Points Méthodes: Calculer une limite par opérations algébrique

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L.S.Marsa Elriadh

Points Méthodes: Calculer une limite par opérations algébrique

M : Zribi

4 ^ème Sc Fiche

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Il faut savoir:

Pour déterminer une limite, il faut connaître les limites des fonctions de référence, les règles usuelles sur la limite d'une somme, d'un produit, d'un quotient et etre capable de reconnaître les situations ou aucun théorème ne permet de conclure dans le cas général. Ce sont les formes indéterminées suivantes:

" - "; "0 .  "; "⁰

0"; "^

"

Comment calculer une limite à l’infini ?

 Appliquer les théorèmes des opérations sur les limites.

 Si on obtient une forme indéterminée ( «    », « 0 x  », «

0 0 »,«



 ») pour :

1. une fonction polynôme de degré n : Chercher la limite de son terme du plus haut degré.

Exemple: 3 3

lim 3x x² 1 lim 3x

x x

    

 

2. une fonction rationnelle :

Chercher la limite du rapport de ses termes du plus haut degré.( après simplification )

Exemple:

2x² 2x 1 2x2 2

lim lim lim 0

3 3 x

x x 1 x x x

       

   

3. une fonction irrationnelle :

 Mettre le terme du plus haut degré en facteur.

 Multiplier et diviser par l’expression conjuguée.

Exemple 1:

1 1

lim x² 1 2x lim x²( 1 ) 2x lim | x | 1 2x

x² x²

x x x

1 1

lim x 1 2x lim x( 1 2 ) 1

x² x²

x x

       

  

           

 

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Exemple 2:

( x² x 1 x )( x² x 1 x ) lim [ x² x 1 x ] lim

x² x 1 x

x x

x² x 1 x² x 1

lim lim

x² x 1 x x² x 1 x

x x

x( 1 1)

x 1 x

lim lim

1 1 1 1

x x²( 1 ) x x | x | 1 x

x x² x x²

1 1

x( 1 ) 1

x x

lim lim

1 1 1

x x( 1 1 ) x 1

x x² x

     

   

  

 

    

 

     

 

   

 

       

   

 

      

1 1 2

x² 1





Comment calculer des limites aux points qui annulent le dénominateur

Calculer la valeur prise par le numérateur.

1) Si elle est différente de 0, la limite est infinie. Etudier alors le signe du dénominateur.

Exemple:

lim x 3 x 1 1 x²

on a : lim x 3 4 0 x 1

lim 1 x² 0 et 1 x² 0 pour x 1 x 1

alors : lim x 3 x 1 1 x²



 

  



    



  

 

2) Si elle est nulle,

 factoriser numérateur et dénominateur puis simplifier.

Exemple:

2( x 2 )( x 5)

2x² x 10 2 2x 5

lim lim lim 9

x² 3x 2 ( x 2 )( x 1 ) x 1

x 2^ x 2^ x 2^

 

  

  

    

  

 multiplier et diviser par l’expression conjuguée.

Exemple:

x² 3 2 ( x² 3 2 )( x² 3 2 )

lim lim

x 1 ( x 1 )( x² 3 2 )

x 1 x 1

x² 3 4 ( x 1 )( x 1 )

lim lim

( x 1 )( x² 3 2 ) ( x 1 )( x² 3 2 )

x 1 x 1

x 1 1

lim x² 3 2 4 x 1

 

 



      

   

 

   

 

     

 

  

  

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