PanaMaths
[1-3]Mars 2002
Synthèse de cours PanaMaths (CPGE)
Æ La fonction exponentielle
Définition
On définit la fonction exponentielle, notée « exp », comme fonction réciproque de la fonction logarithme népérien (voir graphes ci-dessous) :
] [
( )
exp : 0,
exp x où ln
x y x e x y
→ +∞
= = =
\ 6
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
x = ln y
y = x
y = ex
y=ex
ln x= y
PanaMaths
[2-3]Mars 2002 Propriétés équivalentes à la définition
( )
* ln
, ln ,
x
x
x e x
x + e x
∀ ∈ =
∀ ∈ =
\
\
Premières propriétés
• ∀ ∈x \, 0ex> ;
• e0 =1;
• 1
, x x
x e
e
∀ ∈\ − = ;
• ∀
(
x x1, 2,...,xn)
∈\n, ...ex1+ + +x2 ... xn =e ex1 x2 exn ;• ∀ ∈x \, , ∀ ∈n `
( )
ex n =enx ;• ∀
( )
x y, ∈\2, ex =ey ⇔ =x yEtude de la fonction exponentielle
Ensemble de définition
Dexp =\
Dérivée
La fonction exponentielle est dérivable sur \ et sa dérivée est égale à elle-même :
( ) ( ) ( )
, exp ' exp
x x x
∀ ∈\ =
Sens de variation
La fonction exponentielle est strictement croissante.
Limites aux bornes de l’ensemble de définition
( ) ( )
lim exp lim
lim exp lim 0
x
x x
x
x x
x e
x e
→+∞ →+∞
→−∞ →−∞
= = +∞
= =
Approximation affine au voisinage de 0
0
lim 1 1
x x
e
→ x
⎛ − ⎞
⎜ ⎟=
⎝ ⎠ ou ex1+x
Il existe une fonction ϕ telle que : ∀ ∈x \, 1ex = + +x xϕ
( )
x avec( )
0
lim 0
x ϕ x
→ = .
PanaMaths
[3-3]Mars 2002 Limite fondamentale
, lim
x x n
n e
→+∞x
∀ ∈` = +∞
Composée de l’exponentielle et d’une fonction dérivable
Dans ce qui suit, f est une fonction dérivable sur un intervalle I.
Dérivée
La fonction composée exp o f est dérivable sur l’intervalle I et on a :
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ), exp ' f ' ' f x
x I o f x e x f x e
∀ ∈ = =
Primitives
La fonction f '. exp
(
o f)
est intégrable sur l’intervalle I et ses primitives sont les fonctions définies par :( )
( ) ( )' f x f x
f x e dx=e +C
∫
où C est une constante réelle quelconque.
Puissances réelles
Définition
* ln
, , x x a
a + x a e
∀ ∈\ ∀ ∈\ =
Propriétés
• ∀ ∈a \+*, , ∀ ∈x \ ln
( )
ax =xlna ;• ∀ ∈x \, 1x =1 ;
• * 1
, , x x
a x a
a
+ −
∀ ∈\ ∀ ∈\ = ;
• ∀ ∈a \+*, ,∀
( )
x y ∈\2, a ax y =ax y+ ;• ∀
( )
a b, ∈( )
\+* 2, ∀ ∈x \, a bx x =( )
ab x ;• ∀ ∈a \+*, ,∀
