Cours : fonctions de référence.
I Fonctions affines
1) Définition
a)définition : Soit a et b deux réels.
La fonction définie sur IR par f(x) = a x + b est une fonction affine.
si b = 0 , la fonction x → a x est une fonction linéaire si a = 0 , la fonction x → b est une fonction constante.
remarque : on accepte l’erreur de langage qui confond la fonction f : x → a x + b et la fonction a x + b.
Exemples :
• la fonction f : x → - x + 3 – x = - 2 x + 3 est une fonction affine, où a = - 2 est le coefficient qui multiplie x et b = - 3 est l’image de 0 par f, c’est à dire f(0) = 3.
• Soit g : x →2 x
3 est une fonction linéaire où a = 2 3
b) Représentation
Dans un repère, la représentation graphique de la fonction affine f : x → a x + b est la droite (d) de coefficient directeur a , passant par le point P ( 0 ;b).
b est l’ordonnée à l’origine.
Exemple : la fonction définie sur IR par f(x) = - 0,5 x + 2 .
Elle passe par le point P(0 ;2), sur l’axe des ordonnées et son coefficient directeur est a = - 0,5
Propriété : pour toute fonction affine x → a x + b, l’accroissement de la fonction est proportionnel à l’accroissement de la variable, le coefficient de proportionnalité est a.
soit, avec x1 < x2 : f(x2) – f(x1) x2 - x1 = a .
démonstration : immédiate en remplaçant x par x2 et x1.
2) Caractérisation
Propriété réciproque : : si l’accroissement d’une fonction est proportionnel à l’accroissement de la variable, alors la fonction est affine, de la forme x → a x + b , avec a le coefficient de proportionnalité.
démonstration : f(x2) – f(x1)
x2 - x1 = a et on choisit x2 = x et x1 = 0.
3) Sens de variation
Propriété :
• si a est positif, la fonction x → a x + b est croissante sur IR
• si a est négatif, la fonction x → a x + b est décroissante sur IR remarque : on peut remplacer positif par strictement positif, alors la fonction est strictement croissante.
démonstration : x1 ≤ x2 …à faire.
Exemples : la fonction x →2x+3
4 est croissante sur IR car a = 2
4 est positif.
la fonction x → 3 – 5 x est décroissante sur IR car a = -5 est négatif.
II La fonction x
2Soit f la fonction définie sur IR par f(x) = x2 est appelée fonction carré ou fonction x ² 1) Compléter le tableau de valeurs suivant :
x -3 -2,5 -2 -1,5 -1 -0,75 -0,5 -0,25 0 0,25 0,5 0,75 1 1,5 2 2,5 3 f(x)
2) Construire la courbe C f , représentative de la fonction f dans le repère ci-contre.
3) Sens de variation
Compléter le tableau de variation ci-dessous.
x - ∞ + ∞
f(x)
Propriété : la fonction f: x → x ²est croissante sur ] - ∞ ; 0 ]
décroissante sur [ 0 ; + ∞ [ Démonstration :
Sur ] - ∞∞∞∞ ; 0 ] : Soit a et b tels que a < b ≤ 0 f( b ) – f (a ) = b² - a² = ( b-a) ( b + a) 0 < b – a et 0 > b + a ( a <0 et b <0 ) donc 0 > f(b) – f(a) soit f( a) > f(b) . Donc f est décroissante sur ] - ∞ ; 0 ]
Sur [0 ; + ∞∞∞∞ [ : Soit a et b tels que 0 ≤ a < b f( b ) – f (a ) = b² - a² = ( b-a) ( b + a)
0 < b – a et 0 < b + a ( a >0 et b >0 ) donc 0 > f(b) – f(a) soit f( a) > f(b) . Donc f est croissante sur [ 0 ; + ∞ [
4) Représentation graphique :
La courbe représentative de la fonction x ² est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées. C’est une parabole d’axe : celui des ordonnées et de sommet O (0 ;0), origine du repère.
5) Applications :
Résoudre les équations et inéquations suivantes : a) x ² = 3 ; b) x ² = - 1 ; c) x ² = 9 ; d) x ² ≥ 3 ; e) x² < 9 Donner un encadrement de x ² dans les cas suivants : f) 2 < x < 6 ; g) -2 ≥ x ≥ - 6 ; h) x ∈ [ -2 ; 5 ]
-3 -2 -1 0 1 2 3
-1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
III La fonction 1 x
Soit f la fonction définie sur IR * ( ] -∞ ; 0 [ U ] 0 ;+∞ [ ) par f(x) = 1
xest appelée fonction inverse.
1) Compléter le tableau de valeurs suivant :
x -5 -4 -3 -2 -1,5 - 1 -0,5 -0,25 0 0,25 0,5 1 1,5 2 3 4 5 f(x)
2) Construire la courbe C f , représentative de la fonction f dans le repère ci-contre.
3) Sens de variation
Compléter le tableau de variation ci-dessous.
x - ∞ + ∞
f(x)
Propriété : la fonction f: x →1 xest décroissante sur
et décroissante sur Démonstration :
4) Représentation graphique :
La fonction inverse est symétrique par rapport à .
La courbe représentative de la fonction inverse est une hyperbole 5) Applications :
Résoudre les équations et inéquations suivantes : a) 1 x = 3
4 et x >0 ; b) 1 x = - π
5 et x < 0 c) 1 x > - 2
3 et x < 0 d) x > 0 et 1
x < 7 4 ;
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
