PanaMaths
[1-4]Août 2010
Synthèse de cours PanaMaths
Æ Fonctions hyperboliques
Définition
On appelle « sinus hyperbolique », « cosinus hyperbolique » et « tangente hyperbolique » les fonctions réelle définie sur par :
( )
( )
( ) ( )
2 2
sinh : 1 2 cosh : 1
2
sinh 1
tanh :
cosh 1
x x
x x
x x x
x x x
x e e
x e e
x e e e
x x e e e
−
−
−
−
− +
− −
= =
+ +
Remarques :
• On peut également utiliser les notations sh, ch et th.
• La fonction exponentielle prenant des valeurs strictement positives sur , on en déduit immédiatement que la fonction cosinus hyperbolique prend également des valeurs strictement positives sur .
Relation fondamentale
Pour tout réel x, on a :
( ) ( )
2 2
cosh x −sinh x =1
Remarque : pour d’autres relations importantes, on se reportera au formulaire PanaMaths de trigonométrie hyperbolique.
Parité
Les fonctions sinus hyperbolique et tangente hyperbolique sont impaires.
La fonction cosinus hyperbolique est paire.
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[2-4]Août 2010
Remarque : rappelons que toute fonction de la variable réelle dont l’ensemble de définition est symétrique peut être décomposée de façon unique comme somme d’une fonction paire et d’une fonction impaire. Pour la fonction exponentielle, on a simplement :
( ) ( )
, x cosh sinh
x e x x
∀ ∈ = +
Continuité
Les fonctions hyperboliques sont continues sur .
Limites en −∞ et en +∞
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
lim sinh lim sinh
lim cosh lim cosh
lim tanh 1 lim tanh 1
x x
x x
x x
x x
x x
x x
→−∞ →+∞
→−∞ →+∞
+ −
→−∞ →+∞
= −∞ = +∞
= +∞ = +∞
= − =
Sens de variation
Les fonctions sinus hyperbolique et tangente hyperbolique sont strictement croissantes sur . La fonction cosinus hyperbolique est strictement décroissante sur − et strictement
croissante sur +
Dérivées
Les fonctions hyperboliques sont dérivables sur et on a, pour tout x réel :
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
2( )
2( )
sinh' sinh cosh
cosh' cosh sinh
tanh 1
tanh' 1 tanh
cosh
x d x x
dx
x d x x
dx
x d x x
dx x
= =
= =
= = = −
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[3-4]Août 2010
Courbes représentatives
x
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
y 3
2
1
0
-1
-2
sinh(x) -3 cosh(x)
tanh(x)
y = x y = -1
y = 1
Remarque : sur la figure ci-dessus, on a fait apparaître :
• Les deux asymptotes horizontales (à la courbe représentative de la fonction
tangente hyperbolique) d’équations y= −1 et y=1, la seconde étant également la tangente au point de coordonnées
( )
0 ; 1 à la courbe représentative de la fonction cosinus hyperbolique.• La tangente, d’équation y=x, à l’origine aux courbes représentatives des fonctions sinus hyperbolique et tangente hyperbolique.
Equivalences
( ) ( )
( ) ( )
( )
0( )
0sinh cosh 1
2 sinh cosh 1
2 sinh tanh
x
x
x x e
x x e
x x x
+∞ +∞
−
−∞ −∞
−
∼ ∼
∼ ∼
∼ ∼
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[4-4]Août 2010
Primitives
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ( ) )
sinh cosh
cosh sinh
tanh ln cosh
x dx x C
x dx x C
x dx x C
= +
= +
= +
∫
∫
∫
C étant une constante réelle quelconque.
