ECS1
Exercices: Ensemble des réels, suites usuelles
Exercice 1. Résoudre dansRl'inéquation7−4x6|x+ 5|. Exercice 2. Trouver toutes les solutions réelles de l'inéquation√
2x+ 22>1−x. Exercice 3. Résoudre dansRl'équation
(2x+ 1)2
= 3. Exercice 4. Montrer que∀(x, y)∈R2,bx+yc>bxc+byc. Exercice 5. Soitx∈R. Déterminer la limite lim
n→+∞
1 n2
n
X
k=1
bkxc.
Exercice 6. On considère une suite(an)n∈N décroissante de réels positifs ou nuls. Pour tout entier naturel n, on pose :
Sn=
n
X
k=0
ak.
Soit(α, β)un couple de nombres réels vériant0< α <1< β. Pour tout entier natureln6= 0tel quen6=bαnc etn6=bβnc, justier l'encadrement :
Sbβnc−Sn
bβnc −n 6an6 Sn−Sbαnc n− bαnc .
Exercice 7. Soit la suite(un)n∈N dénie pour tout entiernparun−2un+1= 2n+ 3 etu0= 2.
1. Déterminer un réel b tel que la suite (vn)n∈N dénie pour tout entier n par vn = un +bn−1 soit géométrique.
2. En déduire l'expression deun en fonction den.
Exercice 8. Pour chacune des suites suivantes, exprimer le terme général de la suite en fonction den: 1. La suite(un)n∈N dénie pour toutn∈Nparun+1= 2un−1,u0= 5.
2. La suite(vn)n∈N dénie pour toutn∈Nparvn+1=−vn+ 2,v0= 1. Exercice 9. Soit(un)n∈N la suite dénie pour tout entier nnon nul par
nun+un−1− 2
(n−1)! = 0etu0=−1.
1. Étudier la nature de la suite(vn)n∈N dénie pour tout entiernparvn=n!un. 2. En déduire l'expression deun en fonction den.
Exercice 10. Pour chacune des suites suivantes, exprimer le terme général de la suite en fonction den: 1. La suite(un)n∈N dénie pour toutn∈Nparun+2=−un+1−1
4un,u0=u1= 1. 2. La suite(vn)n∈N dénie pour toutn∈Nparvn+2=−vn+1−vn,v0= 1et v1=−1. 3. La suite(wn)n∈N dénie pour toutn∈Nparwn+2= 3wn+1−2wn,w0= 0etw1= 1. Exercice 11. Soit la suite (un)n∈N dénie pour tout entiernpar
un+2=√
un+1un, u0= 1, u1= 2.
1. Montrer que la suite(vn)n∈N dénie pour tout entiernparvn= ln(un)existe.
2. Montrer que la suite(vn)n∈N est récurrente linéaire double.
3. En déduire l'expression devn puis deun en fonction den.
