L.S.Marsa Elriadh
Points Méthodes: Calculer une limite par comparaison de fonctions
M : Zribi
4 ème Sc Fiche
1
El Amine Il faut savoir :
L et L' sont des réels. a désigne soit un réel, soit, soit. Premier théorème de comparaison
Deuxième théorème de comparaison
Théorème des gendarmes
Comment calculer une limite par comparaison de fonctions ? Encadrer la fonction et appliquer les théorèmes de comparaison.
Exercice
Soit f la fonction définie par
3 2
2
( ) 3 cos( )1 , 0
( ) 3 0,
1
f x x x si x
x
f x x si x
x
a) montrer que pour tout x] ,0[; x3-x2+3 f(x) x3+x2+3.
b) en déduire lim ( ) lim ( )
x x
f x et f x
x .
c) donner un encadrement de f x( ) 3
x
pour x <0 et en déduire
0
( ) 3 lim
x
f x
x
.
Soit f et g deux fonctions telles que lim
a f L et lim ' a g L . Si au voisinage de a on a f g alors LL'.
Soit f et g deux fonctions : si au voisinage de a on a :
● g f et lim
a f , alors lim
a g
● f g et lim
a g , alors lim
a f
Soit f ,g et h trois fonctions : si au voisinage de a on a :
g f h avec lim
a gL et lim
a hL, alors lim
a f L.
L.S.Marsa Elriadh
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M : Zribi
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2
El Amine Solution :
a) x] ,0[ ; f(x)= 𝑥3 + 3 + 𝑥²𝑐𝑜𝑠 1
𝑥 .
3 3
1 1
1 cos( ) 1 ² ² cos( ) ²
3 ² ( ) 3 ²
on a donc x x x
x x
alors x x f x x x
b) on a f(x) ≤ x3 +3+x² et lim 3 ² 3
x x x
alors lim ( )
x f x
.
3 3
3 3
3
3 3
3 ² ( ) 3 ² 1 0
3 ² ( ) 3 ²
3 ² ( )
3 ²
lim lim lim ²
lim ( )
x x x
x
on a x x f x x x et
x
x x f x x x
alors
x x x
x x f x
comme
x x
x x x
et x
x x
alors f x
c)
3 3
3 3
3 3
3 3
0 0 0 0
0
3 ² ( ) 3 ²
² ( ) 3 ² 1 0
² ( ) 3 ²
² ²
: lim lim ² 0 lim lim ² 0
( ) 3
lim 0
x x x x
x
on a x x f x x x
alors x x f x x x et
x
x x f x x x
donc x x x
x x x x
comme x x et x x
x x
alors f x
x
