Limite d’un produit

Limites de fonctions et continuité

Le plan est muni d’un repère O; −→

ı , −→



et on noteC la courbe représentative de la fonctionf. 1. Limites de fonctions en+∞ et−∞

(a) Limite finie

i. DéfinitionOn dit que la fonction f tend vers le réel l lorsque que x tend vers +∞si tout intervalle ouvert de centrel contient toutes les valeursf(x)dès quexest assez grand et on écrit :

x→+∞lim f(x) =l ii. Interprétation graphique

Dans ce cas, la droite∆d’équationy=lest uneasymptote parallèle à l’axe des abscisses ou horizon- taleà la courbeC en+∞.

iii. RemarqueLa définition est similaire dans le cas de−∞. iv. Exemples à connaître

x→+∞lim 1

x= 0, lim

x→+∞

1

xⁿ = 0, n∈N^∗, lim

x→+∞

√1 x= 0 (b) Limite infinie

i. DéfinitionOn dit que la fonctionf tend vers +∞lorsque que xtend vers+∞si tout intervalle ouvert de la forme]M; +∞[contient toutes les valeurs f(x)dès quexest assez grand et on écrit :

x→+∞lim f(x) = +∞ ii. Illustration

1 2 3 4 5 6 7 8 9

−1

1 2 3 4 5 6

−1

−2

C

y=M

x0

b

iii. Exemples à connaître

x→+∞lim x²= +∞, lim

x→+∞xⁿ= +∞, n∈N^∗, lim

x→+∞

√x= +∞ iv. DéfinitionOn définit de manière similaire :

x→+∞lim f(x) =−∞, _x→−∞lim f(x) = +∞, _x→−∞lim f(x) =−∞

2. Limite de fonctions en aréel

f est définie sur un intervalle contenantaou un intervalle de borneadu type]a;..[ou]..;a[

(a) Limite infinie

i. DéfinitionOn dit que la fonction f tend vers +∞lorsque que xtend vers asi tout intervalle ouvert de la forme]M; +∞[contient toutes les valeurs f(x)dès quexest suffisamment proche deaet on écrit :

x→alimf(x) = +∞ ii. Interprétation graphique

Dans ce cas, la droite∆d’équationx=aest uneasymptote parallèle à l’axe des ordonnées ou verticale à la courbeC.

iii. Exemples à connaître

x→0lim

x>0

1

x= +∞, lim

x→0 x<0

1 x =−∞

iv. Illustration

1 2 3 4 5 6 7

−1

−2

−3

−4

−5

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

−1

−2

Asymptote verticale

Asymptote horizontale

∆:x=2

∆⁰:y=1

C:y=^x−4x−2

(b) Limite finie i. Définition

On dit que la fonctionf tend vers le réelllorsque que xtend vers asi tout intervalle ouvert de centre lcontient toutes les valeursf(x)dès quexest suffisamment proche deaet on écrit :

x→alimf(x) =l

3. Opérations et limites

Dans les tableaux suivants, les fonctionsf etgadmettent chacune une limite, finie ou non, quandxtend versa, apeut être un nombre réel,+∞ou−∞,l etl⁰ sont des nombres réels.

(a)

Limite d’une somme

Si lim

x→af(x) = l l l +∞ −∞ +∞

et si lim

x→ag(x) = l⁰ +∞ −∞ +∞ −∞ −∞

alors lim

x→a(f(x) +g(x)) = l+l⁰ +∞ −∞ +∞ −∞

?

? : forme indéterminée.

(b)

Limite d’un produit

Si _x→alimf(x) = l l >0 l >0 l <0 l <0 +∞ +∞ −∞ ±∞

et si lim

x→ag(x) = l⁰ +∞ −∞ +∞ −∞ +∞ −∞ −∞ 0

alors

x→alim(f(x)×g(x)) = l×l⁰ +∞ −∞ −∞ +∞ +∞ −∞ +∞

?

(c)

Limite d’un quotient si la limite du dénominateur n’est pas nulle

Si lim

x→af(x) = l l +∞ +∞ −∞ −∞ ±∞

et si lim

x→ag(x) = l⁰6= 0 ±∞ l⁰ >0 l⁰ <0 l⁰>0 l⁰<0 ±∞

alors lim

x→a

f(x)

g(x) = l

l⁰

0 +∞ −∞ −∞ +∞

?

(d)

Limite d’un quotient si la limite du dénominateur est nulle

Si lim

x→af(x) = l >0 ou+∞ l >0 ou+∞ l <0 ou−∞ l <0 ou−∞ 0 et si lim

x→ag(x) = 0en restant positive

0en restant négative

0en restant positive

0 en restant

négative 0

alors lim

x→a

f(x)

g(x) = +∞ −∞ −∞ +∞

?

4. Limite d’une fonction composée

(a) Propriété Les lettresa,bet l désignent soit un réel, soit+∞, soit−∞,g ethsont deux fonctions.

Si lim

x→ah(x) =b et lim

X→bg(X) =l







alorslim

x→ag(h(x)) =l (b) Exemple

x→+∞lim x²+x+ 1 =+∞ et lim

X→+∞

√X =+∞







alors lim

x→+∞

√x²+x+ 1 =+∞

5. Limites de suites du typeuⁿ =f(vⁿ) (a) Propriété

Soit f une fonction définie sur un intervalle I et (vⁿ) une suite telle que, pour tout n de N : vn ∈ I. a et l désignent : soit un réel, soit+∞, soit−∞.

Si lim

n→+∞vⁿ =a et lim

x→af(x) =l )

alors lim

n→+∞f(vⁿ) =l

(b) Exemple

n→+∞lim 2n+ 3

n+ 5 =2

x→2lim

√x=√ 2







alors lim

n→+∞

r2n+ 3 n+ 5 =√

2

6. Limites et comparaison

(a) Théorème d’encadrement dit "des gendarmes"

Soient f, get htrois fonctions définies sur un intervalleJ = [a; +∞[.

Si, pour tout xdeJ,g(x)≤f(x)≤h(x)et sig ethont la même limitel (l réel) en+∞alors : lim

x→+∞f(x) =l (b) F Démonstration (à connaître)

SoitI un intervalle quelconque de centrel.

Comme lim

x→+∞g(x) =l, il existe un réelx0tel que six > x0 alorsg(x)∈I D’autre part, lim

x→+∞h(x) =l, il existe donc un réelx1 tel que six > x1 alorsh(x)∈I

Si on prendx2=max(x0, x1)( le plus grand des deux nombres) et six > x2 alorsg(x)∈I et h(x)∈I Mais g(x)≤f(x)≤h(x)donc on a aussif(x)∈I, ce qui démontre que lim

x→+∞f(x) =l (c) Illustration

1 2 3 4 5 6

−1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

y=^sinxx +2 y= ¹x+2

y=−¹x+2

(d) Théorème 2

f et usont deux fonctions définies sur un intervalle J = [a; +∞[. Si, pour toutxdeJ : i. f(x)≥u(x)et si lim

x→+∞u(x) = +∞alors lim

x→+∞f(x) = +∞ ii. f(x)≤u(x)et si lim

x→+∞u(x) =−∞alors lim

x→+∞f(x) =−∞

(e) Remarque

Ces théorèmes restent valables si on prend les limites en−∞ou en un réela.

7. Continuité (a) Définition

Soitf une fonction définie sur un intervalleIet aun élément deI.

On dit quef est continue en asif a une limite finie enatelle que :

x→alimf(x) =f(a)

On dit quef est continue sur l’intervalle Isif est continue en tout réeladeI.

(b) Exemples

1 2 3 4 5 6 7 8

1 2 3 4 5

−1

−2

−3

Intervalle I Ici, f est continue sur I

b bb

b

1 2 3 4 5 6 7 8

1 2 3 4 5

−1

−2

−3

Intervalle I Ici, f n’est pas continue sur I

b b

b

b b

(c) Théorème

Si une fonction f est dérivable sur un intervalleI alorsf est continue sur I.

(d) Remarque

La réciproque est fausse : par exemple, la fonctionx7−→ |x|sur[−2; 2](elle est continue sur[−2; 2]mais elle n’est pas dérivable en 0).

(e) La fonction partie entière Soitxun réel. La fonction partie entière E est définie par : E(x)=le plus grand entier inférieur ou égal àx. Par exemple,E(2,384) = 2, E(−3,47) =−4. Cette fonction est discontinue en chaque point entier.

(f) Théorème des valeurs intermédiaires (Admis) Soitf une fonction continue sur un intervalle[a;b].

Pour tout nombre réelkcompris entref(a)etf(b), il existe au moins un nombre réelcde[a;b]tel que :f(c) =k.

1 2 3 4

1 2 3 4

−1

f(a) f(b)

b

a

b

b

bb b b

bk

b

c

b

(g) Corollaire

Si la fonction f est continueet strictement monotonesur un intervalle[a;b] alors pour tout réelk compris entref(a)etf(b), l’équationf(x) =ka une solution unique dans l’intervalle[a;b]

(h) Démonstration

Supposons que f est continue et strictement croissante sur[a;b]et soitkun réel compris entref(a)etf(b).

D’après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe au moins un réelcde[a;b]tel quef(c) =k

Cette solution est unique car si on a deux réels distincts c et c⁰ tels que f(c) = f(c⁰) = k, il y aurait une contradiction avec le fait que f est strictement croissante sur[a;b]

La démonstration est similaire si f est strictement décroissante sur [a;b]

(i) Exemple

Soitf définie parf(x) =x³+x−1 sur[−1; 2]

f(−1) = −3, f(2) = 9et f continue et strictement croissante sur [−1; 2]alors l’équation f(x) = 0 a une seule solution dans l’intervalle[−1; 2]

(j) Extension du corollaire

Le corollaire reste valable sur un intervalle Iquelconque sur lequelf est continue et strictement monotone.

(k) Continuité et limites de suites

Lorsque une suite définie par une relation de récurrence du type uⁿ+1 =f(uⁿ)converge vers un réell oùf est continue alorsl=f(l)

(l) Démonstration On a lim

n→+∞uⁿ= lim

n→+∞un+1=l Commef est continue enl,lim

x→lf(x) =f(l) d’où lim

n→+∞f(uⁿ) =f(l)donc lim

n→+∞un+1=f(l) =l