Cours : Limite de Fonctions

- 1 -

D. PINEL, Site Mathemitec : http://mathemitec.free.fr/index.php

Chapitre 02

Limites de Fonctions

Objectifs

Dans un premier temps, nous préciserons dans ce chapitre les définitions précédemment

rencontrées en première et leurs analogies avec celles de limites de suites (précédent chapitre).

Ces définitions, pourtant adaptées aux connaissances d’un élève de terminale s, vous posent souvent problème de part leur coté formel.

Rassurez vous ! A l’aide des fonctions de référence ou des limites de référence, nous abandonnerons vite leur utilisation… (ne croyez pas qu’elles soient pour autant inutiles puisque justement, ces résultats de référence se démontrent à l’aide de la définition de limite).

Dans un second temps, nous présenterons différentes méthodes pour lever les formes indéterminées souvent rencontrées :

• Les fonctions rationnelles à l’infini

• La méthode de la quantité conjuguée avec les fonctions racines carrés

• La composition de limites

• Le théorème des gendarmes

• Et une méthode puissante et pratique, la méthode du taux de variations

• …

Attention : dans les définitions suivantes, bien différencier quand c’est x qui tend vers l’infini (ou un réel a) et quand c’est f(x).

Un support indispensable à la lecture de ce cours est l’animation sur les limites de fonctions du site :

http://mathemitec.free.fr/animations/comprendre/limites/index.php

I. Limites à l’infini (cad quand x tend vers l’infini)

Définition Les définitions de limite sont complètement analogues à celles des suites (voir le cours sur les suites), avec les adaptations suivantes :

Pour les suites : Pour les fonctions :

« tous les termes de la suite » ↔ « tous les nombres f(x) »

« à partir d’un certain rang » ↔ « pour x assez grand »

« ∃ ^p ∈ ^{IN tq} ∀ ⁿ ≥ ^{p » ↔ «} ∃ ^x0 ∈ ^{IR tq} ∀ ^x ≥ ^{x0 »}

Définition. On dit qu’une la fonction f tend vers

+ ∞

quand x tend vers

+ ∞

^{si :}

Pour tout intervalle I de la forme [A ;

+ ∞

[, à partir d’un certain

x

0, tous les f(x) sont dans I.

Autrement dit :

∀ A ∈ IR , ∃ x

⁰

tel que ∀ x ≥ x

⁰

, on ait f ( x ) ≥ f ( x

⁰

)

^.

L’idée étant qu’une fonction tend vers

+ ∞

^en

+ ∞

si elle peut dépasser tout nombre A, quelqu’il soit, pour x assez grand.

Définition. On dit qu’une la fonction f tend vers b quand x tend vers

+ ∞

^{si :}

Pour tout intervalle I centré en b, à partir d’un certain

x

0, tous les f(x) sont supérieurs dans I.

L’idée est ici qu’une fonction tend vers b en

+ ∞

si elle peut se rapprocher de b aussi près que l’on souhaite, pour x assez grand.

Remarque : Par définition (voir cours sur les asymptotes), si lim ( ) b

x f x

→∞ = alors la droite d’équation y = b est asymptote à Cf en l’infini.

Cela signifie que la courbe Cf se rapproche infiniment près de la droite D pour |x| assez grand.

Remarque 2 : Les définitions sont analogues pour x → − ∞.

Exercice. A l’aide du tableau de valeurs de votre calculatrice, conjecturer la limite des fonctions suivantes en +∞.

1. f x( )= −x x²+4x 2. 4 ( )

2 g x x

x

= + 3. 1

( ) sin f x x

x

=   

 

Exercice. : à l’aide des graphiques suivants, conjecturer la limite des fonctions en +∞ (réponse page suivante)

8 12 16 20 24 28 2

0 4

1

x y

2 - 1

- 2

- 1

- 2

0 1

1

x y

12 18 24 30

-20

0 6

20

x y

→ f tend vers 1 f tend vers –infini f n’a pas de limite Exercice. A l’aide de la définition, prouver que la fonction f x( )=x² tend vers +∞ en +∞.

Solution. Nous voulons donc prouver que

« Pour tout intervalle I de la forme [A ;

+ ∞

[, à partir d’un certain

x

0, tous les f(x) sont dans I. »

Soit donc A un réel (positif) et I un intervalle de la forme [A ;

+ ∞

^[.

On cherche à trouver

x

0, tel que tous les f(x) sont dans I à partir de

x

0 cad tel que :

2

0, ( ) 0,

x x f x A x x x A

∀ ≥ ≥ ⇔ ∀ ≥ ≥ : posons alors x₀ = A^.

On obtient : ∀ ≥x x₀, x² ≥x₀² puisque la fonction carré est croissante sur IR+, cad

0, ( )

x x f x A

∀ ≥ ≥ ^puisque

( )

x0 ² =A^.

Ainsi, nous avons prouvé que « pour tout intervalle I de la forme [A ;

+ ∞

[, à partir d’un certain

x

0, tous les f(x) sont dans I ». : la fonction tend bien vers +∞ en +∞.

→Je vous renvoie à nouveau à l’animation sur limites de fonctions où cette définition est très bien illustrée.

Définition. Si une fonction ne tend ni vers l’infini, ni vers un réel b, on dit qu’elle n’a pas de limites.

Exemple : la fonction cosinus n’a pas de limite en l’infini

II. Limites en un réel a (cad quand x tend vers a) 4 cas sont encore possibles : lim

x→af(x) = b ou lim

x→af(x) = +∞ ou lim

x→af(x) = −∞ ou aucune limite.

Par exemple :

Définition. On dit qu’une la fonction f tend vers

+ ∞

quand x tend vers a si :

Pour tout intervalle I de la forme [A ;

+ ∞

[, il existe un intervalle J centré en a, tel que tous les f(x) sont dans I pour x dans J.

L’idée est ici qu’une fonction qui tend vers + ∞ en a si elle peut dépasser n’importe quel nombre A, aussi grand soit-il, pour x suffisamment près de a.

Rappels :

1. limx→a-f(x) et limx→a+f(x) sont les limites « à gauche » et « à droite » de f en a (cad quand x tend vers a et x<a ou quand x tend vers a et x > a).

2. si limx→a-f(x) ≠ limx→a+f(x) ou si l’une des deux est infini, on dit que f n’a pas de limite en a.

3. si lim ( )

x a f x

→ = ∞, Cf admet une asymptote verticale d’équation x = a (et réciproquement).

Exercice. Déterminer

0

cos( ) lim

x

x

→ x .

Solution. Puisque cos(0) = 1, on nous demande de déterminer

0

lim1

x^→ x . On trouve donc

0

cos( ) lim

x

x

+ x

→ = +∞ et

0

cos( ) lim

x

x

− x

→ = −∞.

Exercice. A l’aide du tableau de valeurs de votre calculatrice, conjecturer la limite des fonctions en

a = 0. 1. x 1 1

x

+ − 2. sin x x

Ces exemples seront corrigés dans la partie « taux de variation ».

III. Opérations et limites – Rappels de Première (CAPITAL)

Limite d’une somme.

si f a pour limite L L L +∞ −∞ +∞ et si g a pour limite L’ +∞ −∞ + ∞ −∞ −∞

alors f+g a pour limite

L+L’ +∞ -∞ +∞ -∞ FI

Limite d’un produit.

si f a pour limite L L>0 L>0 L<0 L<0 +∞ −∞ +∞ 0 et si g a pour limite L’ +∞ −∞ +∞ −∞ + ∞ −∞ −∞ ±∞

alors fg a pour limite L.L’ +∞ -∞ -∞ +∞ +∞ +∞ -∞ FI Limite d’un quotient.

Quand la limite de g n’est pas nulle.

si f a pour limite L l +∞ +∞ −∞ −∞ ±∞

et si g a pour limite L’≠ 0 ±∞ l’ > 0 l’< 0 l’ > 0 l’ < 0 ±∞

alors f/g a pour limite L/L’ 0 +∞ -∞ -∞ +∞ FI

Quand la limite de g est nulle.

si f a pour limite l > 0 l > 0 l < 0 l < 0 +∞ +∞ −∞ −∞ 0 et si g a pour limite 0⁺ 0⁻ 0⁺ 0⁻ 0⁺ 0⁻ 0⁺ 0⁻ 0 alors f/g a pour

limite

+∞ -∞ -∞ +∞ +∞ -∞ -∞ +∞ FI

Conseil : n’apprenez pas ces tableaux, comprenez le !

Par exemple, on retiendra que diviser par 0⁺ c’est multiplier par +∞.

Exemple (qui vous pose souvent problème) rédigé « intuitivement ». Déterminer

2 1 2

lim 1

4 3

x

x

x x

→

+

− + Solution. Lorsque x tend vers 1 : →le numérateur tend vers 1²+1 = 2

→le dénominateur tend vers 1²-4 +3= 0

On est donc dans le cas « 2

0 » qui « vaut » +∞ ou -∞ et il nous faut donc préciser si le dénominateur tend vers 0⁺ ou 0⁻.

Méthode : on dresse le tableau de signe du dénominateur.

On reconnaît un trinôme P et on a ^{x2−4x+ =3}

(

^x−1

)(

^x−3

)

^:

d’après les règles connues, ce trinôme est négatif entre ses racines. On a donc :

Par conséquent, quand x tend vers 1⁺, le dénominateur tend vers 0⁻ et comme « 2

0⁻ = −∞ », on a

2 1 2

lim 1

4 3

x

x

x x

→+

+ = −∞

− + .

Et par le même raisonnement,

2 1 2

lim 1

4 3

x

x

x x

→−

+ = +∞

− + .

x -∞ 1 3 +∞

P(x) + 0 - 0 +

IV. Des méthodes pour lever les formes indéterminées

Remarque : lorsque la forme est indéterminée, cela ne signifie pas que la fonction n’a pas de limites, mais simplement que la méthode employée pour la calculer a échoué.

Nous allons voir ou rappeler des méthodes classiques pour lever les indéterminations.

N’hésitez pas, lorsque vous en avez la possibilité, de « deviner » les limites demandées à l’aide d’un graphique ou d’un tableau de valeurs.

(*) Fonctions rationnelles en l’infini

Définition.

On appelle monôme une fonction définie sur ℝ de la forme f x( )=a x_n ⁿ où a_n∈ℝ, n∈ℕ. On appelle polynôme une fonction définie comme somme de monômes.

On appelle fonction rationnelle le quotient de deux polynômes.

Théorème. En l’infini, la limite d’une fonction rationnelle est égale à la limite du quotient de ses monômes de plus haut degré.

Principe de la démonstration.

Pour plus de lisibilité du raisonnement, nous nous contenterons d’exhiber son principe à travers un exemple : factoriser par le terme dominant en l’infini. Cette méthode pourra d’ailleurs s’avérer souvent utile.

Déterminons

( )

6 5

4 3 2

5 3 2 1

lim

x 100

x x x

x x x

→∞

− − +

+ + : f est une fonction rationnelle donc en l’infini, le terme dominant du numérateur « semble » être x⁶, celui du dénominateur x⁴. On va donc factoriser par ces termes dominants .

On a, pour x non nul,

( )

2

6 5 5 6 5 6

4 3 2

2 2

6

4

3 2 1 3 2 1

5 5

5 3 2 1

1 1 1 1

100 100 1 100 1

x x x x x x x x x x

x x x

x x x x

x x

   

− − + − − +

   

− − +    

= =

   

+ +  + +   + + 

   

: par ailleurs,

5 6

3 2 1

lim 5 5

x^→∞ x x x

 

− − + =

 

  et

2

1 1

lim 1 1

x^→∞ x x

 

+ + =

 

  . Comme

2

lim100

x

x

→∞ = +∞, on en déduit que

( )

6 5

4 3 2

5 3 2 1

lim

x 100

x x x

x x x

→∞

− − + = +∞

+ + .

Exercice. Déterminer

( )

5 3

3 2

4 2 1

lim

x 1 2

x x

→∞ x

− +

−

Solution.

f est une fonction rationnelle donc en l’infini, la limite de f est celle du quotient de ses monômes de plus haut degré, ici :

( )

5

2 6 2

4 3

4 4 1

2 4

x x

x x

x

= =

− qui tend vers 0.

Donc

( )

5 3

3 2

4 2 1

lim 0

x 1 2

x x

→∞ x

− + =

−

Attention. Ce théorème ne s’applique qu’en l’infini, et que pour les fonctions rationnelles.

Par exemple, pour prouver que

5 5

lim4 4

1

x

x x

→∞ x

− =

+ , on sera obligé de revenir au principe de la démonstration, factoriser par le terme dominant.

Quantité Conjuguée et Racine Carré Vocabulaire. Soient a et b deux nombres positifs. Soit A= a− b. On appelle quantité conjuguée de A le nombreB= a+ b.

A l’aide de l’identité remarquable

(

^{a b−}

)(

^{a+ =b}

)

^a2−b2, on obtient :

Propriété. Avec les notations précédentes ^{A B× =}

(

^{a− b}

)(

^{a+ b}

)

^{= −a b.}

→Le principe va être de multiplier un nombre par 1 !! En effet, on va multiplier par a b

a b

+ + .

Exercice. Déterminer la limite en -∞ et +∞ de f x( )= −x x²+1 Solution.

en -∞ : par composition lim ² 1

x x

→∞− + = −∞ donc par addition lim ( )

x f x

→∞ = −∞.

en +∞ : il y a une forme indéterminée. Appliquons la méthode de la quantité conjuguée.

(

²

)(

²

)

²

(

²

)

2

2 2 2

1 1 1 1

( ) 1

1 1 1

x x x x x x

f x x x

x x x x x x

− + + + − + −

= − + = = =

+ + + + + + : par addition

lim 2 1

x x x

→∞ + + = +∞ donc lim ( ) 0

x f x

→∞ = « 1

− 0

 

=

 

∞

  » (à ne pas écrire !)

Exercice. Déterminer la limite en +∞ de f x( )= −x x²+2x+2.

Remarque : Quand vous n’avez aucune idée de résultat, utilisez le tableau de valeurs de votre calculatrice !

Solution.

en +∞ : il y a une forme indéterminée (on vérifie toujours au cas où).

Appliquons la méthode de la quantité conjuguée.

2

(

²

)(

²

)

²

(

²

)

2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2

( ) 2 2

2 2 2 2 2 2

x x x x x x x x x x

f x x x x

x x x x x x x x x

− + + + + + − + + − −

= − + + = = =

+ + + + + + + + + .

Le problème n’est pas encore résolu, une forme indéterminée du type −∞

+∞ subsiste.

Factorisons par le terme dominant : x au numérateur et au dénominateur.

2

2 2

2 2

x x

x x x

− − =

+ + +

2 2 x x

 

− −

 

 

2 2

2 2

2 2

2 1 1

1 2

x 1

x x x x

= − −

 

+ + + +

 

 

 + + 

. Avec les règles usuelles sur les limites, on

peut désormais conclure que 2

lim ( ) 2

1

x f x

→∞

=− = − ^.

Précision : Pour factoriser par x la racine, on doit factoriser par x² sous la racine puis utiliser la relation x² =x pour tout x≥0^.

On a bien : ^{2 2 2}

2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 2 1 1 1

x x x x x

x x x x x x

 

+ + =  + + = × + + = + +

  .

(*) Taux de variations

Rappelons la définition fondamentale suivante :

Définition. Soit f une fonction définie sur un intervalle I et a un réel de I.

On dit que f est dérivable en a si ( ) ( ) limx a

f x f a x a

→

−

− existe et est finie.

Dans ce cas, on notera f ’(a) cette limite, nombre dérivé de f en a.

Exercice. Déterminer

0

sin( ) limx

x

→ x .

Solution. Posons f x( )=sinx. Comme f(0) = 0, on a sin ( ) _ (0) 0 f x f x

x = x

− ^. Mais la fonction sinus est dérivable sur IR et on a f '( )x =cosx^.

D’après le rappel précédent,

0

sin( )

lim '(0) 1

x

x f

→ x = =

Exercice. Déterminer

0

lim 1 1

x

x

→ x

+ − _.

Solution. Posons f x( )= x+1. Comme f(0) = 1, on a 1 1 ( ) _ (0) 0 f x f x

x x

+ − =

− ^. Mais la fonction f est dérivable sur ] 1;− +∞[ et on a

(

^{1 '}

)

1

'( )

2 1 2 1

f x x

x x

= + =

+ + ^.

D’après la définition de nombre dérivé en 0, on obtient

0

1 1 1

lim '(0)

2

x

x f

→ + − =x = Remarque. Cette méthode intervient souvent dans des indéterminations du type 0

0^.

(*) Changement de variables - Composition

Le genre de méthode dont on se sert sans plus s’en rendre compte…

De manière générale, ne vous attardez pas dans la rédaction des cas simples, et détaillez de préférence les étapes plus délicates.

Exercice. Déterminer 2 1 lim 4 2

x

x

→+∞ x +

− ^.

Solution. D’après les résultats sur les fonctions rationnelles, 2 1 2

lim lim

4 2

x x

x x

→+∞ x+ = →+∞

− 4 x

1

=2. Par ailleurs,

1 2

lim 1

2

X

X

→ = donc par composition 2 1 1

lim 4 2 2

x

x

→+∞ x+ =

− ^.

Rappelons que 1 1 1 2

2 = 2 = 2= 2 ^.

Exercice. Déterminer 1 lim sin

x x

→+∞ x

  

 . Solution.

Posons 1

X = x : remarquons alors que 1 1 sin

sin sin X

x X

x X X

 = =

   .

Dans un premier temps : lim 0

x X

→+∞ = . Ensuite,

0

limsin 1

X

X

→ X = (résultat déjà prouvé).

Par conséquent, la fonction tend vers 1 en 0.

Exercice. Déterminer

0

sin 2 limx

x

→ x . Solution.

Cela ressemble étrangement à la fonction sin x x ^. On asin 2 sin 2

2 2

x x

x = × x . Posons donc X = 2x qui tend vers 0 quand x tend vers 0.

Comme nous avons déjà vu,

0

limsin 1

X

X

→ X = ^donc

0

sin 2

lim 2

x

x

→ x = ^.

(*) Théorèmes de comparaisons Exercice. Déterminer cos

xlim x

→+∞ x . Solution.

Le cosinus est une fonction bornée (c’est l’argument important) : pour tout x − ≤1 cosx≤1^. Comme on travaille en +∞, on peut supposer x > 0. Alors : 1 cosx 1

x x x

− ≤ ≤ ^.

Par ailleurs, 1 1

lim lim 0

x^→+∞x=x^→+∞− =x donc d’après le théorème des gendarmes, cos

lim 0

x

x

→+∞ x = ^. Exercice. Déterminer

0

lim cos 1

x x

→ x

  

 . Solution.

Posons 1

X = x : remarquons encore (!) que 1 1 cos

cos cos X

x X

x X X

 = =

   .

Or x tend vers 0, et pour 1

x, il faut distinguer 0⁺ et 0⁻ d’où

0

lim

x ₊ X

→ = +∞ ^et

0

lim

x ₋ X

→ = −∞^. A l’aide du résultat précédent, on obtient alors

0 0

1 1

lim cos lim cos 0

x x x x

x x

+ −

→ →

   

= =

   

    .

Entraînez vous avec le Ds de l’année dernière !

http://mathemitec.free.fr/archives/Ts-ds.php