LES FONCTIONS POLYNOMES Sens de variation

(1)

G5 – Le sens de variation des fonctions polynômes

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LES FONCTIONS POLYNOMES 1

Sens de variation

Exercice

Soit la fonction = −4 − 3

1) Déterminer l’ensemble de définition ⅅ de la fonction

On se propose d’étudier le sens de variation de la fonction sur l’intervalle ]3; +∞[, de deux manières différentes. Pour cela, on pose et tels que ≤ .

2 Vérifier que − = 4 − − 3 + 3

3) Sur l’intervalle ]3; +∞[, étudier le signe de − et en déduire le sens de variation de sur cet intervalle.

4) Déterminer le sens de variation de en comparant et

(2)

CORRECTION 2

Exercice

1) Déterminer l’ensemble de définition ⅅⅅⅅⅅ de la fonction #

$é%&'() ∶ +e dénominateur doit être différent de 0 existe si et seulement si − 3 ≠ 0 ⇔ ≠ 3

Donc D₀= ℝ − 233. On peut aussi écrire D₀ = ] − ∞; 3[ U ]3; +∞[.

On se propose d’étudier le sens de variation de la fonction # sur l’intervalle ]9; +∞[, de deux manières différentes. Pour cela, on pose : ;< = tels que : ≤ =.

> ?é@ABA;@ CD; #: − #= = E : − = : − 9= + 9 FG HI+H:+) #:)% #=

= −4

− 3 JK = −4 − 3 Donc :

−

= −4

− 3 − −4 − 3

= −4 + 3

− 3 + 3 − −4 + 3 − 3 + 3

= −4 + 3 + 4 + 3 − 3 + 3

= −4 − 12 + 4 + 12 − 3 + 3

= −4 + 4 − 3 + 3

= 4 − + − 3 + 3

= 4 − − 3 + 3

(3)

3) Sur l’intervalle ]9; +∞[, étudier le signe de #: − #= et en déduire le sens de

3

variation de # sur cet intervalle.

$é%&'() ∶

M':N é%:(O)N +) POQG) () #: − #=, 'G =I P) P)N=ON (: NéP:+%I% S:) +’'G =O)G%

() %N':=)N U E : − =

: − 9= + 9V )% (é%)NWOG)N +) POQG) () H&IS:) W)WXN).

Etudions le signe de −

On sait que ≤ sur ]3; +∞[ voir énoncé D’où : − ≤ 0.

YZ JZ [é[\K ]J − J^K Zé_`K\.

Etudions le signe de + 3et + 3

On sait que ≤ sur ]3; +∞[ voir énoncé D’où : 3 < ≤

⇔ 3− 9< − 9≤ − 9

⇔ 0 < − 3 ≤ − 3

YZ JZ [é[\K ]J − 3JK − 3^bZK Kb^ cJ^ [J db^\K\^.

On a alors ∶

4 qui est positif ; − qui est négatif ; − 3 qui est positif et + 3qui est positif. Conclusion : − = 4 −

− 3 + 3 J^K Zé_`K\.

Cela se traduit par − ≤ 0 ⇔ ≤

≤ ≤ . La fonction est donc croissante.

(Le sens de l’inégalité n’a pas été modifié).

4) Déterminer le sens de variation de # en comparant #: ;< #=

≤

⇔ + 3 ≤ + 3 ⇔ 1

+ 3≥ 1

+ 3 ⇔ −4

+ 3≤ −4

+ 3 ⇔ ≤

≤ ≤ . La fonction est donc croissante.

(Le sens de l’inégalité n’a pas été modifié).