PREPA COURCELLES DEUXIEME ANNEE
1 Probabilités : lois usuelles
La probabilité d’un succès est 𝑝 et la probabilité d’un échec est 𝑞= 1−𝑝 ; le support des variables discrètes (1er tableau) est composé uniquement de nombres entiers. (*) signifie : « loi hors programme » ; dans ce cas, les résultats doivent être établis
Nom de la loi discrète
Formulation Support 𝑋(Ω) 𝑃 𝑋=𝑘 E(X) V(X)
Uniforme 𝑋↪𝑈 1,𝑛 1,𝑛 1
𝑛
𝑛+1 2
𝑛!−1 12
Bernoulli 𝑋 ↪𝐵(𝑝) 0,1 𝑃 𝑋=1 =𝑝
𝑃(𝑋=0)=𝑞
𝑝 𝑝𝑞
Binomiale 𝑋↪𝐵(𝑛,𝑝) 0,𝑛 𝑛
𝑘 𝑝!𝑞!!! 𝑛𝑝 𝑛𝑝𝑞
Géométrique 𝑋↪𝐺(𝑝) N* 𝑞!!!𝑝 1
𝑝
𝑞 𝑝!
Poisson 𝑋 ↪𝑃(𝜆) N
𝑒!!𝜆! 𝑘!
𝜆 𝜆
Pascal (*) 𝑋↪𝑃 𝑟,𝑝 𝑟,+∞ 𝑘−1
𝑟−1 𝑝!𝑞!!! 𝑟 𝑝
𝑟𝑞 𝑝! Binomiale
négative (*) 𝑋↪𝐽(𝑟,𝑝) N 𝑘+𝑟−1
𝑘 𝑝!𝑞! 𝑟𝑞 𝑝
𝑟𝑞 𝑝!
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2 Lois de probabilité continues du programme
Nom de la loi
continue Formulation Densité Fonction de répartition E(X) V(X)
Uniforme 𝑋↪𝑈 𝑎,𝑏 𝑥<𝑎 ⇒𝑓 𝑥 =0
𝑎≤ 𝑥≤𝑏⇒𝑓 𝑥 = 1 𝑏−𝑎 𝑥>𝑏 ⇒𝑓 𝑥 =0
𝑥<𝑎 ⇒𝐹 𝑥 = 0 𝑎≤ 𝑥≤𝑏⇒𝑓 𝑥 = 𝑥−𝑎
𝑏−𝑎 𝑥>𝑏⇒𝑓 𝑥 = 1
𝑎+𝑏 2
𝑎−𝑏 ! 12
Exponentielle 𝑋↪ℇ(𝜆) 𝑥<0⇒𝑓 𝑥 = 0
𝑥≥ 0⇒𝑓 𝑥 =𝜆𝑒!!"
𝑥<0⇒𝐹 𝑥 =0 𝑥 ≥0⇒𝐹 𝑥 = 1−𝑒!!"
1 𝜆
1 𝜆! Normale
centrée réduite
𝑋↪𝑁(0,1)
𝑓 𝑥 = 1 2𝜋𝑒!!
!
! 𝐹 𝑥 = 1
𝜎 2𝜋 𝑒!!
!
!
!
!!
𝑑𝑡 0 1
Normale
𝑋↪𝑁(𝑚,𝜎!)
𝑓 𝑥 = 1
𝜎 2𝜋𝑒!!! !!!!
!
𝐹 𝑥 = 1
𝜎 2𝜋 𝑒!!! !!!!
!
𝑑𝑡
!
!!
𝑚 𝜎!
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3 Lois de probabilité continues hors programme
S’agissant de lois hors programme, les résultats doivent être établis
Nom de la loi Formulation Densité E(X) V(X)
Log-normale 𝑙𝑛𝑋↪𝑁(𝑚,𝜎!) 𝑥≤0⇒𝑓 𝑥 = 0 𝑥> 0⇒𝑓 𝑥 = 1
𝜎𝑥 2𝜋𝑒!!! !"#!!!
! 𝑒!!!
!
! 𝑒!!!!! 𝑒!!−1
Beta 𝑋↪𝐵(𝑎,𝑏) 𝑥≤0⇒𝑓 𝑥 = 0
0< 𝑥<1⇒𝑓 𝑥 = 𝐶𝑥!!! 1−𝑥 !!!
𝑥≥1⇒𝑓 𝑥 = 0
𝑎
𝑎+𝑏 𝑎𝑏
𝑎+𝑏−1 𝑎+𝑏 !
Gamma 𝑋↪Γ 𝑎,𝜈 𝑥≤0⇒𝑓 𝑥 = 0
𝑥>0⇒𝑓 𝑥 = 𝑒!!!𝑥!!!
Γ 𝜈 𝑎!
𝑎𝜈 𝑎!𝜈
Khi-2 𝑋↪𝜒! 𝜈 𝑥≤0⇒𝑓 𝑥 = 0
𝑥> 0⇒𝑓 𝑥 = 𝑒!!!𝑥!!! Γ 1
2 2!!
1 2
Note∶ C= 𝑎+𝑏−1 !
𝑏−1 ! 𝑎−1 ! ;Γ 𝑥 = !!𝑡!!!𝑒!!𝑑𝑡
!
