Fonctions usuelles

(1)

Fonctions usuelles

1. Exemples de questions de cours

1. Qu’est ce qu’une injection ? En donner un exemple.

2. Qu’est ce qu’une surjection ? En donner un exemple.

3. Qu’est ce qu’une bijection ? En donner un exemple.

4. Donner l’allure de la courbe représentative de la fonction exponentielle. Préciser ces limites aux bornes de son ensemble de définition.

5. Comment d´erive-t-on une fonction `a valeurs complexes ? Donner un exemple.

6. Qu’est ce que le théorème de la fonction réciproque ?

7. Donner l’allure de la courbe représentative de la fonction logarithme népérien. Préciser ces limites aux bornes de son ensemble de définition.

8. Donner la dérivée du logarithme népérien et préciser son signe.

9. Que vaut limx→0ln(1+x)

x ? Comment interpréter cette limite ? 10. Comment définit-on une puissance d’exposant réel ?

11. D´emontrer que(aa⁰)^b=a^ba^0b.

12. Quel est le sens de variation de la fonction exponentielle de basea?

13. Quelles sont les limites aux bornes de son ensemble de définition de la fonction exponentielle de basea? 14. Comment définit-on la fonction logarithme de basea? Qu’est ce que le logarithme décimal ?

15. D´emontrer que le logarithme en base a est la r´eciproque de la fonction exponentielle de base a (pour a∈]0,1[∪]1,+∞[).

16. Quel est le sens de variation de la fonction logarithme de basea?

17. Quelles sont les limites aux bornes de son ensemble de d´efinition de la fonction logarithme de basea? 18. D´emontrer quelog_a√

x= ¹₂log_ax.

19. Comment d´efinit-on la fonction puissance d’exposantα?

20. Quel est le sens de variation de la fonction puissance d’exposantα?

21. Quelles sont les limites aux bornes de son ensemble de définition de la fonction puissance d’exposantα? 22. Comment définit-on la fonction racinen-ième ?

23. D´emontrer quelimx→+∞lnx x = 0.

24. Donner les limites permettant de comparer la fonction logarithme n´ep´erien aux fonctions puissances.

25. Donner les limites permettant de comparer les fonctions puissances aux fonctions exponentielles.

2. Exemples d’exercices

Exercice 1 *

Soitf une fonction polynômiale du second degré dont on noteCla courbe représentative.

1. (a) D´eterminerf sachant qu’elle admet pour racines1 et3 et quef⁰(1) = 4.

Ecrire´ f(x) =a(x−1)(x−3)pour toutx∈Ret en d´eduire que f⁰(x) = 2a(x−2)puis f⁰(1) =−2a puis a=−2 et en d´eduire :

∀x∈R, f(x) =−2(x−1)(x−3) =−2x²+ 8x−6 (b) ´Etudier les variations de f et tracerC.

Obtenir que f est croissante sur]− ∞,2]et d´ecroissante sur [2,+∞[.

2. Déterminer les équations des tangentes à Cpassant par A(0,2).

Obtenir y= 4x−4.

(2)

Soit f une fonction polynômiale du second degré dont on noteC la courbe représentative. On suppose que la droite d’équationx=−1 est axe de symétrie deC, quef(1) = 2et que2 est racine def.

1. Donner une expression def(x)en fonction de xpar deux m´ethodes.

(a) En cherchant toutes les racines def.

Par sym´etrie, les racines def sont 2 et−4 doncf(x) =a(x−2)(x+ 4) puis f(1) =−5a= 2d’o`u f(x) =−²₅(x−2)(x+ 4).

(b) En donnant l’axe de sym´etrie de la courbe repr´esentative dex7→ax²+bx+cavec(a, b, c)∈R^∗×R×R.

L’axe de symétrie estx=−_2a^b d’oùb= 2aetf(x) =ax²+ 2ax+c et on résout le système : ß 8a+c= 0

3a+c= 2 ⇔

ß a=−²₅ c= ¹⁶₅ En d´eduire quef(x) =−²₅x²−⁴₅x+¹⁶₅.

2. Calculer les limites def (en±∞) et ´etudier les variations def.

A l’aide des monˆ` omes de plus haut degr´e, lim_x→−∞f(x) = lim_x→+∞f(x) = −∞ puis f est croissante sur ]− ∞,−1]et d´ecroissante sur[−1,+∞[.

Exercice 3 *

1. R´esoudre l’´equation 2x³−6x²+x+ 6 = 0.

Remarquer que 2 est racine ´evidente et en d´eduire par identification que :

∀x∈R, 2x³−6x²+x+ 6 = (x−2)(2x²−2x−3) Résoudre l’équation2x²−2x−3 = 0en calculant ∆ = 28, en déduire :

S =

® ,1±√

7 2 ,2

´

2. En d´eduire les variations et les limites def :x7→x⁴−4x³+x²+ 12x−3.

Remarquer quef⁰(x) = 2(2x³−6x²+x+6)et en d´eduire quef est d´ecroissante sur]−∞,¹⁻

√7

2 ], croissante sur [¹⁻

√ 7 2 ,¹⁺

√ 7

2 ], d´ecroissante sur[¹⁺

√ 7

2 ,2]et croissante sur [2,+∞[. À l’aide du monôme de plus haut degré, obtenir que lim_x→−∞f(x) = lim_x→+∞f(x) = +∞.

Exercice 4 **

Soit(α, β, γ)∈R³et P la fonction polynˆomiale d´efinie par :

∀x∈R, P(x) = (x−α)(x−β)(x−γ) On suppose que :







α+β+γ= 0

1

α+_β¹ +¹_γ = ³₂ α²+β²+γ²= 6

1. Quel est le degr´e deP? Quelles sont ses racines ? D´evelopperP(x)pour toutx∈R.

Obtenir :

∀x∈R, P(x) =x³−(α+β+γ)x²+ (αβ+αγ+βγ)x−αβγ 2. D´eterminer les coefficients deP.

De la première ligne (au carré) et de la troisième, déduire par différence queαβ+αγ+βγ=−3 puis en mettant la seconde ligne au même dénominateur queαβγ=−2 et :

∀x∈R, P(x) =x³−3x+ 2 3. En d´eduireα,β etγ.

Chercher une racine ´evidente de P et en d´eduire une factorisation de P (par exemple par identification) puis conclure que {α, β, γ}={−2,1}

St´ephane – TSI1 – Lyc´ee Louis

(3)

Exercice 5 *

SoitP la fonction polynˆomiale d´efinie par :

∀x∈R, P(x) =x³−3x²+ax+b o`u (a, b)∈R²

1. On noteAle point d’abscisse1 situé sur la courbeC représentative deP. Calculer l’ordonnée deAnotée yA.

Obtenir y_A=a+b−2.

2. (a) D´emontrer que :

∀x∈R, P(x) +P(2−x) = 2y_A

Calculer P(x) +P(2−x) =x³−3x²+ax+b+ (2−x)³−3(2−x)²+a(2−x) +b= 2a+ 2b−4 (b) Comment interpréter graphiquement l’égalité précédente ?

C est sym´etrique par rapport `aA.

Exercice 6 **

Soit P une fonction polynômiale du troisième degré dont le coefficient en x² est nul et dont on note C la courbe représentative. Enfin∆désigne une droite.

1. (a) On suppose que∆coupeCen trois points distincts. Démontrer que l’isobarycentre de ces trois points est situé sur l’axe des ordonnées.

Raisonner par différence et écrire que les abscisses α, β et γ de ces trois points sont les solutions d’une équationf(x) = 0oùf(x) =ax³+bx+c. D´evelopperf(x) =a(x−α)(x−β)(x−γ)pour en déduire par identification quea(α+β+γ) = 0d’oùα+β+γ= 0 puis conclure.

(b) On suppose que∆ est tangente àC en un pointAet qu’elle coupe également C en un pointB 6=A. Démontrer que le barycentre de (A,2)et (B,1) est situé sur l’axe des ordonnées.

Justifier déjà que les abscissesαetβ sont solutions d’une équation f(x) = 0et qu’il existeγ∈Rtel que :

∀x∈R, f(x) =a(x−α)(x−β)(x−γ)

D´eduire de f⁰(α) = 0 que a(α−β)(α−γ) = 0 puis α = γ. Enfin retrouver α+β+γ = 0 puis 2α+β= 0 et conclure.

2. On consid`ere la fonction polynˆomialeP :x7→x³−2x+ 3et sa tangente∆au pointAd’abscisse 1.

(a) Que taper sous Maple^® pour v´erifier que∆coupe ´egalementC en un pointB 6=A? Taper :

P:=x->x^3-2*x+3;

D(P)(1)*(x-1)+P(1);

L:=[solve(P(x)-%)];

(b) À l’aide de Maple^®, retrouver que le barycentre de(A,2)et(B,1)est situé sur l’axe des ordonnées puis calculer son ordonnée.

Taper :

xG:=(2*L[2]+L[1])/3;

yG:=(2*P(L[2])+P(L[1]))/3;

Exercice 7 *

1. Soitf :x7→ ^1−2x_x2−2.

(a) D´eterminer l’ensemble de d´efinition def.

Résoudre l’équationx²−2 = 0et en déduire quef est définie sur]−∞,−√

2[∪]−√ 2,√

2[∪]√ 2,+∞[.

(b) D´eterminer les limites def aux bornes de son ensemble de d´efinition.

Utiliser les termes de plus haut degr´e en ±∞ (obtenir 0) et par quotient en ±√

2 (en justifiant le signe dex²−2 selon quexest à l’intérieur ou à l’extérieur des racines) pour en déduire :

lim

x→−√ 2⁻

f(x) = +∞ lim

x→−√ 2⁺

f(x) =−∞ lim

x→√ 2⁻

f(x) = +∞ lim

x→√ 2⁺

f(x) =−∞

(4)

(a) D´eterminer l’ensemble de d´efinition deg.

Résoudre l’équation(1−2x)(1−x)⁴= 0et en déduire quegest définie sur]− ∞,¹₂[∪]¹₂,1[∪]1,+∞[.

(b) D´eterminer les limites def aux bornes de son ensemble de d´efinition.

Remarquer qu’en développant(2x²−2x+1)³le terme de plus haut degré est8x⁶, celui de(1−2x)(1−x)⁴ est −2x⁵. En déduire que les limites en ±∞ de (1−2x)(1−x)^(2x²^−2x+1)³⁴ sont les mêmes que celles de −4x et conclure. Remarquer enfin que (1−2x)(1−x)⁴ est du signe de 1−2x et calculer les autres limites par quotient :

lim

x→¹₂⁻

g(x) = +∞ lim

x→¹₂⁺

g(x) =−∞ lim

x→1g(x) =−∞

Exercice 8 **

On consid`ere la fonctionf d´efinie parf(x) = ^x²^+3x+4_x+1 .

1. (a) PréciserDf, ensemble de définition def et étudier les variations et les limites def. Df =R\{−1}etf(x) = ^x_(x+1)²^+2x−12 est du signe dex²+2x−1dont les racines sont−1±√

2. En d´eduire quef est croissante sur]− ∞,−1−√

2], d´ecroissante sur[−1−√

2,−1[, croissante sur]−1,−1 +√ 2]

et d´ecroissante sur [−1 +√

2,+∞[. Calculer ensuite limx→−∞f(x) =−∞,lim_x→−1⁻f(x) =−∞, lim_x→−1+f(x) = +∞ etlim_x→+∞f(x) = +∞.

(b) D´emontrer que la courbe repr´esentative def admet une asymptote verticale.

Déduire des limites précédentes que la droite d1 d’équationx=−1 est asymptote verticale.

2. (a) D´emontrer qu’il existe trois r´eelsa,bet ctels que :

∀x∈ Df, f(x) =ax+b+ c x+ 1

Partir de l’expression ax+b+_x+1^c , la mettre au même dénominateur puis identifier les numérateurs pour en déduire que :

a= 1 b= 2 c= 2 (b) Comment interpréter graphiquement l’égalité précédente ?

Calculerlimx→±∞f(x)−(x+ 2) = 0et en déduire que la droited2d’équationy=x+ 2est asymptote oblique à la courbe représentative def au voisinage de −∞et au voisinage de+∞.

3. Démontrer que la courbe représentative def admet un centre de symétrie.

ConsidérerA=d₁∩d₂ de coordonnées(−1,1) et démontrer queA est centre de symétrie en vérifiant que pour toutx∈ Df,−2−x∈ Df puis que f(x) +f(−2−x) = 2pour tout x∈ Df.

Exercice 9 **

Soitf la fonction d´efinie par :

f(x) = x²−1 2x+ 1

1. Donner l’ensemble de d´efinition D de la fonction f et d´eterminer les limites de f aux bornes de cet ensemble.

Résoudre l’équation2x+ 1 = 0et en déduire que D=R\{−¹₂}puis utiliser les termes de plus haut degré en ±∞(obtenir±∞) et par quotient en−¹₂ en justifiant avec soin le signe de2x+ 1pour obtenir :

lim

x→¹₂⁻

f(x) = +∞ lim

x→¹₂⁻

f(x) =−∞

2. D´emontrer qu’il existe(a, b, c)∈R³tel que :

∀x∈ D, f(x) =ax+b+ c 2x+ 1

Partir de l’expressionax+b+_2x+1^c , la mettre au même dénominateur puis identifier les numérateurs pour en déduire que :

a=1

2 b=−1

4 c=−3 4

(5)

3. (a) D´emontrer que la courbeCf repr´esentative def admet une asymptote oblique d.

Démontrer que la droitedd’équation y= ^x₂−¹₄ est asymptote oblique àCf au voisinage de±∞ en calculant lim_x→±∞f(x)− ^x₂ −¹₄

= 0.

(b) ´Etudier la position relative deCf et d.

Etudier le signe de´ −_4(2x+1)³ qui est n´egatif si x >−¹₂ et positif sinon.

Exercice 10 *

On consid`ere la fonctionf d´efinie par :

f(x) = x²−2x x²−2x+ 2 1. Justifier que f est d´efinie surR.

Vérifier que l’équationx²−2x+ 2 = 0n’admet pas de solution réelle car ∆ =−4.

2. Démontrer que la courbeC, représentative def est symétrique par rapport à la droite d’équationx= 1.

V´erifier quef(2−x) =f(x)pour toutx∈R.

Exercice 11 *

f(x) = x²+ 3 2−x 1. D´eterminer l’ensemble de d´efinition def.

f est d´efinie surD_f =R\{2}.

2. Démontrer que la courbeC, représentative def est symétrique par rapport au pointA(2,−4).

V´erifier que d’une part pour toutx∈ Df,4−x∈ Df puis que f(4−x) +f(x) =−8 pour toutx∈ Df.

Exercice 12 *

Soitf la fonction d´efinie parf(x) = ^1+x_1−x²2.

1. D´eterminer l’ensemble de d´efinition def et justifier quef est paire.

Df =R\{−1,1}, pour toutx∈ Df,−x∈ Df etf(−x) =f(x).

2. Donner les limites def aux bornes de son ensemble de d´efinition.

limx→+∞f(x) = 1 (quotient des monômes de plus haut degré) puis selon que x est à l’intérieur ou à l’extérieur des racines dex²−1 (qui sont±1) écrire que lim_x→1⁻1−x²= 0⁺ puis lim_x→1⁻f(x) = +∞

et lim_x→1⁺1−x²= 0⁻ puislim_x→1⁻f(x) =−∞. Obtenir les limites manquantes par parit´e.

Exercice 13 *

1. R´esoudree^x−2e^−x=−1.

Poser X= e^xet se ramener à l’équation du second degréX²+X−2 = 0dont les solutions sont 1 et−2 et en déduire quex= 0.

2. R´esoudree^x+ e^1−x= e + 1.

Se ramener à l’équation du second degréX²−(e + 1)X+ e = 0dont les solutions sont1 eteet en déduire quex= 0 ou1.

(6)

1. R´esoudre dansRl’´equation :

e^6x+ 1 = e^2x+ e^4x

PoserX= e^2xet se ramener àX³−X²−X+1 = 0dont1et−1sont racines évidentes. Par identification, obtenir queX³−X²−X+ 1 = (X−1)²(X+ 1) et en déduire quex= 0.

2. Résoudre cette équation à l’aide de Maple^® et interpréter les réponses obtenues.

Taper :

solve(exp(6*x)-exp(4*x)-exp(2*x)+1);

Observer que les réponses sont îπ₂,0 et0 ce qui signifie que Maple^® résout cette équation dansC (sans en donner toutes les solutions) et que0 est racine double.

Exercice 15 *

R´esoudre dansRl’in´equatione^2(x+1)+ 3e^x+2<4e².

Simplifier par e², posery= e^x et résoudre une inéquation du second degré d’inconnuey et en déduirex <0.

Exercice 16 *

∀x∈R, f(x) = 2e^x+ e

√x

1. ´Etudier les limites et les variations de f.

Obtenir par somme que lim_x→0f(x) = 3et lim_x→+∞f(x) = +∞. Justifier que f est strictement croissante.

2. R´esoudre l’´equation 2e^x+ e^√^x= 3. Justifier que 0 est l’unique solution.

Exercice 17 *

On consid`ere la fonction d´efinie parf(x) =^x_ex².

1. ´Etudier la fonction f (ensemble de d´efinition, limites, variations).

Obtenir par quotient la limite en −∞ (lim_x→+∞f(x) = 0) puis celle en +∞ par croissance comparée (lim_x→−∞f(x) = +∞). Calculer f⁰(x) = ^x(2−x)_e_x , en déduire quef est croissante sur[0,2], décroissante sinon.

2. Déterminer l’équation de la tangente à la courbe représentative def en1.

y= ^x_e.

Exercice 18 *

f(x) = e^x−1 e^3x−1

1. Préciser l’ensemble de définition def et calculer les limites def aux bornes de son ensemble de définition.

f est définie sur R^∗ et calculer lim_x→−∞f(x) = 1 par quotient puis écrire f(x) = e^−2x_1−e^1−e−3x^−x pour en déduire quelim_x→+∞f(x) = 0. Écrire enfinf(x) = ¹₃ ê^x_x⁻¹ _e3x^3x−1 pour en déduire quelim_x→0f(x) = ¹₃. 2. (a) Étudier les variations de f.

Calculer f⁰(x) = ê^x^(−2e_(e3x^3x^+3e−1)²^2x⁻¹⁾ en en déduire que f⁰(x) est du signe de −2X³+ 3X²−1 (avec X = e^x) dont1 est racine évidente. Obtenir que −2X³+ 3X²−1 = (X−1)²(1 + 2X)et en déduire quef⁰(x)est positif puisf croissante surR^∗− etR^∗+.

(b) Tracer la courbe repr´esentative def.

Faire apparaˆıtre les asymptotes horizontales et un «trou»en 0.

(7)

Exercice 19 *

R´esoudre l’in´equatione^3x−3e^2x−2e^x+ 4>0.

Poser X= e^X et remarquer que1 est racine évidente deX³−3X²−2X+ 4. En déduire une factorisation deX³−3X²−2X+ 4à l’aide d’une identification puis le signe deX³−3X²−2X+ 4pourX ∈R^∗+ et revenir

` ax:

S=]− ∞,0]∪[ln(1 +√

5),+∞[

Exercice 20 **

1. Montrer que la courbe repr´esentative de la fonction exponentielle est situ´ee «au dessus»de chacune de ses tangentes.

Ecrire l’´´ equation de la tangente ena∈Ret étudierf :x7→e^x−eâ(x−a)−eâ en calculantf⁰(x) = e^x−eâ et en démontrant quef admet f admet un minimum égal à0 en apuis conclure.

2. (a) Étudier la position de la courbe représentative de la fonction exponentielle par rapport à chacune de ses cordes.

Ecrire l’´´ equation de la corde en(a, b)∈R² (aveca < b) et étudier f :x7→e^x−ê^b_b−a^−eâ(x−a)−eâ en calculant f⁰(x) = e^x− ê^b_b−a^−eâ. En déduire le sens de variation de f sur ]− ∞,lnê^b_b−a^−eâ] et sur [lnê^b_b−a^−eâ,+∞[. Calculer enfinf(a) etf(b) puis conclure que la courbe représentative de la fonction exponentielle est située en dessous de sa corde pour x∈[a, b].

(b) En d´eduire que :

∀(a, b)∈R², e^a+b² 6e^a+ e^b 2

Utiliser la question précédente en remarquant queeâ+b² etêâ^+e₂ ^b sont les ordonnées de points d’abscisse

a+b

2 situ´es sur la courbe repr´esentative de la fonction exponentielle et sur la corde.

Exercice 21 *

On consid`ere la fonctionf d´efinie sur Rpar :

f(x) =xe^x 1. ´Etudier les variations et les limites de la fonctionf.

Calculer f⁰(x) = (1 +x)e^x qui est du signe de 1 +x. En d´eduire que f est strictement décroissante sur ]− ∞,−1]et strictement croissante sur [−1,+∞[. Obtenir la limite en+∞(égale à+∞) par produit et celle en −∞(égale à0) par croissance comparée.

2. Justifier que la restriction de f `a[−1,+∞[est une bijection de[−1,+∞[sur[−¹_e,+∞[.

Remarquer que f([−1,+∞[) = [−¹_e,+∞[ etf est strictement d´ecroissante sur ]− ∞,−1]puis conclure.

Exercice 22 *

∀x∈R, f(x) = 2e^2x+ e^x 1. Justifier que f est une bijection deRdansR^∗+.

Obtenir par somme que lim_x→−∞f(x) = 0 et lim_x→+∞f(x) = +∞. Justifier que f est strictement monotone (croissante), en d´eduire quef(R)⊂R+^∗ et admettre quef(R) =R^∗+.

2. D´eterminer sa bijection r´eciproque.

Poser y∈R^∗+ et r´esoudre l’´equationy=f(x)d’inconnuexen notantX = e^x : 2X²+X−y= 0

∆ = 1 + 8y² >0 d’o`u X = ^−1±

√

1+8y²

4 puis x= ln⁻¹⁺

√

1+8y²

4 (´ecarter ⁻¹⁻

√

1+8y²

4 ) et en d´eduire que f⁻¹ est d´efinie surR^∗+ parf⁻¹(y) = ln⁻¹⁺

√

1+8y²

4 .

(8)

On consid`ere la fonctiong d´efinie par :

g(x) = e^2x+ 5 e^x−2 1. Quel est l’ensemble de d´efinition deg?

Résoudre l’équatione^x−2 = 0 et en déduire queg est définie surR\{ln 2}.

2. (a) ´Etudier les variations de g.

Calculerg⁰(x) =ê^x^(e_(e^2x_x^−4e₋₂₎^x₂⁻⁵⁾et étudier le signe de(e^x)²−4e^x−5en posantX = e^xpuis en résolvant l’équationX²−4X−5dont les racines sont −1 et5. En déduire quef⁰(x)est négatif si x6ln 5et positif sinon et conclure.

(b) Calculer les limites de g aux bornes de son ensemble de définition et interpréter graphiquement ces résultats.

Déterminer les limites en ln 2⁻ et ln 2⁺ par quotient (en précisant le signe de e^x−2). Déterminer la limite en −∞ (égale à−⁵₂) par quotient. En déduire la présence d’une asymptote horizontale et d’une asymptote verticale.

Déterminer la limite en+∞ (égale à+∞) en divisant numérateur et dénominateur pare^x. 3. Déterminer un intervalleI tel que la restriction deg àI soit une bijection deI surg(I).

Consid´erer un intervalle I o`u g est strictement monotone : par exemple I =]− ∞,ln 2] (et alors g(I) =]− ∞,−⁵₂]).

Exercice 24

f(x) = 3x−1 x−2

1. (a) D´eterminer l’ensemble de d´efinition def et ses limites aux bornes de cet ensemble.

D_f =R\{2} puis calculer par quotient lim_x→2−f(x) =−∞et lim_x→2+f(x) = +∞. Comme f est rationnelle, obtenirlim_x→±∞f(x) = 3.

(b) ´Etudier les variations de f.

Calculerf⁰(x) =−_(x−2)⁵ 2 et en d´eduire quef est strictement d´ecroissante sur]−∞,2[et sur]2,+∞[.

2. (a) En d´eduire que f est bijective d’un intervalle I dansJ (et pr´eciserI etJ).

f est strictement monotone de I =]2,+∞[ (ou I =]− ∞,2[) dans J =]3,+∞[ (ou ]− ∞,3[) donc bijective.

(b) D´eterminerf⁻¹.

Résoudre l’équationy=^3x−1_x−2 d’inconnuex∈I et oùy∈J. Obtenir x=^2y−1_y−3 et conclure.

Exercice 25 **

1. (a) Établir quef :x7→x²+ 5x−3est strictement croissante sur un intervalleI à préciser.

Calculer f⁰(x) = 2x+ 5 et en d´eduire quef est strictement croissante sur I=]−⁵₂,+∞[.

(b) Calculer les limites def(x)aux bornes deI.

lim_x→−5

2f(x) =−³⁷₄ etlimx→+∞f(x) = +∞

2. (a) Justifier que f admet une fonction r´eciproque surI.

Utiliser la stricte croissance.

(b) Quel est l’ensemble de définition de cette fonction réciproque ? Déterminer cette fonction réciproque.

f⁻¹ est définie sur[−³⁷₄,+∞[. Résoudre l’équationy =x²+ 5x−3 d’inconnuex∈[−⁵₂,+∞[ et où y∈[−³⁷₄,+∞[. Obtenir x=−⁵₂+

√37+4y

2 d’o`uf⁻¹(x) =−⁵₂+

√37+4y

2 .

(c) D´eterminerf⁻¹⁰ de deux fa¸cons.

f⁻¹ est d´erivable sur]−³⁷₄,+∞[et calculer directementf⁻¹⁰(x) = ^√ ¹

37+4x ou à partir du théorème de la bijection :

∀x∈]−37

4 ,+∞[, f⁻¹⁰(x) = 1

f⁰◦f⁻¹(x) = 1

2f⁻¹(x) + 5 = 1

√37 + 4x

(9)

Exercice 26

On consid`ere la fonctionf d´efinie parf(x) = ^x₂ + e^x+1.

1. (a) Démontrer quef admet une fonction réciproque dérivable surR.

Calculerf⁰(x) =¹₂+e^x+1>0et conclure quef est strictement monotone deRdansRdonc l’existence def⁻¹ d´efinie surRet comme f⁰ ne s’annule pas f⁻¹ est d´erivable.

(b) D´eterminer les limites def en−∞et+∞.

2. Calculerf⁻¹(¹₂), f⁻¹(₂¹),f⁻¹⁰(e)et f⁻¹⁰(e).

f⁻¹(¹₂) =−1 carf(−1) = ₂¹ etf⁻¹(e) = 0carf(0) = epuis utiliser le th´eor`eme de la bijection : f⁻¹⁰(1

2) = 1

f⁰◦f⁻¹(¹₂) = 1

1

2+ e⁻¹⁺¹ =2

3 f⁻¹⁰(e) = 1

f⁰◦f⁻¹(e) = 1

1 2+ e

3. Donner les équations des tangentes à la courbe représentative def⁻¹ au point d’abscisse ¹₂ et au point d’abscisse e.

Obtenir y= ²₃ x−¹₂

−1 = ^2x₃ −⁴₃ ety= ^x−e1 2+e.

Exercice 27 *

R´esoudre dansR² le syst`eme

ß e^3x = 10y e^x = 5y Utiliser le fait que e^3x= (5y)³, en d´eduire y=

√ 2

5 puis x= ln√

2 = ^{ln 2}₂ .

Exercice 28

R´esoudre l’in´equation :

2x 1 + lnx >0 R´esoudrelnx >−1.

Exercice 29 *

R´esoudre l’´equation ln(x+ 3) + ln(x+ 2) = ln(x+ 11).

Etablir que l’ensemble de d´´ efinition est]−2,+∞[ puis se ramener `ax²+ 4x−5 = 0 soitx= 1 oux=−5 en d´eduire queS={1}.

Exercice 30 *

1. R´esoudre dansRles ´equations : (a) ln(x−2) = 2 ln(x−1)−ln(x+ 1).

L’ensemble de d´efinition est]2,+∞[, puis se ramener `a(x−2)(x+ 1) = (x−1)² soit x= 3.

(b) ln ((x+ 3)(x+ 1)) = 2 ln(x−1).

L’ensemble de d´efinition est ]1,+∞[, puis se ramener `a (x+ 3)(x+ 1) = (x−1)² soit x = −¹₃, conclure que S=∅..

(c) ln lnx= 1.

L’ensemble de d´efinition est]1,+∞[, puis obtenir x= e.

2. R´esoudre dansRin´equations suivantes : 1

2ln(3x−1)<ln(x+ 1) ln(x²−4)>ln ((x−1)(2x−6))

(10)

R´esoudre les syst`emes suivants : 1.

ß x+y= 8

lnx+ lny= ln 15

L’ensemble de d´efinition estR^∗+

2et le système équivaut àx+y= 8etxy= 15. Résoudrex²−8x+ 15 = 0 dont les racines sont 3 et5. En déduire que :

S={(3,5),(5,3)}

2.

ß lnxy= 7 ln^x_y = 1

L’ensemble de d´efinition est R^∗+ 2∪R^∗−

2 et le système équivaut àxy= e⁷ et ^x_y = e. En déduire y²= e⁶ et x= ey puis :

S=

(e⁴,e³),(−e⁴,−e³) 3.

ß x²+y²= 13 ln|x|+ ln|y|= ln 6

L’ensemble de définition estR^∗2 et le système équivaut à x²+y² = 13 et x²y² = 36. PoserX =x² et Y =y² et résoudreX²−13X+ 36 = 0 dont les racines sont4 et9. En déduire :

S ={(2,3),(−2,3),(2,−3),(−2,−3)}

Exercice 32 *

Etablir, pour tout´ x>0l’encadrement : x−x²

2 6ln(1 +x)6x

Etudier les variations de´ f : x7→ ln(1 +x)−x+^x₂² sur R+ par d´erivations successives. En d´eduire que ln(1 +x)−x+^x₂² >0et ln(1 +x)6x.

Exercice 33 *

Etudier la fonction´ f d´efinie par :

f(x) = 2(x²−x) lnx−x²+ 2x

Vérifier quef⁰(x)est du signe de(2x−1) lnxet en déduire les variations def. Obtenir quelim_x→0f(x) = 0 par croissance comparée etlim_x→+∞f(x) = +∞en factorisant par x².

Exercice 34 **

On consid`ere la fonctionf d´efinie sur R^∗+ par :

f(x) = lnx x 1. (a) ´Etudier les variations de f.

Calculer f⁰(x) = ^1−ln_x2^x, en d´eduire quef est croissante sur]0,e]et d´ecroissante sur[e,+∞[.

(b) Pr´eciser les limites def en0et+∞et les interpr´eter graphiquement.

Par quotient,lim_x→0f(x) =−∞et par croissance comparéelim_x→0f(x) = 0. Déduire de ces limites la présence d’une asymptote verticale et horizontale.

(c) f est-elle bijective ? Justifier.

f n’est pas bijective (considérery∈]0,¹_e[qui admet deux antécédents par f).

2. (a) Donner l’équation de la tangente∆à la courbeC représentative def au point d’abscissee√ e.

Obtenir y= ¹⁻_e3³²(x−e√

e) + _e^√²³_e =−_2e^x3 +_e^√²_e.

(11)

(b) ´Etudier la position relative deC et∆.

Etudier les variations de´ g(x) =f(x) +_2e^x3 − ²

e³2

. Calculer g⁰(x) = ^2e³^(1−ln_2x2e^x)+x³ ² et étudier le signe deh(x) = 2e³(1−lnx) +x² en redérivant :h⁰(x) = ^2(x²_x^−e³⁾. En déduire quehest décroissante sur ]0,e√

e]et croissante sinon. Calculer h(e√

e) = 0 pour conclure quehest positive donc g croissante.

Comme elle s’annule en e√

e, conclure que C est en dessous de ∆ sur ]0,e√

e] et au dessus sur [e√

e,+∞[.

(c) TracerC et∆.

Obtenir la courbe suivante :

C

∆

1 3. D´emontrer que pour tout x >0,lnx < x.

Remarque que f(x)6 ¹e <1 et conclure.

4. D´eduire des variations def les entiers naturels non nuls et distinctsnetptels quen^p=pⁿ.

Remarquer que n^p = pⁿ ⇔ f(n) = f(p). Choisir par exemple n < p et déduire des variations de f que 0 < n < e. Essayer n= 1 (mais alors f(n) = 0n’a pas d’autre antécédent) ou n = 2 (et constater que f(4) =f(2)). Conclure :

S={(2,4),(4,2)}

Exercice 35 **

Soient deux réels tels que0< a6b etf la fonction définie surR^∗+ parf(x) = ^ln(1+ax)_ln(1+bx). 1. Déterminer les limites de f aux bornes de son ensemble de définition.

En 0, ´ecrire f(x) = ^a_b

ln(1+ax) ax ln(1+bx)

bx

et utiliser limx→0ln(1+x)

x = 1 pour en déduire que limx→0f(x) = â_b. En +∞, factoriser 1 +ax et 1 +bx par x puis diviser numérateur et dénominateur pour en déduire que lim_x→+∞f(x) = 1.

2. ´Etudier les variations de f.

Démontrer que f⁰(x) est du signe de g(x) = a(1 +bx) ln(1 +bx)−b(1 +ax) ln(1 +ax) puis vérifier que g⁰(x) =abln_1+ax^1+bx. Déduire dea6bquegest croissante et calculerg(0). En déduire quef est croissante.

3. En déduire l’inégalité suivante :ln 1 + â_b

ln 1 + ^b_a

6(ln 2)². Utiliser le fait que f ¹_b

6f ¹_a .

Exercice 36 **

f(x) = ln(1 +x)−x

1. (a) Déterminer l’ensemble de définition def puis étudier ses variations.

Résoudre x+ 1 >0 pour obtenir son ensemble de définition. Calculer ensuite f⁰(x) =−_1+x^x et en déduire quef est croissante sur]−1,0]et décroissante sinon.

(b) En d´eduire le signe def(x).

Calculer f(0) = 0 et en d´eduire quef est n´egative.

2. D´emontrer que :

∀n∈N^∗,∀x∈]−n, n[, 1 + x

n n

6e^x6 1−x

n −n

Remarquer que l’inégalité demandée équivaut àf ^x_n

606−f −^x_n

et conclure.

(12)

f(x) = ln

1−e^x 1 + e^x

1. Déterminer l’ensemble de définition def et préciser ses limites aux bornes.

Vérifier que f est définie sur R^∗ et obtenir la limite en ±∞ en divisant numérateur et dénominateur par e^x, en déduire que cette limite est nulle puis calculer la limite en0 par composition pour obtenir que lim_x→0f(x) =−∞.

2. ´Etudier la parit´e def.

En calculant f(−x), multiplier numérateur et dénominateur par e^x et en déduire quef est paire.

3. (a) ´Etudier les variations de f, dresser son tableau de variations.

Etudier les variations de´ f sur R^∗+ oùf(x) = ln_eêx^x⁻¹+1 et vérifier que f⁰(x)>0.

(b) Donner l’allure de sa courbe repr´esentative.

Bien faire apparaˆıtre les asymptotes et la symétrie par rapport à l’axe des ordonnées.

Exercice 38 **

f(x) = ln|x+ 1|e^x

|x−1|

1. Déterminer le domaine de définition de f (notéDf) et étudier sa parité.

Df =R\{±1} est sym´etrique par rapport `a0 etf est impaire car :

∀x∈ D_f, f(−x) = ln|1−x|e^−x

|x+ 1| =−f(x)

2. (a) Calculer les limites def aux bornes deD_f∩R+ et en d´eduire la pr´esence d’asymptotes.

Calculer simplement f(0) = 1. Par quotient et composition, obtenir lim_x→1f(x) = +∞ d’o`u la pr´esence d’une asymptote verticale.

Pour x >1,f(x) =x+ ln^x+1_x−1 etlim_x→+∞^x+1_x−1 = 1 donc par compositionlim_x→+∞ln^x+1_x−1 = 0 puis par sommelim_x→+∞f(x) = +∞. Remarquer que ces limites implique que la droite d’´equation y=x est asymptote oblique au voisinage de ±∞.

(b) ´Etudier les variations de f.

Distinguer selon que x ∈ [0,1[ (alors f(x) = x+ ln(x+ 1)−ln(1−x)) ou x ∈]1,+∞[ (alors f(x) =x+ ln(x+ 1)−ln(x−1)) et remarquer que dans les deux cas f⁰(x) = ^x_x²2⁻³−1. En d´eduire que f est croissante sur[0,1[, d´ecroissante sur ]1,√

3]et croissante sur[√

3,+∞[.

3. Tracer la courbe repr´esentative def en pr´ecisant sa tangente en0.

Bien faire apparaˆıtre les asymptotes, les tangentes horizontales, et donner l’´equation de la tangente : y= 3x.

Exercice 39 **

D´emontrer que :

∀(a, b)∈[1,+∞[², |lnb−lna|6|b−a|

Considérer a > 1 et f : x 7→ lnx−lna−x+a définie sur [1,+∞[ et vérifier qu’elle est strictement décroissante. Conclure à l’aide de :x>a⇒f(x)60 et16x6a⇒f(x)>0.

(13)

Exercice 40 **

On considère la fonctionf définie ci-dessous dont on noteC la courbe représentative : f(x) = ln(lnx)

1. Préciser son ensemble de définition et étudier son sens de variation.

Résoudrelnx >0 et en déduire que f est définie sur ]1,+∞[puis calculer f⁰(x) = _xln¹_x pour en déduire quef est croissante.

2. Soit(a, b)∈R²tel que 1< a < b.

(a) À l’aide de deux dérivations successives, étudier les variations de :

g:x7→f(x)−f(b)−f(a)

b−a (x−a)−f(a)

Calculerg⁰(x) =_x_ln¹_x−^ln_b−a^lna^lnb puis g⁰⁰(x) =−_x^1+ln2ln²^xx. En déduire le sens de variation deg⁰ (décrois- sante) puis à l’aide des limites de g, justifier qu’il existe α ∈]1,+∞[ tel que g⁰(α) = 0. Enfin en déduire queg est croissante sur]1, α]et décroissante sur[α,+∞[.

(b) En déduire le signe deg puis étudier la position deC par rapport à chacune de ses cordes.

Calculer g(a) =g(b) = 0puis conclure queg est positive pourx∈[a, b]. En écrivant l’équation de la corde passant par les points d’abscisses aetb deC, en déduire queC est située au dessus de sa corde pourx∈[a, b].

(c) En d´eduire que :

∀(a, b)∈]1,+∞[², lna+b 2 >

√ lnalnb Ecrire que´ g ^a+b₂

est supérieur à l’ordonnée du point d’abscisse â+b₂ de la corde :

ln Å

lna+b 2

ã

> ln(lna) + ln(lnb) 2

En déduire l’inégalité demandée et généraliser au casa>b.

Exercice 41 **

On considère la fonctionϕdéfinie ci-dessous dont on noteΓla courbe représentative : ϕ(x) =x²+ lnx

1. Justifier que ϕest une bijection d’un intervalle IdansJ (pr´eciserIet J).

ϕ est d´efinie sur I = R^∗+, justifier qu’elle est strictement croissante et calculer lim_x→0ϕ(x) = −∞ et lim_x→+∞ϕ(x) = +∞. Admettre queJ =R.

2. SoitΣla courbe représentative de la fonctionlndans un repère orthonormal. Soient égalementAle point de coordonnées (0, α)où α∈Ret M un point deΣd’abscissex∈R^∗+.

(a) Calculerg(x) =AM² en fonction dexetα.

Obtenir g(x) =x²+ (lnx−α)².

(b) Étudier les variations deget en déduire queAM est minimum lorsqueM =P oùP est un point de Σdont on exprimera les coordonnées en fonction de son abscisse notéex_P.

Calculer g⁰(x) = ^2(x²^+ln_x^x−α) = _x²(ϕ(x)−α) et en déduire que g est décroissante sur ]0, ϕ⁻¹(α)] et croissante sur [ϕ⁻¹(α),+∞[. Déduire des variations de g que AM est minimum en xP = ϕ⁻¹(α) d’oùP(x_P,lnx_P).

(c) On supposeΓ,ΣetAtrac´es. Comment obtenirP?

Tracer la droite d’´equationy=αet avec l’intersection avecΓ, tracer la droite d’´equationx=ϕ⁻¹(α).

P est l’intersection entre cette derni`ere etΣ :

(14)

b bb

A

P

Σ y=α

x=ϕ⁻¹(α)

1 (d) D´eterminerP etAde sorte queAP = 1.

xP v´erifiex²_P+ lnxP =αpuis d´eduire delnxP−α=−x²_P que : AP²=x²_P(1 +x²_P)

R´esoudre enfin AP = 1 ⇔ x⁴_P + x_P² − 1 = 0 que l’on r´esout en posant t = x²_P. Obtenir t=^−1±

√5

2 et commet etxP sont positifs, ´ecrirexP =

»−1+√ 5

2 . Calculer enfinα=x²_P+ lnxP soit

−1+√ 5

2 +¹₂ln⁻¹⁺

√ 5

2 pour obtenirA.

Exercice 42 *

1. R´esoudre l’´equation 4×9^x−19×3^x+ 15 = 0.

Poser X= 3^x et se ramener à une équation du second dégré en X puis revenir àx:x= ^{ln 15−ln 4}_{ln 3} ou0.

2. R´esoudre l’´equation 4×8^x−19×2^x+ 15 = 0.

Poser X= 2^x et remarquer que1 est racine de4X³−19X+ 15 = 0et en d´eduire x= ^{ln 3−ln 2}_{ln 2} ou0.

Exercice 43 *

1. R´esoudre l’´equation 3^x+2+ 9^x+1= 1458.

Simplifier par 9 et poser X = 3^x pour se ramener X²+X−162 = 0 dont l’unique solution positive est X = ⁻¹⁺

√ 649

2 et en d´eduire quex=^ln

−1+√ 649 2

ln 3 . 2. Comment proc´eder sous Maple^®?

Taper :

solve(3^(x+2)+9^(x+1)=1458);

Exercice 44 *

1. (a) R´esoudre l’´equation 5^x−5^x+1+ 2^3x+1= 0.

Se ramener `a2×8^x= 4×5^x⇔ ⁸₅^x

= 2et obtenirx=3 ln 2−ln 5^{ln 2} . (b) R´esoudre l’´equation2^x−2^x+3+ 3^2x+1= 0.

Proc´eder de mˆeme et obtenirx=2 ln 3−ln 2^{ln 7−ln 3}.

2. Comment procéder sous Maple^®pour résoudre ces équations ? Taper :

solve(5^x-5^(x+1)+2^(3*x+1));

solve(2^x-2^(x+3)+3^(2*x+1));

(15)

Exercice 45 *

R´esoudre l’´equation 2^x³ = 3^x².

Se ramener `ax³ln 2 =x²ln 3soit x= 0 oux= ^{ln 3}_{ln 2}.

Exercice 46 *

1. Déterminer la limite en+∞dex7→ ^x₂x³. Utiliser la limite du cours :lim_x→+∞_xâ^xα. 2. Déterminer la limite en+∞dex7→ ₂x^x+x³².

Factoriser le dénominateur par2^x et se ramener au cas précédent.

Exercice 47 *

Etablir que :´

∀x∈R+, 2^x>1 + (ln 2)x+ln²2 2 x²

Etudier les variations de´ f :x7→2^x−1−(ln 2)x−^ln₂²²x² par trois d´erivations successives et en d´eduire son signe en calculantf(0).

Exercice 48 *

1. On poseu(x) = 2³^x et v(x) = 3²^x. (a) Obtenir une expression delnÄ_u(x)

v(x)

äfactoris´ee par3^x. Obtenir lnÄ_u(x)

v(x)

ä= 3^x ln 2− ²₃^x ln 3 (b) En d´eduirelim_x→+∞^u(x)_v(x).

Remarquer que par produitlimx→+∞3^x ln 2− ²₃^x ln 3

= +∞puis composer par l’exponentielle et conclure.

2. On poseu(x) = 3ê^x etv(x) = e^3x. Déterminerlim_x→+∞û(x)_v(x).

Ecrire´ û(x)_v(x) = eê^x^{ln 3−3x}, étudier la limite dee^xln 3−3xen factorisant pare^x. En déduire par croissance comparée quelim_x→+∞û(x)_v(x) = +∞.

Exercice 49 *

1. On considère l’équation log_ax−log_a2x+ log_a4x= ³₄ d’inconnuex. Préciser pour quelles valeurs dexet acette équation est définie puis la résoudre.

Se ramener à ^ln_ln^x_a +_{2 ln}^ln^x_a+_{4 ln}^ln^x_a = ³₄ soit x=a³⁷. 2. On considère le système

ß 2 log_xy+ 2 log_yx=−5 xy= e

L’ensemble de d´efinition estR^∗+

2 et se ramener `aln²y+ ln²x=−⁵₂lnxlny avec y = _x^e, poser X = lnx soit :

ln²e

x+ ln²x=−5

2lnxlne

x ⇔(1−X)²+X²=−5

2X(1−X)⇔ −X²+X+ 2 = 0 Les solutions ´etantX =−1 etX = 2, en d´eduire quex=¹_e oux= e² et finalement :

S= ßÅ1

e,e² ã

, Å

e²,1 e

ã™