 𝛼𝑎 , 𝑏
𝛼𝑏 , 𝑐 𝛼𝑐 , 𝑑
𝛼𝑑 Im 𝑓 =𝑉𝑒𝑐𝑡 𝑎 1
𝛼 ,𝑏 1 𝛼 ,𝑐 1
𝛼 ,𝑑 1
𝛼 =𝑉𝑒𝑐𝑡 1 𝛼 , 1
𝛼 , 1 𝛼 , 1
𝛼
Finalement : Im 𝑓 =𝑉𝑒𝑐𝑡 1
𝛼
