TS Devoir Maison 1 2013-2014
EXERCICE 1 On considère la fonction polynomiale définie surRpar : P(x) = 2x3−5x2+x+ 2 1. Vérifier que 2 est racine deP.
2. En déduire la factorisation deP(x).
3. RésoudreP(x) = 0, puisP(x) = 2.
EXERCICE 2 Soit la suite numérique (un) définie surNpar :
u0= 2 et pour tout entier naturel n, un+1=2 3un+1
3n+ 1.
1. (a) Calculeru1, u2, u3et u4. On pourra en donner des valeurs approchées à 10−2près.
(b) Formuler une conjecture sur le sens de variation de cette suite.
2. (a) Démontrer que pour tout entier natureln,
un6n+ 3.
(b) Démontrer que pour tout entier natureln,
un+1−un= 1
3(n+ 3−un). (c) En déduire une validation de la conjecture précédente.
3. On désigne par (vn) la suite définie surNparvn=un−n.
(a) Démontrer que la suite (vn) est une suite géométrique de raison 2 3. (b) En déduire que pour tout entier natureln,
un= 2 2
3 n
+n (c) Donner sans justification la limite de la suite (un).
4. Pour tout entier naturel non nuln, on pose : Sn=Pn
k=0uk=u0+u1+. . .+un et Tn= Sn
n2. (a) ExprimerSn en fonction den.
(b) Donner sans justification la limite de la suite (Tn).
EXERCICE 3 On considère la suite (un) définie par :u0= 2 et, pour tout entier naturen: un+1=1 + 3un
3 +un
On admet que tous les termes de cette suite sont définis et strictement positifs.
1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier natureln, on a :un >1.
2. (a) Établir que, pour tout entier natureln, on a :un+1−un= (1−un) (1 +un) 3 +un
. (b) Déterminer le sens de variation de la suite (un).
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EXERCICE 4 :
On considère la suite (un) définie par :u0= 2 et, pour tout entier natureln: un+1=1 + 0,5un
0,5 +un
On admet que tous les termes de cette suite sont définis et strictement positifs.
1. On considère l’algorithme suivant :
Entrèe Soit un entier naturel non nuln Initialisation Affecter àula valeur 2
Traitement et sortie POURiallant de 1 àn
Affecter àula valeur 1 + 0,5u 0,5 +u Afficheru
FIN POUR
Reproduire et compléter le tableau suivant, en faisant fonctionner cet algorithme pourn= 3. Les valeurs de u seront arrondies au millième.
i 1 2 3
u
2. Pourn= 12, on a prolongé le tableau précédent et on a obtenu :
i 4 5 6 7 8 9 10 11 12
u 1,0083 0,9973 1,0009 0,9997 1,0001 0,99997 1,00001 0,999996 1,000001 Conjecturer le comportement de la suite (un) à l’infini.
3. On considère la suite (vn) définie, pour tout entier natureln, par :vn= un−1 un+ 1. (a) Démontrer que la suite (vn) est géométrique de raison−1
3. (b) Calculerv0 puis écrirevn en fonction den.
4. (a) Montrer que, pour tout entier natureln, on a : vn6= 1.
(b) Montrer que, pour tout entier natureln, on a : un=1 +vn
1−vn
. (c) Donner la limite de la suite (un).
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