Fonctions usuelles

Chapitre 6

Fonctions usuelles

Objectifs

– Définir et étudier les fonctions logarithmes, exponentielles.

– Définir et étudier les fonctions puissances. Comparaison.

– Définir et étudier les fonctions hyperboliques, leurs propriétés.

– Inversion des fonctions hyperboliques et des fonctions circulaires.

Plan

6 Fonctions usuelles 63

I) Fonctions logarithmes et exponentielles . . . 63

1) Logarithme népérien . . . 63

2) Logarithmes de basea . . . 64

3) La fonction exponentielle . . . 65

4) Fonctions exponentielles de basea . . . 66

II) Fonctions puissances . . . 67

1) Racines nièmes . . . 67

2) Puissance rationnelle . . . 68

3) Puissance irrationnelle . . . 69

4) Croissance comparée de ces fonctions . . . 69

III) Fonctions hyperboliques . . . 70

1) Définitions . . . 70

2) Trigonométrie hyperbolique . . . 71

3) Inversion des fonctions hyperboliques . . . 72

IV) Fonctions circulaires . . . 74

1) Rappels . . . 74

2) Inversion des fonctions circulaires . . . 75

V) Exercices . . . 77

I) Fonctions logarithmes et exponentielles

1) Logarithme népérien

La fonction x 7→ 1

x est continue sur ]0; +∞[, elle admet une unique primitive qui s’annule en 1, c’est la fonctionx7→

∫ x 1

dt t .

NDéfinition 6.1

L’unique primitive de la fonctionx7→ ¹_x sur]0; +∞[qui s’annule en1 est appeléelogarithme népérien, elle est notéeln. On a donc∀x >0, ln(x) =

∫ x 1

dt t .

Cette fonction est donc dérivable surI=]0; +∞[et ln⁰(x) = 1

x , elle est donc strictement croissante surI.

Soity >0, la fonctionf :x7→ln(xy)et dérivable surIetf⁰(x) =y 1 xy = 1

x, on en déduit quef(x) = ln(x)+c oùcest une constante, on aln(y) =f(1) = ln(1) +c=c, par conséquent on obtient :

I théorème6.1 (Propriété fondamentale du logarithme)

∀x, y >0,ln(xy) = ln(x) + ln(y).

Conséquences:

– Si uest une fonction dérivable qui ne s’annule pas, alors[ln(|u|)]⁰= u⁰ u. – ∀x, y∈R^∗,ln(|xy|) = ln(|x|) + ln(|y|).

– ∀x, y∈R^∗,ln(|^x_y|) = ln(|x|)−ln(|y|).

– ∀n∈Z^∗,∀x∈R^∗,ln(|xⁿ|) =nln(|x|).

I théorème6.2 (Limites du logarithme népérien)

x→lim+∞ln(x) = +∞; lim

x→0⁺ln(x) =−∞; lim

x→+∞

ln(x)

x = 0; lim

x→1

ln(x) x−1 = 1.

Courbe représentative :

x 0 1 +∞

ln’

ln 0

+∞

−∞

0 1 2 3 4 5

0 1 2

−1

−2

−3

−4

−5 I théorème6.3 (Inégalité de convexité)

∀x >0,ln(x)6x−1.

2) Logarithmes de base a

I théorème6.4

Soit f :]0; +∞[→R une application dérivable telle que∀x, y > 0, f(xy) = f(x) +f(y), alors il existe une constantek telle que∀x >0, f(x) =kln(x).

Fonctions logarithmes et exponentielles 65

On peut montrer que le théorème reste vrai si on remplacef dérivable parf continue.

Lorsque k = 0la fonction f est nulle, lorsquek 6= 0, il existe un unique réel a > 0 différent de 1 tel que ln(a) = 1

k, ce qui donnef(x) =ln(x) ln(a). NDéfinition 6.2

Soita∈R^∗+\ {1}, on appellelogarithme de baseala fonction notéelog_aet définie sur]0; +∞[parlog_a(x) = ln(x)

ln(a).

Remarques:

– ∀x, y∈R^∗+,log_a(xy) = log_a(x) + log_a(y).

– log_a(1) = 0et log_a(a) = 1.

– On noteel’unique réel strictement positif tel queln(e) = 1, on a alorsln = log_e. – La fonction log_a est dérivable et ∀x >0,log⁰_a(x) = 1

xln(a). – log1

a =−log_a.

3) La fonction exponentielle

La fonctionlnest strictement croissante surI=]0; +∞[, elle définit donc une bijection deIsurJ = Im(ln), comme elle est continue on aIm(ln) =] lim

0 ln; lim

+∞ln[=R. NDéfinition 6.3

La réciproque est appeléefonction exponentielleet notéeexp, elle est définie par : exp : R → ]0; +∞[

x → exp(x) =y tel quey >0 etln(y) =x .

Propriétés:

– La fonction expest strictement croissante surRet continue, de plusexp(0) = 1et exp(1) =e.

– La fonction ln est dérivable sur]0; +∞[et sa dérivée ne s’annule pas, donc la fonction expest dérivable surRet exp⁰(x) = 1

ln⁰(exp(x)) = exp(x).

– Dans un repère orthonormé, la courbe de la fonction expet celle de la fonction ln sont symétriques par rapport à la première bissectrice.

0 1 2 3 4 5

−1

−2

−3

−4 0

1 2 3 4 5

−1

−2

−3

−4

Cln

Cexp

Soient x, y ∈ R, notons X = exp(x) et Y = exp(y) alors X et Y sont dans ]0; +∞[ on peut donc écrire ln(XY) = ln(X) + ln(Y)ce qui donnex+y= ln(XY), par conséquentexp(x+y) =XY = exp(x) exp(y), on peut donc énoncer :

I théorème6.5 (Propriété fondamentale de l’exponentielle)

∀x, y∈R,exp(x+y) = exp(x) exp(y).

Il en découle en particulier queexp(−x) = 1 exp(x).

Notation: On déduit de ce théorème que pour tout entiern∈Zet pour tout réelxon aexp(nx) = [exp(x)]ⁿ. En particulier on a pour x= 1,exp(n) = [exp(1)]ⁿ =eⁿ. Sip et q sont deux entiers premiers entre eux avec q 6= 0 et si r = p

q, alors exp(qr) = exp(r)^q = e^p, comme exp(r) > 0 on peut écrire exp(r) = √^q

e^p = e^r [cf fonctions puissances]. On convient alors d’écrire pour tout réelx:

exp(x) =e^x . Les propriétés s’écrivent alors :

– e^x+y =e^x×e^y. – e⁰= 1, e^−x= 1

e^x,∀n∈Z, e^nx= [e^x]ⁿ.

– Si udésigne une fonction dérivable alors[e^u]⁰=u⁰×e^u. – ∀x∈R, e^x>x+ 1.

I théorème6.6 (Limites de la fonction exponentielle)

x→−∞lim e^x= 0, lim

x→+∞e^x= +∞, lim

x→+∞

e^x

x = +∞, lim

x→0

e^x−1 x = 1.

Il en découle que lim

x→+∞xe^−x= 0.

4) Fonctions exponentielles de base a

I théorème6.7

Soitf :R→]0; +∞[ une fonction dérivable telle∀x, y∈R, f(x+y) =f(x)f(y), alors il existe un réel k tel que∀x∈R, f(x) =e^kx.

Il existe un réel a >0 tel queln(a) =k, on peut donc écriref(x) =e^xln(a). NDéfinition 6.4

Soita >0, on appelleexponentielle de basea, la fonction notéeexp_a définie sur Rpar :

∀x∈R, exp_a(x) =e^xln(a).

Remarques:

– ∀x, y∈R,exp_a(x+y) = exp_a(x)×exp_a(y).

– exp_a(0) = 1,exp_a(1) =aet∀x∈R,exp_e(x) =e^x.

– La fonction exp_a est dérivable et∀x∈R,exp⁰_a(x) = ln(a) exp_a(x).

– exp1 a = 1

exp_a.

– Lorsque a6= 1, la fonctionexp_a est bijective et sa réciproque estlog_a.

Fonctions puissances 67

– Comme pour la fonction exponentielle [de base e] on montre que ∀r ∈Q,exp_a(r) =a^r. Par conséquent on pose pour tout réel x: exp_a(x) =a^x.Avec cette notation on a [∀x, y∈R,∀a, b∈]0; +∞[) :

– a^x= exp(xln(a)).

– ln(a^x) =xln(a).

– a^x+y=a^x×a^y,a⁰= 1et a¹=a.

– a^−x= 1

a^x, d’oùa^x−y =a^x a^y.

– [a^x]^y= exp(yln(a^x)) = exp(xyln(a)) =a^xy et donc (1

a )x

= 1 a^x. – a^x×b^x= exp(xln(a))×exp(xln(b)) = exp(xln(ab)) = (ab)^x et donc

(a b

)x

=a^x b^x. – Si x6= 0,a^x=b ⇐⇒ b=a^1x.

Seul un réel strictement positif peut être élevé à une puissance quelconque, par exempleπ^√2 est égal à [d’après la définition ci-dessus]exp_π(√

2) = exp(√

2 ln(π)).

II) Fonctions puissances

Les puissances entières sont supposées connues.

1) Racines nièmes

Soit n > 2 un entier, on note f_n la fonction définie sur R par f_n(x) = xⁿ. Cette fonction est continue dérivable surRet f_n⁰(x) =nxⁿ⁻¹.

Lorsque n est pair: La fonctionfn définit une bijection strictement croissante deI= [0; +∞[sur l’intervalle J =fn<R⁺>=R⁺, la bijection réciproque est appeléeracine nième elle est notée √ⁿ et définie par :

√n : [0; +∞[ → [0; +∞[ x 7→ √ⁿ

x=y tel que y>0 etyⁿ=x .

Cette fonction est continue, strictement croissante sur [0; +∞[ mais dérivable seulement sur ]0; +∞[ (car f_n⁰ s’annule en0 et fn(0) = 0), au point d’abscisse 0il y a une tangente verticale. Sa dérivée est donnée par : [√ⁿ

x]⁰= 1 f_n⁰(√ⁿ

x) =

√n

x nx.

Courbe représentative :

x 0 1 +∞

0

1

+∞

√n

0 1 2 3 4

−1 0 1 2 3 4

−1

x7→√⁴ x x7→x⁴

Propriétés: soientx, y∈[0; +∞[, – [√ⁿ

x]ⁿ=xet √ⁿ xⁿ=x.

– Si x >0 alors √ⁿ

x=xⁿ¹, carx¹ⁿ >0et [xⁿ¹]ⁿ =x¹=x. On en déduit alors que[√ⁿ x]⁰= 1

nxⁿ¹⁻¹. – √ⁿxy= √ⁿ

x× √ⁿy.

– Si x6= 0 alors ⁿ

√

1 x= 1

√n

x et donc∀p∈Z, √ⁿ

x^p= [√ⁿ x]^p.

Lorsque n est impair: La fonction f_n définit une bijection strictement croissante de Rsur l’intervallef_n <

R>=R, la bijection réciproque est appeléeracine nième elle est notée √ⁿ et définie par :

√n : R → R x 7→ √ⁿ

x=y tel queyⁿ=x .

Cette fonction est continue, strictement croissante sur Rmais dérivable seulement sur R^∗ (carf_n⁰ s’annule en 0 et fn(0) = 0), au point d’abscisse 0 il y a une tangente verticale. Sa dérivée est donnée par : [√ⁿ

x]⁰ = 1

f_n⁰(√ⁿ x) =

√n

x nx.

Courbe représentative :

x −∞ −1 0 1 +∞

√n

−∞

−1 0

1

+∞

0 1 2 3

−1

−2

−3 0

1 2 3

−1

−2

−3

x7→x³

x7→√³ x

Propriétés: soientx, y∈R, – [√ⁿ

x]ⁿ=xet √ⁿ xⁿ=x.

– √ⁿ

−x=−√ⁿ

x[fonction impaire].

– Si x >0 alors √ⁿ

x=xⁿ¹, carx¹ⁿ >0et [xⁿ¹]ⁿ =x¹=x. On en déduit alors que[√ⁿ x]⁰= 1

nxⁿ¹⁻¹. – √ⁿxy= √ⁿ

x× √ⁿy.

– Si x6= 0 alors ⁿ

√

1 x= 1

√n

x et donc∀p∈Z, √ⁿ

x^p= [√ⁿ x]^p.

2) Puissance rationnelle

NDéfinition 6.5 Soit r∈ Q^∗ et p

q le représentant irréductiblede r, c’est à dire r = p

q avecp∈ Z^∗, q ∈ N^∗ et q premier avecp. On pose par définition pourx∈R :x^r =√^q

x^p (sous réserve d’existence). La fonction ainsi définie est continue sur son ensemble de définition et dérivablesauf peut-être en 0.

Il est important de prendre le représentant irréductible dersinon la définition n’a pas de sens, par exemple on aurait −1 = (−1)¹= (−1)²² =√

(−1)²= 1.

Ensemble de définition: la fonction fr:x7→x^r avecr= p

q irréductibleest définie sur : – R^∗+ : sip <0et qest pair.

– R⁺ : sip >0,pimpair etqpair.

– R^∗ : sip <0etq impair [dans ce casf a la même parité que p].

– R: si











p >0 ppair et qimpair [auquel casfr est paire]

ou

p >0,pimpair etqimpair [auquel cas f_r est impaire]

Propriété: Lorsquex >0 on ax^r=e^rln(x). Conséquences:

Fonctions puissances 69

– Lorsque la fonctionf_r:7→x^rest paire on a∀x∈R^∗, x^r=e^rln(|x|). – Lorsque la fonctionfr est impaire on ax^r=εe^rln(|x|)avecε= x

|x|. – ∀x∈Df_r\ {0},[x^r]⁰=rx^r−1.

– Lorsquer∈]0; 1[la fonctionfrest continue en0mais pas dérivable. Il y a cependant une tangente verticale pour la courbe représentative. Par contre elle est dérivable en0lorsquer>1.

– Toutes les propriétés des puissances, établies dans le paragraphe sur les fonctions exponentielles, sont valables.

3) Puissance irrationnelle

Si αest un irrationnel et six >0 alors on a déjà adopté la notation suivante : x^α= exp_x(α) =e^αln(x).

Cela définit une fonctionfα continue et dérivable sur]0; +∞[avec la formule : [x^α]⁰=αx^α−1.

On a lim

x→0fα(x) =





0 siα >0 +∞ siα <0

. Dans le premier cas on pose 0^α = 0, dans le second cas il y a une asymptote verticale.

Lorsque α > 0 : x^α−0

x = e^{(α−1) ln(x)} −→

x→0





0 si α >1 +∞ si0< α <1

, lorsque α > 1 on a une tangente horizontale et lorsqueα <1on a une tangente verticale.

- 6

1 2 3 4 5

−1 0 1 2 3 4 5

0

−1 Courbe de la fonctionx7→x^α α <0

α >1

α= 1

0< α <1

Pour les réelsxstrictement positifs, on peut définir les puissances complexes à l’aide de l’exponentielle complexe en posant x^z=e^zln(x).

4) Croissance comparée de ces fonctions

NDéfinition 6.6

Soitf etg deux fonctions qui ne s’annulent pas au voisinage d’un pointa, on dit quef et négligeable devantg au voisinage dealorsque : lim

x→a

f(x) g(x) = 0.

Comparaison des puissances : siα < β alors x^α est négligeable devantx^β au voisinage de+∞ et x^β est négligeable devantx^αau voisinage de0. C’est à dire :

x→lim+∞

x^α

x^β = 0et lim

x→0⁺

x^β x^α = 0.

Comparaison des puissances et des logarithmes : si α et β sont des réels strictement positifs, alors [ln(x)]^β est négligeable devantx^α au voisinage de+∞et|ln(x)|^β est négligeable devant 1

x^α au voisinage de0.

C’est à dire :

x→lim+∞

[ln(x)]^β

x^α = 0et lim

x→0⁺

x^α|ln(x)|^β= 0.

Comparaison des puissances et des exponentielles: si αest un réel et si β >0, alorsx^α est négligeable devante^βx au voisinage de+∞, c’est à dire :

lim

x→+∞x^αe^−βx= 0.

III) Fonctions hyperboliques

1) Définitions

NDéfinition 6.7

Pour x ∈ R, on pose ch(x) = e^x+e^−x

2 [cosinus hyperbolique], sh(x) = e^x−e^−x

2 [sinus hyperbolique] et th(x) = sh(x)

ch(x) =e^x−e^−x

e^x+e^−x [tangente hyperbolique].

Le cosinus hyperbolique: la fonctionchest paire, définie continue dérivable sur Ret ch⁰(x) = sh(x), on en déduit le tableau de variation et la courbe :

x

ch

−∞ 0 +∞

+∞

1

+∞

- 6

1 2 3

−1 0

−2

−3

1 2 3 4 5

0

Quelques propriétés: – ∀x∈R,ch(x)>1.

– lim

x→+∞

ch(x)

x = +∞et lim

x→+∞

ch(x) e^x = 1

2.

Le sinus hyperbolique : la fonctionsh est impaire, définie continue dérivable surRetsh⁰(x) = ch(x), on en déduit le tableau de variation et la courbe :

Fonctions hyperboliques 71

x −∞ 0 +∞

sh 0

−∞

+∞ -

6

1 2 3

−1 0

−2

−3

2 4 6

0

−2

−4

−6 Quelques propriétés:

– ∀x∈R,ch(x) + sh(x) =e^x etch(x)−sh(x) =e^−x. – ∀x >0, x <sh(x)<ch(x).

– lim

x→+∞

sh(x)

x = +∞et lim

x→+∞

sh(x) e^x = 1

2.

La tangente hyperbolique: la fonctionthest impaire, définie continue dérivable surRetth⁰(x) =ch²(x)−sh²(x) ch²(x) = 1

ch²(x), on en déduit le tableau de variation et la courbe :

x −∞ 0 +∞

0 th

−1

1 -

6

1 2 3

−1 0

−2

−3

0.5 1

0

−0.5

−1

Quelques propriétés: – ∀x∈R,−1<th(x)<1.

– ∀x >0,th(x)< x.

2) Trigonométrie hyperbolique

∗ ∀x∈R,ch²(x)−sh²(x) = 1.

∗ Formules d’addition :∀x, y∈Ron a : – ch(x+y) = ch(x)ch(y) + sh(x)sh(y).

– sh(x+y) = sh(x)ch(y) + ch(x)sh(y).

– th(x+y) = th(x) + th(y) 1 + th(x)th(y).

En particulier :

ch(2x) = 2ch²(x)−1 = 1 + 2sh²(x) sh(2x) = 2sh(x)ch(x)

th(2x) = 2th(x) 1 + th²(x)

.

∗ Transformations de somme en produit :∀x, y∈R, en posant p= x+y

2 et q= x−y

2 , on a x=p+qet y=p−q, on obtient :

– ch(x) + ch(y) = 2ch(^x+y₂ )ch(^x−₂^y).

– ch(x)−ch(y) = 2sh(^x+y₂ )sh(^x−₂^y).

– sh(x) + sh(y) = 2sh(^x+y₂ )ch(^x−₂^y).

– th(x) + th(y) = sh(x+y) ch(x)ch(y).

Il est possible d’étendre ces fonctions aux complexes, en posant pour z ∈ C : ch(z) = e^z+e^−z

2 et sh(z) = e^z−e^−z

2 . On peut déduire des formules d’Euler que pour tout réelx,cos(x) = ch(ix)etisin(x) = sh(ix).

3) Inversion des fonctions hyperboliques

La fonctionchdéfinit une bijection de[0; +∞[sur l’intervalle[1; +∞[, la bijection réciproque est notéeargch [argument cosinus hyperbolique] et définie par :

argch : [1; +∞[ → [0; +∞[

x 7→ argch(x) =ytel que y>0 etch(x) =y .

Cette fonction est continue sur[1; +∞[, strictement croissante, dérivable sur]1; +∞[ mais pas en1 (car la dérivée dechs’annule en0etch(0) = 1), sa dérivée est :

∀x >1,argch⁰(x) = 1

sh(argch(x)) = 1

√x²−1.

Courbe représentative

x +∞

argch

+∞

1

0

- 6

1 2 3 4 5

0 1 2 3 4 5

0

Cch

Cargch

Propriétés:

– ∀x>0,argch(ch(x)) =x.

– ∀x>1,ch(argch(x)) =x.

– ∀x>1,argch(x) = ln(x+√

x²−1).

– lim

x→+∞

argch(x)

x = 0et lim

x→+∞

argch(x) ln(x) = 1.

La fonction sh définit une bijection de R sur R, la bijection réciproque est notée argsh [argument sinus hyperbolique] et définie par :

argsh : R → R

x 7→ argsh(x) =y tel quesh(x) =y .

Cette fonction est continue surR, strictement croissante, dérivable sur R(car la dérivée de shne s’annule pas), sa dérivée est :

∀x∈R,argsh⁰(x) = 1

ch(argsh(x))= 1

√x²+ 1.

Courbe représentative

Fonctions hyperboliques 73

x

argsh

−∞ 0 +∞

−∞

0

+∞ -

6

1 2 3 4

−1 0

−2

−3

−4

1 2 3 4

0

−1

−2

−3

−4

Cargsh

Csh

Propriétés:

– ∀x∈R,argsh(sh(x)) =xet sh(argsh(x)) =x.

– ∀x∈R,argsh(−x) =−argsh(x).

– ∀x∈R,argsh(x) = ln(x+√

x²+ 1).

– ∀x >0, x <argsh(x).

– lim

x→+∞

argsh(x)

x = 0et lim

x→+∞

argsh(x) ln(x) = 1.

La fonction th définit une bijection de R sur ]−1; 1[, la bijection réciproque est notée argth [argument tangente hyperbolique] et définie par :

argth : ]−1; 1[ → R

x 7→ argth(x) =y tel queth(x) =y .

Cette fonction est continue sur]−1; 1[, strictement croissante, dérivable sur]−1; 1[(car la dérivée dethne s’annule pas), sa dérivée est :

∀x∈]−1; 1[,argth⁰(x) = 1

1−th²(argth(x))= 1 1−x². Courbe représentative

x 0

argth 0

−1 1

+∞

−∞

- 6

1 2 3

−1 0

−2

−3

1 2 3

0

−1

−2

−3

Cargth

Cth

Propriétés:

– ∀x∈R,argth(th(x)) =xet ∀x∈]−1; 1[,th(argth(x)) =x.

– ∀x∈]−1; 1[,argth(−x) =−argth(x).

– ∀x >0,argth(x)> x.

– ∀x∈]−1; 1[,argth(x) = 1 2ln

(1 +x 1−x )

.

IV) Fonctions circulaires

1) Rappels

Soitxun réel, le planP étant muni d’un repère orthonormé direct(O,−→u ,−→v ), soit M(x)le point du cercle trigonométrique tel que(−→u ,−−−→

OM ) =x (mod 2π)alors les coordonnées deM(x)sont (cos(x),sin(x)), lorsque cela est possible, on posetan(x) = sin(x)

cos(x).

sin(x) M

tan(x)

x cos(x)

O 1

Le réelxreprésente également la longueur de l’arc de cercle (AM)avec A(1,0), le cercle étant orienté dans le sens direct.

Quelques propriétés:

– ∀x∈R,cos²(x) + sin²(x) = 1.

– Les fonctions sinus et cosinus sont2π-périodiques définies continues dérivables surR, à valeurs dans[−1; 1], et on asin⁰ = coset cos⁰=−sin.

– La fonction tangente est π-périodique, définie continue dérivable sur R\ {π

2 +kπ} et on a tan⁰(x) = 1 + tan²(x) = 1

cos²(x).

– Les fonctions sinus et tangente sont impaires alors que la fonction cosinus est paire.

- 6

1 2 3 4

−1 0

−2

−3

−4

1

0

−1

π

π 2

Csin

- 6

1 2 3 4

−1 0

−2

−3

−4

1

0

−1

π π

2

Ccos

- 6

1 2

−1 0

−2 1 2 3 4 5

0

−1

−2

−3

−4

−5

Ctan

– On a les relationssin(π+x) =−sin(x)et cos(π+x) =−cos(x).

– On a les valeurs remarquables :

x 0 ^π₆ ^π₄ ^π₃ ^π₂ sin(x) 0 ¹₂

√2 2

√3

2 1

cos(x) 1 ^√₂^{3 √}₂^{2 1}₂ 0 tan(x) 0 √¹

3 1 √

3 ,

Fonctions circulaires 75

comme sin(π−x) = sin(x) et cos(π−x) = −cos(x), on peut compléter le tableau avec les valeurs

2π

3, ^3π₄ , ^5π₆ et π, la parité permet ensuite d’avoir un tableau de−πà π.

– Formules d’addition : ∀x, y∈Ron a : – cos(x+y) = cos(x) cos(y)−sin(x) sin(y).

– sin(x+y) = sin(x) cos(y) + cos(x) sin(y).

– tan(x+y) = tan(x) + tan(y) 1−tan(x) tan(y).

– ∀x∈R,|sin(x)|6|x|,061−cos(x)6 ^x₂² et|tan(x)|>|x|.

Extension : on peut prolonger les fonctions sinus et cosinus à Cen posant cos(z) = e^iz+e^−iz

2 et sin(z) = e^iz−e^−iz

2i .

2) Inversion des fonctions circulaires

La fonction Arcsin : la fonction sin est strictement croissante sur I = [−^π₂;^π₂], elle définit une bijection de I sur J = [sin(−^π₂);^π₂] = [−1; 1]. La bijection réciproque est notée arcsin [arcsinus], elle est définie par : arcsin : [−1; 1] → [−^π₂;^π₂]

x 7→ arcsin(x) =y tel que





y∈[−^π₂;^π₂] sin(y) =x

.

Cette fonction est strictement croissante et continue sur [−1; 1], elle est dérivable sur ]−1; 1[mais pas en

−1ni en1 [tangente verticale en ces points], on a la formule suivante :

∀x∈]−1; 1[,arcsin⁰(x) = 1

cos(arcsin(x)) = 1

√1−x².

x 0 1

arcsin

π 2

0

π 2

−1 -

6

1 2

−1 0

−2

1 2

0

−1

−2

π 2 π

2

−^π₂

−^π₂

Csin

Carcsin

Propriétés:

– ∀x∈[−1; 1],sin(arcsin(x)) =x.

– ∀x∈[−^π₂;^π₂],arcsin(sin(x)) =x.

– ∀x∈[−1; 1],arcsin(−x) =−arcsin(x)[fonction impaire].

– ∀x∈[−1; 1],cos(arcsin(x)) =√ 1−x². – ∀x∈[−π;π],arcsin(cos(x)) = ^π₂ − |x|.

La fonctionf :x7→arcsin(sin(x))n’est pas l’identité, elle est2π- périodique et impaire, il suffit donc l’étudier sur [0;π], mais elle vérifie f(π−x) =f(x), la droite x= ^π₂ est donc un axe de symétrie et l’étude se réduit à [0;^π₂], intervalle sur lequelf(x) =x.

La fonction Arccos : la fonctionf : [0;π] → [−1; 1] définie par f(x) = cos(x), est continue et strictement décroissante, elle définit donc une bijection de[0;π]sur[−1; 1]. Par définition, la bijection réciproque est appelée

fonction arccosinuset notéearccos, elle est définie par :

arccos : [−1; 1] → [0;π]

x 7→ arccos(x) =y tel que





y∈[−0;π]

cos(y) =x .

Cette fonction est strictement décroissante et continue sur[−1; 1], elle est dérivable sur]−1; 1[mais pas en

−1ni en1 [tangente verticale en ces points], on a la formule suivante :

∀x∈]−1; 1[,arccos⁰(x) = −1

sin(arccos(x)) = −1

√1−x².

x −1 0 1

0

π 2

π arccos

- 6

1 2 3

−1 0 1 2 3

0

−1

π π

2

π

π 2

Ccos

Carccos

Propriétés:

– ∀x∈[−1; 1],cos(arccos(x)) =x.

– ∀x∈[0;π],arccos(cos(x)) =x.

– ∀x∈[−1; 1],sin(arccos(x)) =√ 1−x². – ∀x∈[−1; 1],arccos(x) + arcsin(x) =^π₂. – ∀x∈[−1; 1],arccos(−x) =π−arccos(x).

La fonctionf : x7→arccos(cos(x)) n’est pas l’identité, elle est 2π- périodique et paire, il suffit donc l’étudier sur [0;π] intervalle sur lequelf(x) =x.

La fonction Arctan : la fonction f :]− π 2;π

2[→ R définie par f(x) = tan(x), est continue et strictement croissante, elle définit donc une bijection de ]−π

2;π

2[ surR. Par définition, la bijection réciproque est appelée fonction arctangenteet notéearctan, elle est définie par :

arctan : R → ]−π 2;π

2[

x 7→ arctan(x) =y tel que





y∈]−^π₂;^π₂[ tan(y) =x

.

Cette fonction est strictement croissante, continue et dérivable surRet on a la formule suivante :

∀x∈R,arctan⁰(x) = 1

1 + tan²(arctan(x)) = 1 1 +x².

Exercices 77

x −∞ 0 +∞

arctan

−^π₂

0

π 2

- 6

1 2 3 4

−1 0

−2

−3

−4

1 2 3 4

0

−1

−2

−3

−4 Ctan

Carctan

−^π₂

−^π₂

π 2

π 2

Propriétés:

– ∀x∈R,tan(arctan(x)) =x.

– ∀x∈]−^π₂;^π₂[,arctan(tan(x)) =x.

– ∀x∈R,arctan(−x) =−arctan(x).

– ∀x∈R^∗+,arctan(x) + arctan(¹_x) =^π₂. – ∀x∈R,arctan(x) = arcsin

(√x 1+x²

) . – ∀x∈R,arctan(x) = Arg(1 +ix).

V) Exercices

FExercice 6.1

Résoudre les équations suivantes : a) x^√x=√

x^x. b) 2^x3= 3^x2.

c) log_a(x) = log_x(a).

d) log₃(x)−log₂(x) = 1.

FExercice 6.2

Simplifier les sommes :

∑n k=0

ch(a+kb)et

∑n k=0

sh(a+kb).

FExercice 6.3

Étudier la dérivabilité des fonctions suivantes et calculer leur dérivée : a) f(x) = th(x)−¹₃th³(x).

b) f(x) = arcsin(th(x)).

c) f(x) = arctan(sh(x)).

d) f(x) = arctan(th(x)).

e) f(x) = arcsin (1 +x

1−x )

.

f) f(x) =

√

1−arcsin(x) 1 + arcsin(x)). g) f(x) = arctan

( 1 1 +x²

) .

h) f(x) = arctan (√

1−sin(x) 1 + sin(x)

) .

FExercice 6.4

Étudier les fonctions suivantes : a) x7→arcsin(sin(x)).

b) x7→arccos(cos(x)).

c) x7→arctan(tan(x)).

d) x7→arctan(tan(x)) + arccos(cos(x)).

FExercice 6.5

a) Soitz=x+iy∈C, montrer que : i) Six >0 alorsArg(z) = arctan(y

x).

ii) Six <0 ety >0alorsArg(z) = arctan(y x) +π.

iii) Si x <0 ety <0alorsArg(z) = arctan(y x)−π.

b) Soitz∈C\R⁻, montrer queArg(z) = 2 arctan( Im(z)

|z|+Re(z)). Soitf : [a;b]→C\R⁻ une fonction continue. Montrer que la fonction Arg(f)est continue.

c) Montrer que∀x∈R,arctan(x) = arcsin( x

√1 +x²).

FExercice 6.6

Soitf(x) = arcsin(x) + 2 arctan

(√1−x 1 +x )

. Ensemble de définition de f? Dérivabilité de f? Calculer f⁰ et en déduire une simplification def(x).

FExercice 6.7

Montrer que la fonctionf(x) = 2 arctan(√

x²+ 1−x) + arctan(x)est constante surR. FExercice 6.8

Soitf :R→Rune fonction continue en0telle que∀x∈R, f(2x) =f(x). Montrer quef est constante.