Chapitre 7
Limite d’une fonction
7.1 Limite d’une fonction en a
7.1.1 Limite finie en a
Soitf une fonction d´efinie sur un intervalleI et aun r´eel deI ou une borne deI. D´efinition 1
Si lorsque le r´eelxs’approche de ale r´eel f(x)s’approche d’un r´eell, on dit quef `a pour limite l en aet on note lim
x→af(x) =l
Exemple :Soit la fonctionf : x7−→√
x d´efinie surI = [0; 1].
La fonctionf admet-elle une limite en 0 ? D`es que 0 ≤x ≤ 10−2n avec n ∈ N, 0≤ √
x ≤10−n. On en d´eduit que lorsque x tend vers 0,√
xtend aussi vers 0. La fonctionf admet donc une limite en 0 qui vaut 0. On note lim
x→0
√x= 0
Remarque :certainnes fonctions n’admettent pas de limite ena.
Exemple : la fonctionx7−→ |x|
x d´efinie surR∗ n’admet pas de limite en 0.
On admet le th´eor`eme suivant
Th´eor`eme 1 Limites usuelles
• Poura≥0, lim
x→a
√x=√ a.
• P un polynˆome, aun r´eel, lim
x→aP(x) =P(a).
• Q=N
D une fraction rationnelle, poura∈Df, lim
x→aQ(x) =Q(a) =N(a) D(a).
• Pouraun r´eel, lim
x→acos(x) = cos(a)et lim
x→asin(x) = sin(a)
1
7.1.2 Limite infinie en a et asymptote verticale
D´efinition 2
Si lorsque le r´eelx s’approche dea
• le r´eel f(x) devient de plus en plus grand et finit par d´epasser n’importe quel r´eel M, on dit quef `a pour limite+∞ena et on note lim
x→af(x) = +∞.
• le r´eel−f(x)devient de plus en plus grand et finit par d´epasser n’importe quel r´eelM, on dit quef `a pour limite−∞ena et on note lim
x→af(x) =−∞.
On dit alors que la droite d’´equationx=a est asymptote verticale `aCf Exemple : Soit f : x 7−→ 1
√x−1 d´efinie sur ]1,+∞[, dont on a trac´e la repr´esentation graphiqueCf dans un re- p`ere orthonorm´e (O;−→i ,−→j). Etudions la limite def en 0, graphiquement on peut conjecturer : lim
x→1f(x) = +∞. Pourxsuffisament proche de 1,f(x) finit-il par ˆetre sup´e- rieur `a n’importe quel r´eelM?
Etant donn´e un r´eelM strictement positif, Si1≤x≤1 + 1
M2 0≤x−1≤ 1
M2 0≤√
x−1≤ 1 1 M
√x−1≥M
alors f(x)≥M donc lim
x→1f(x) = +∞
La courbe Cf admet donc la droite d’´equationx = 1 pour asymptote verticale.
0
−
→j
−
→i
Cf
x=1
7.2 Limite d’une fonction en ∞ et asymptote horizontale
7.2.1 Limite d’une fonction en + ∞
D´efinition 3 Soitf d´efinie (au moins) sur[a; +∞[.
Si lorsque le r´eelx prend des valeurs de plus en plus grandes vers +∞
• le r´eelf(x)s’approche d’un r´eell, on dit quef`a pour limitelen+∞et on note lim
x→+∞f(x) =l.
On dit alors que la droite d’´equationy=l est asymptote horizontale `aCf en +∞.
• le r´eel f(x) devient de plus en plus grand et finit par d´epasser n’importe quel r´eel M, on dit quef `a pour limite+∞en+∞et on note lim
x→+∞f(x) = +∞.
• le r´eel−f(x)devient de plus en plus grand et finit par d´epasser n’importe quel r´eelM, on dit quef `a pour limite−∞en+∞et on note lim
x→+∞f(x) =−∞.
Exemples :
x→+∞lim x2= +∞
0
−
→j
−
→i
x→+∞lim 1 x = 0
0
−
→j
−
→i
On dit alors que l’axe des abscisses (c’est-`a dire la droite d’´equationy= 0) est
asymptote horizontale `aCf en +∞. Remarque :certainnes fonctions n’admettent pas de limite en +∞.
Par exemple : les fonctions cosinus et sinus n’ont pas de limite en +∞
7.2.2 Limite d’une fonction en −∞
D´efinition 4 Soitf d´efinie (au moins) sur]− ∞;a].
Si lorsque le r´eel x prend des valeurs de plus en plus grandes en valeurs absolues et n´egatives vers−∞
• le r´eelf(x)s’approche d’un r´eell, on dit quef `a pour limitelen−∞et on note lim
x→−∞f(x) =l
• le r´eel f(x) devient de plus en plus grand et finit par d´epasser n’importe quel r´eel M, on dit quef `a pour limite+∞en−∞et on note lim
x→−∞f(x) = +∞.
• le r´eel−f(x)devient de plus en plus grand et finit par d´epasser n’importe quel r´eelM, on dit quef `a pour limite−∞en−∞et on note lim
x→−∞f(x) =−∞. Exemples :
x→−∞lim x3=−∞
0
x→−∞lim 1 x = 0
0
−
→j
−
→i
7.3 Op´ erations sur les limites
On consid`ere deux fonctionsf etg, admettant des limites soit en −∞, soit en +∞, soit en un r´eela.
Limite d’une somme
limf l l +∞ −∞
limg l0 ±∞ +∞ −∞
lim(f +g) l+l0 ±∞ +∞ −∞
Dans le cas limf = −∞ et limg = +∞ on ne peut pas tirer de conclusion g´en´erale pour f+g, il s’agit d’une forme ind´etermin´ee.
Limite d’un produit
limf l l6= 0 +∞ +∞ −∞
limg l0 ±∞ +∞ −∞ −∞
lim(f ×g) l×l0 ∗∞ +∞ −∞ +∞
∗: + ou−appliquer la r`egle des signes.
Dans le cas limf = 0 et limg=±∞, on ne peut pas tirer de conclusion g´en´erale pourf ×g, il s’agit d’une forme ind´etermin´ee.
Limite d’un quotient
limf l l +∞ −∞
limg l06= 0 ±∞ l0 6= 0 l06= 0 lim(f
g) l
l0 0 ∗∞ ∗∞
∗: + ou−appliquer la r`egle des signes.
Dans les cas suivants : limf =±∞et limg=±∞; limf = 0 et limg= 0 ;
on ne peut pas tirer de conclusion g´en´erale pour f
g, il s’agit de formes ind´etermin´ees.
