le terme général est connu en fonction de l’entier naturel . Ex. soit ( ) la suite définie par = 2 − 1 .

A.BERGER Cours de prérentrée TS Etude de suites 1 / 4 LES SUITES NUMERIQUES

I. Deux façons de définir une suite ( ) 1° explicitement

le terme général est connu en fonction de l’entier naturel . Ex. soit ( ) la suite définie par = 2 − 1 .

2° par récurrence

le terme est connu en fonction du terme précédent (ou est connu en fonction de comme sur les TI ) ; le premier terme est donné.

Ex. soit ( ) la suite définie par = 4

= 2 − 1 ( ∈ ℕ)

Remarque : pour représenter graphiquement une suite définie par récurrence, on utilise :

• la courbe d’équation

= ( ) , où est la fonction numérique telle que = ( )

• la droite d’équation

=

• le premier terme de la suite.

II. Sens de variation d’une suite

1°

Une suite

( )

est dite croissante si et seulement si pour tout de on a : ≥ . (idem avec : … strictement croissante …. > ).

2° Une suite

( )

est dite décroissante si et seulement si pour tout de , on a : ≤ . (idem avec : … strictement décroissante …. < ).

3° Une suite ( ) est dite constante si et seulement si pour tout de , on a : = Différentes méthodes pour déterminer le sens de variation d’une suite :

(La table de la calculatrice permet de conjecturer le sens de variation d’une suite)

Méthode 1 : (la plus utilisée)

On calcule la différence − en fonction

de (lorsque la suite est définie explicitement), ou de (lorsque la suite est définie par récurrence), puis on étudie son signe pour tout de

N

.

on utilise la méthode 2 lorsque l’énoncé nous y incite. (L’étude de fonction a été faite préalablement) Méthode 2 : Exclusivement dans le cas d’une suite définie explicitement, on étudie le sens de variation (à l’aide de la dérivée) de la fonction numérique définie sur ℝ par ( ) =

Cas1 : Si est croissante sur ℝ alors pour tout de , on a : ( ) ≤ ( + 1) , c'est-à-dire ≤ Cas2: Si est décroissante sur ℝ alors pour tout de , on a : ( ) ≥ ( + 1) , c'est-à-dire ≥

III. Suites bornées

1°

Une suite

( )

est dite majorée s’il existe un réel tel que pour tout de , on ait : ≤ !. Le réel est un majorant de la suite.

2° Une suite

( )

est dite minorée s’il existe un réel m tel que pour tout de , on ait : ≥ ". Le réel # est un minorant de la suite.

3°

Une suite

( )

est dite bornée si elle est majorée et minorée.

Propriété :

Une suite croissante est minorée par son premier terme.

Une suite décroissante est majorée par son premier terme.

A.BERGER Cours de prérentrée TS Etude de suites 2 / 4

IV. Limite de suite Cette notion est très peu abordée en 1S, mais approfondie en TS.

Que se passe-t-il pour les termes lorsque ⟶ +∞ , c’est-à-dire lorsque devient très grand ?

• Les termes « s’agglutinent » autour d’un réel ℓ ,

on écrit '(#

_{→ *}

= ℓ

^, (

ℓ

étant un réel ) , on dit que la suite ( )

converge vers ℓ .

• Lorsque les termes « ne s’agglutinent pas » autour d’un réel, c’est-à-dire ils tendent vers +∞ ou

−∞ ou « s’éparpillent » , on dit que la suite ( )

diverge.

V. Suites arithmétiques

Une suite ( ) est dite arithmétique s’il existe un réel + tel que pour tout de , = + , . Ce réel + est appelé raison de la suite arithmétique.

Reconnaître une suite arithmétique

Pour prouver qu’une suite n’est pas arithmétique : on calcule quelques termes, on observe que l’écart varie.

Exemple : La suite ( ) définie par = ² n’est pas arithmétique.

En effet : = 0 ; = 1 ; 0= 4

On observe que = + 1 , mais ₀= + 3, donc la suite ( ) n’est pas arithmétique.

Pour prouver qu’une suite (2 ) est arithmétique, on montre que :

pour tout de : 2 = 2 + 34 567 68 ou pour tout de : 2 − 2 = 34 567 68 Exemple : La suite (2 ) définie par 2 = −2 + 11 est-elle arithmétique ?

Pour tout de :

2 = −2( + 1) + 11 = −2 − 2 + 11 = (−2 + 11) − 2 = 2 − 2

Ainsi la suite (2 ) est arithmétique de raison + = −2 et de 1^er terme 2 = −2 × 0 + 11 = 11

Conséquence : Une suite arithmétique de raison positive est croissante.

Une suite arithmétique de raison négative est décroissante.

Propriété : Si la suite ( ) est arithmétique de raison + , alors, on a :

•

Forme explicite :

= + × + , pour tout de

=

_:

+ ( − ;) × + et en particulier = + ( − 1) × + pour tous et ; de

•

Somme des termes consécutifs < =

=>?@A BA CA@>AD BA EF D=>>A

0

× (1

^A@

68+#8 G8 '7 54##8 + G8+ (8+ 68+#8 G8 '7 54##8)

H I IJ IJ

= + 1

2 ( + ) ; H ^I

IJ

IJ = 2( + )

•

Une somme particulière :

< = 1 + 2 + 3 + ⋯ + ( − 1) + = ( + 1) 2

VI. Suites géométriques

Une suite ( ) est dite géométrique s’il existe un réel L tel que pour tout de , = × M . Ce réel L est appelé raison de la suite géométrique.

Reconnaître une suite géométrique

Pour prouver qu’une suite n’est pas géométrique, on montre que le rapport entre deux termes consécutifs varie.

Exemple : la suite ( ) définie par = 3 − 4 n’est pas géométrique.

En effet, = −4 = −1 0= 2

On observe que =_N mais ₀= −2 donc la suite ( ) n’est pas géométrique.

Pour prouver qu’une suite est géométrique, on exprime en fonction de Pour tout de , = 34 567 68 ×

A.BERGER Cours de prérentrée TS Etude de suites 3 / 4

Exemple : la suite (2 ) définie par = 6 × 2 est-elle géométrique ?

Pour tout de :

2 = 6 × 2 = 6 × 2 × 2 = 2 × 2

Ainsi la suite (2 ) est géométrique de raison L = 2 et de 1^er terme 2 = 6 × 2 = 6

Propriété :

Si la suite ( ) est géométrique de raison L , alors, on a :

•

Forme explicite :

= × L , pour tout de

=

_:

× L

^:

et en particulier = × L , pour tous et ; de

•

Somme des termes consécutifs

< = 1

^A@

68+#8 G8 '7 54##8 ×

^PQRST UT VTSWTX UT YZ X[WWT

P

( pour L ≠ 1)

H I IJ IJ

= ×1 − L

1 − L ; H ^I

IJ IJ

= ×1 − L 1 − L

•

Une somme particulière : pour L ≠ 1 1 + L + L² + L

^a

+ ⋯ + L = 1 − L

1 − L

• Limite d’une suite géométrique de raison L

Si M > , alors bc"_{→ *}M = +∞ , la suite (M ) diverge.

Si L = 1, alors '(#_{→ *}L = 1.

Si − < M < , alors bc"_{→ *}M = d , la suite (M ) converge vers 0 Si L ≤ −1, alors la suite (L ) n’a pas de limite, elle diverge.

EXERCICES Exercice 1 :

Partie A :

On donne la courbe représentative d’une fonction et on considère la suite ( ) définie par :

= ( ) pour ∈ ℕ*.

Construire les cinq premiers termes de la suite sur l’axe (Oy).

Emettre quatre conjectures sur cette suite.

Partie B :

On donne la courbe représentative d’une fonction et on considère la suite ( ) définie par :

=_e et = ( ) ( ∈ )

A l’aide de la droite d’équation = , construire les cinq premiers termes sur l’axe (Ox) .

Emettre quatre conjectures sur cette suite.

2 3 4 5 6 7 8 9

-1 2 3 4 5 6 7

0 1

1 y

0 1

1

x y

7 = 1

☺ _{7 = 7 × 7}

A.BERGER Cours de prérentrée TS Etude de suites 4 / 4 Exercice 2 : Etude d’une suite définie explicitement

Soit la suite

( )

définie par : =^a ₀ . On a représenté la fonction définie sur [0 + ∞[ par ( ) = 3 −_{h 0}^g 1° a) Montrer que : pour tout de

, on a : = ( )

b) Construire les premiers termes de la suite sur l’axe (i ) du repère et émettre des conjectures.

2° Calculer les quatre premiers termes de la suite.

3° Déterminer le sens de variation de la suite

( )

^.

4° Démontrer que pour tout de on a : ₀≤ < 3. Que peut-on en déduire pour la suite

( )

^? 5° A l’aide de la calculatrice, déterminer le plus petit entier tel que | − 3| < 10 .

Exercice 3 : Utilisation d’une suite auxiliaire

Soit la suite ( ) définie par : = 9 et =

_a

+ 2 ( ∈ ) 1. a. Calculer ,

₀

,

a

1. b. Construire les quatre premiers termes sur l’axe ( i; m no ) d’un repère (i ; mo ; po) , à l’aide des droites d’équation =

_a

+ 2 et =

1. c. Quelles conjectures peut-on faire ?

1. d. Donner à l’aide de la calculatrice, une valeur approchée à 10

^g

près de

_e

. 1. e. Montrer que la suite ( ) n’est ni arithmétique, ni géométique.

2. On considère la suite ( 2 ) définie par 2 = − 3 pour ∈ . 2. a. Montrer que la suite (2 ) est géométrique.

2. b. Exprimer 2 , en fonction de .

2. c. En déduire que pour tout de , on a : = 3 + 6 × q

_a

r 2. d. Calculer la valeur exacte de

_e

.

3. a. Montrer que pour tout de , on a − = −4 × q

_a

r . En déduire la monotonie de la suite ( ) . 3. b. Montrer que pour tout de , on a : 3 < ≤ 9 .

3. c. Etudier la convergence de la suite ( ) . Exercice 4 : Sens de variation

1° Etudier le sens de variation de la suite ( ) dans chacun des cas suivants : a) la suite ( ) est définie par = − 3 et = 8 .

b) la suite ( ) est définie par = − ² et = 7 avec 7 ∈ ℝ c) la suite ( ) est définie par =

^0Q

, ( ∈ *)

2° Montrer que la suite ( ) définie par = × (−2) n’est ni croissante, ni décroissante.

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

-1 2 3

0 1

1

x y