1 Limite d’une fonction f

Etude locale des fonctions : ´

limite et continuit´ e en un point

1 Limite d’une fonction f

1.1 Limite en un point r´eel

D´efinition. Soitf : R Ñ K d´efinie surD. Soit aP R. On dit que f admet pour limite le r´eel ` au point a si et ssi

@ε¡0, Dα¡0 t.q.@xPD |xa| ¤α ùñ |fpxq `| ¤ε

(Lorsque f est `a valeurs dansR) on dit que f admet pour limite 8 au point asi et ssi

@M ¡0, Dα¡0 t.q.@xPD |xa| ¤α ùñ fpxq ¥M On dit quef admet pour limite 8 au point asi et ssi . . .

Notation. On notefpxq ÝÝÝÑ

xÑa `.

Remarque.

Interpr´etation g´eom´etrique.

Exemple. f : R Ñ R x ÞÑ ?

x

avec D R . Limite en 0, en 1 ? Exemple. f : R Ñ R

x ÞÑ ¹_x

avec D R. Limite en 0 ?

Exemple. f : R Ñ R x ÞÑ

#

x si x1 5 si x1

avec D R. Limite en 1 ?

Exemple. f : R Ñ R x ÞÑ _x¹2

avec D R. Limite en 0 ?

Comme on l’a fait pour le troisi`eme exemple, on peut montrer :

Propri´et´e. Sif est d´efinie surD, siaPD, et si f admet une limite au point a, alors elle vautfpaq. Remarque.

1.2 Limite `a gauche, limite `a droite

D´efinition. Soitf une fonction d´efinie sur D, etaP R. On suppose que DXsa, 8r∅. On dit quef admet une limite finie ``a droite en asi et ssi

@ε¡0, Dα¡0 t.q. @xPD, a x¤a α ùñ |fpxq `| ¤ε Notation. On notefpxq ÝÝÝÑ

xÑ_¡a `oufpxq ÝÝÝÑ_xÑa

x¡a

`.

Remarque.

Exemple. ¹_x ÝÝÝÑ

xÑ

¡0 8 et _x¹ ÝÝÝÑ

xÑ

 0 8. Exemple. f : R Ñ R

x ÞÑ

#

x si x1 5 si x1 Exemple.

Epxq ÝÝÝÑ

xÑ_¡2 2 et Epxq ÝÝÝÑ

xÑ 2 1.

Exemple. f : R Ñ R x ÞÑ

$'

&

'%

0 si x0

1

x si 0 x¤ ¹₂ 1 x si ¹₂  x¤1

avec D r0,1s.

1.3 Limite `a l’infini

D´efinition. Soitf : R Ñ Kd´efinie sur Dnon major´e. On dit quef admet pour limite`P Ren 8si et ssi

@ε¡0, DAP Rt.q.@xPD x¥A ùñ |fpxq `| ¤ε

(Dans le cas o`uf est `a valeurs dans R) on dit que f admet pour limite 8 en 8 si et ssi

@M, DAP Rt.q. @xPD x¥A ùñ fpxq ¥M

D´efinitions analogues. en 8, etc.

Exemple.

1.4 Premi`eres propri´et´es de la limite

1.4.1 Unicit´e de la limite Th´eor`eme.

Soit f d´efinie surD,aP R. Sif admet`P Rpour limite en a, alorscette limite est unique.

1.4.2 Caract`ere local de la limite

Propri´et´e.La notion de limite est locale. Ainsi, pour ´etudier la limite ena(resp. 8) d’une fonctionf, il suffit d’´etudier la limite en a (resp. 8) d’une restriction de f `a Ipa, ηq saη, a ηr o`u η ¡ 0 est quelconque (resp. sA, 8ro`uA est quelconque).

Attention. Cet ensemble doit ˆetre ouvert.

Exemple. fpxq x txuavec D R. On s’int´eresse `a la limite lorsquexÑ?

7 defpxq. Exemple. f : R Ñ R

x ÞÑ

$'

&

'%

0 si x0

1

x si 0 x¤ ¹₂ 1 x si ¹₂  x¤1

avec D r0,1s. Limite en ³₄ de fpxq?

1.4.3 Lien entre limite usuelle, limite `a gauche, limite `a droite Remarque.

Attention.

Th´eor`eme.

Soit f d´efinie surD etaP Rtel queDXsa, 8r∅ etDXs 8, ar∅. (a) SiaPD, alors fpxq ÝÝÝÑ

xÑa ` ðñ

$&

%

fpxq ÝÝÝÑ

xÝÑ  ^a `ÐÝÝÝ

xÝÑ^{¡ a} fpxq fpaq `

(b) SiaRD, alors fpxq ÝÝÝÑ

xÑa ` ðñ fpxq ÝÝÝÑ

xÝÑ  ^a `ÐÝÝÝ

xÝÑ^{¡ a} fpxq

1.4.4 Limite et majorant Th´eor`eme.

Soit f une fonction d´efinie sur D et aP R. On suppose que f admet une limite finie en a. Alors f est born´ee au voisinage dea, c’est-`a-dire :

• dans le cas o`uaP R, avec Ipa, ηq saη , a ηr

DM, Dη ¡0 t.q.@xPIpa, ηq XD |fpxq| ¤M

• dans le cas o`ua 8 :

DM, DA¡0 t.q. @xPsA, 8rXD |fpxq| ¤M Propri´et´e. Soitf d´efinie surDetaP R. On suppose quef ÝÑ

a `¡0. Alors f ¡0 au voisinage de a.

1.4.5 Maple

Remarque. On peut d´eterminer avec Maple les limites de certaines expressions, mˆeme non ´evidentes.

Syntaxe.

limit(expression,x=a,direction)

o`uaest une constante r´eelle ouinfinityou-infinityetdirection est factultative, peut prendre les valeurs left,right. . .

Version inerte. Limit

Remarque. Attention, ce sont les limites des fonctions, pas des suites, mˆeme si on appelle nla variable.

> f := x-> x*ln(x) :

> Limit(f(x),x=0):

> % = value(%);

# lim

xÑ0xlnx0

> limit(1/x,x=0);

# Undefined

> limit(1/x,x=0,right);

# 8

> limit(sin(x),x=infinity);

# 1..1

2 Continuit´ e en un point

2.1 D´efinition

D´efinition. Soit f d´efinie surD etaPD.f est ditecontinue au point asi et ssifpxq ÝÝÝÑ

xÑa fpaq. Remarque.

D´efinition. Sif n’est pas continue en a, on dit queaest unpoint de discontinuit´e.

Exemple. f : R Ñ R x ÞÑ Epxq Exemple. χ_Q : R Ñ R

x ÞÑ

#

1 sixP Q 0 sixP RrQ Exemple. f : R Ñ R

x ÞÑ Epxq pxEpxqq²

D´efinition. Soitf d´efinie sur DetaPD. On dit quef estcontinue `a gauche en a(resp.`a droite) si et ssi fpxq ÝÝÝÑ

xÑ a

fpaq(respfpxq ÝÝÝÑ

xÑ^¡a

fpaq).

Exemple.

2.2 Propri´et´es

2.2.1 Caract`ere local

Propri´et´e. Soit f d´efinie surD etaPD. Dire quef est continue en a´equivaut `a la restriction de f `aIpa, αq est continue en a.

2.2.2 Lien entre continuit´e, continuit´e `a gauche et `a droite

Propri´et´e. f est continue au pointasi et ssi elle est continue `a gauche et `a droite en a.

2.2.3 Fonctions born´ees

Propri´et´e. Soitf une fonction continue enaPD. Alorsf est born´ee sur un voisinage de a.

Exercice. Quantifier la phrase :« f est born´ee sur un voisinage dea ».

2.3 Prolongement par continuit´e

D´efinition. Soit f une fonction d´efinie surD etaRD.

Si f admet une limite finie ` quand x Ñ a, alors on dit que f se prolonge par continuit´e en a en posant :

fr: DY tau Ñ R x ÞÑ

#

fpxq sixPD

` sixa Exemple.

Maple. On peut effectuer des prolongement par continuit´e. Attention cependant. Il n’y a pas de test de continuit´e, et le prolongement peut ne pas ˆetre continu.

Attention aussi, c’est bien avec -> que l’on d´efinit une fonction. On ne peut pas d´efinir une fonction par une instruction du type : f(x) := 3*x + 3;

> sinc:=x->sin(x)/x:

> sinc(0);

# Error, (in sinc) division by zero

> sinc(0):=1;

# sincp0q:1

> sinc(0);

# 1

> sinc(t);

# sinptq

t

3 Op´ erations sur les limites, sur les fonctions continues

3.1 Lien entre limite/continuit´e et suites

Remarque. On dit aussi caract´erisation s´equentielle de la limite.

Th´eor`eme.

Soit f d´efinie surD. Soit aP Ret`P R. fpxq ÝÝÝÑ

xÑa ` si et ssi

@punqnPN PD^N,

unÝÝÑ

8 a ùñ fpunq ÝÝÑ

8 `

Corollaire. Soit f d´efinie sur D et a P D. Dire que f est continue en a ´equivaut `a pour toute suite pu_nqnPN

d’´el´ements de Dqui converge versa, la suitepfpunqqnPN converge vers fpaq.

Remarque.

Exemple. Montrer quef : xÞÑsinx n’a pas de limite en 8.

3.2 Op´erations alg´ebriques

3.2.1 Op´erations sur les limites Th´eor`eme.

Soit f etg d´efinies sur DetaP R (a) Sifpxq ÝÝÝÑ

xÑa `P Retgpxq ÝÝÝÑ

xÑa `¹ P R alorspf gqpxq ÝÝÝÑ

xÑa ` `¹,pf gqpxq ÝÝÝÑ

xÑa ``¹ et@kP R, pkfqpxq ÝÝÝÑ

xÑa k`.

(b) Sifpxq ÝÝÝÑ

xÑa `P R alors ¹_fpxq ÝÝÝÑ

xÑa 1

`

(c) Sifpxq ÝÝÝÑ

xÑa 0 et g est born´ee (en fait born´ee au voisinage de a),alorspf gqpxq ÝÝÝÑ

xÑa 0

Th´eor`eme.

Soit f etg deux fonctions d´efinies sur DetaP R. (a) Sifpxq ÝÝÝÑ

xÑa 8, et

sigest localement minor´ee,i.e.s’il existemP Retη¡0 tel que@xPDXsaη, a ηr, gpxq ¥m alors pf gqpxq ÝÝÝÑ

xÑa 8

Remarque.

Th´eor`eme.

(a) Sifpxq ÝÝÝÑ

xÑa 8, et sig est localement minor´ee parm¡0,i.e.

s’il existemP Retη ¡0 tel que @xPDXsaη, a ηr, gpxq ¥m¡0 alors pf gqpxq ÝÝÝÑ

xÑa 8

Th´eor`eme.

(a) Sifpxq ÝÝÝÑ

xÑa 8, alors _fp¹_xq ÝÝÝÑ

xÑa 0 (b) Sifpxq ÝÝÝÑ

xÑa 0, et si f est localement strictement positive (resp. n´egative)i.e.

s’il existeη ¡0 tel que @xPDXsaη, a ηr, fpxq ¡0 (resp.  0) alors _fp¹_xq ÝÝÝÑ

xÑa 8 (resp.8)

Remarque.

Propri´et´e. SoitI un intervalle,aP RdansI ou extr´emit´e deI. On noteF0 l’ensemble des fonctionsI Ñ R qui admettent pour limite 0 en a. Alors F₀ est non vide, inclus dans R^I, et stable par combinaison lin´eaire. C’est un sous-espace vectoriel de R^I.

Remarque.

3.2.2 Composition des limites Remarque.

Th´eor`eme.

Soit f d´efinie surI etg d´efinie surJ. Soit a,b,`dans R. Sifpxq ÝÝÝÑ

xÑa betgpyq ÝÝÝÑ

yÑb `et sifpIq €J, alors gfpxq ÝÝÝÑ

xÑa `.

Exemple. On cherche la limite en 8 de

c2x 1 x² 1

Exemple. Soitfpxq xsin_x¹2

etgpxq

#

1 si x0 0 sinon On cherche la limite en 0 de gfpxq.

3.2.3 Op´erations sur les fonctions continues Th´eor`eme.

Soit f d´efinie surD, etg d´efinie surD¹. (a) SiaPDXD¹,f etg continues ena

alorsf g,f g,kf (kP R) sont continues en a;

(b) Soit aPD. Sif est continue en aet s’il existeIpa, αq tel que@xPIpa, αq, fpxq 0 alors _f¹,d´efinie au moins surIpa;αq, est continue en a;

(c) SifpDq €D¹, queaPD,f continue enaetg continue enfpaq, alors gf est continue ena.

Remarque. On en d´eduit la continuit´e des fonctions usuelles : Exemple. Etudier la continuit´´ e dexÞÑ sinplnp1 x²qq

e^x1 . Remarque.

3.3 Limites et encadrements

Th´eor`eme (dit du passage `a la limite dans les in´egalit´es larges).

Soit f etg d´efinies sur D, etaP R. On suppose quefpxq ÝÝÝÑ

xÑa `P Retgpxq ÝÝÝÑ

xÑa `<sup>1</sup>P R. (a) Si@xPD, fpxq ¤M, alors `¤M;

(b) Si@xPD, fpxq ¤gpxq, alors`¤`¹. Remarque.

Th´eor`eme.

Soit f etg d´efinies sur D, etaP R. On suppose que@xPD, fpxq ¤gpxq. (a) Sifpxq ÝÝÝÑ

xÑa 8, alorsgpxq ÝÝÝÑ

xÑa 8; (b) Sigpxq ÝÝÝÑ

xÑa 8, alorsfpxq ÝÝÝÑ

xÑa 8.

Th´eor`eme (dit de limite par encadrement).

Soit f,g eth d´efinies surD, etaP R. On suppose que

@xPD, fpxq ¤gpxq ¤hpxq Sifpxq ÝÝÝÑ

xÑa `ethpxq ÝÝÝÑ

xÑa `et que c’est la mˆeme limite, alorsgpxq ÝÝÝÑ

xÑa `.

3.4 Cas des fonctions lipschitziennes

Propri´et´e. Soit f d´efinie surI etk-lipschitzienne surI. SoitaPI. Alors f est continue ena.

3.5 Th´eor`eme de la limite monotone Th´eor`eme (de la limite monotone).

Soit f d´efinie sur un intervalleI sa, br (les bornes peuvent ˆetre infinies). On suppose f croissante surI. Alorsf a une limite en b`a gauche. On peut pr´eciser :

(a) Sif non major´ee sur I, alorsfpxq ÝÝÝÑ

xÑb x b

8; (b) Sif major´ee surI, alors fpxq ÝÝÝÑ

xÑb x b

sup

I

f;

Th´eor`eme.

En a`a droite, avec une fonction d´ecroissante, `a vous de l’inventer.

Exemple. Soit f : s 1,1r Ñ R x ÞÑ

sin 1

x1

₂

Soit F la primitive de f qui s’annule en 0. (On ne sait pas la calculer.) D´emontrer queF admet une limite en 1.

15.1Calculdelimites. paq3a x3x23a x3x2en8pbq3sinxsin3x xpcosxcos3xqen0 pcqc xb x? x? xen8pdqsinpxπ 3q 12cosxenπ 3 peqp2xqtanpπ 2xq en1 pfqx91 x71en1pgqxn1 xm1en1o`upm,nqPN2 phqxn 1 xm1en1o`upm,nqPN2 contlocale_39.tex 15.2Calculerleslimitesdesexpressionssuivantes:paPRq paq? 2sinx1 1? 2cosxenπ 4pbq? 3x? 5x ? 2x7? 10xen1 pcq cosa x

x2 en8pdq xcos x x21

x x21 en0 peq1 x? 1x1 x1 2 en0pfqx2 3? x31? x21en0 pgq? x? a? xa ? x2a2enaphqx 1 sinxtanx 1cosx en0 contlocale_40.tex 15.3Soitf:RÑR xÞÑsin2x ? 1cos3x D´eterminerledomaineded´efinitiondefetcalculerleslimitesauxbornes decedomaineded´efinition.contlocale_41.tex 15.4Soitfunefonctionr´eellep´eriodiqued´efiniesurRtellequ’ilexiste guneautrefonctionr´eellev´erifiant: •fgestcroissantesurunintervallenonmajor´e; •gadmetunelimitefinieen8. Montrerquefestconstante.contlocale_44.tex

15.5

´ Etudierlalimitedesfonctionssuivantesaupointadonn´e: txucosx f:xÞÑa8g:xÞÑa8 xx 11 xh:xÞÑxsina0j:xÞÑesinxa0 x 21xsinxx1 k:xÞÑsina0l:xÞÑa8 xx3 contlocale_43.tex 15.6

2´ Etudierlalimiteen0desapplications(avecpa,bqPR) xbax xÞÝÑExÞÝÑE axxb contlocale_45.tex ## 1 xsinsix01six0x15.7Soitf:xÞÑetg:xÞÑ 0six00six0

´ Etudierl’existenced’unelimiteen0degf.contlocale_48.tex 15.8Quepenserdelapropositionsuivante? Proposition. Soitf:RÑC,aPRetlPC.Alors: (a)fpxqÝÝÝÑ`ðñ|fpxq|ÝÝÝÑ|`| xÑaxÑa (b)fpxqÝÝÝÑ`ðñ xÑa

$ &|fpxq|ÝÝÝÑ|`| xÑa %ArgpfpxqqÝÝÝÑArgp`q xÑa (c)|fpxq|ÝÝÝÑ8ðñ xÑa

$ &RepfqpxqÝÝÝÑ8 xÑa %ImpfqpxqÝÝÝÑ8 xÑa contlocale_49.tex t sinte 15.9D´eterminer,sielleexiste,lalimiteen8detÞÑi shtcht contlocale_50.tex 15.10D´emontrerenrevenant`alad´efinition,quelesapplicationssuivantes sontcontinues: 1(a)g:xÞÑsurR; x n (b)h:xÞÑxsurR,avecnPN. contlocale_1.tex

15.11Soitf:RÑRtellequefpxq

$ ' &0six0 1sixPQx' % xsixPRrQ D´emontrerquefestunebijectiondeRsurRet´etudiersacontinuit´e.contlo- cale_2.tex 15.12

´ Etudierlacontinuit´edelafonction f:RÑR #X\ 1 xsix0xxÞÑ 1six0 contlocale_3.tex 15.13 (a)Soitf:RÑR # 21 6xx1six 6xÞÑ6x31 six¥2x56

´ Etudierlacontinuit´edefsurR. (b)Soitg:RÑReth:RÑR xÞÑcos3πxxÞÑcos4πx

1´ Etudierlacontinuit´edefgetfhaupoint.6 (c)Qu’enconclure? contlocale_4.tex 15.14Soitf:s18rÑR # x sixRQ1xxÞÑp sixPQpq1 p o`ul’onanot´elerepr´esentantirr´eductibledex,avecq¡0.q (a)D´emontrerquefestcontinueen0; (b)D´emontrerquesixPs1,8rXQ,fn’estpascontinueenx;00 (c)D´emontrerquefestcontinueentoutpointxPs1,8rrQ.0 contlocale_5.tex 15.15

´ Etudierlacontinuit´eentoutpointdel’ensembleded´efinition etl’existenced’un´eventuelprolongementparcontinuit´epourlesfonctions

suivantes(o`uaPR): paqxÞÝÑsin2 xsin2 a x2a2pbqxÞÝÑEpxqpEpxqxq2 pcqxÞÝÑE 1 x d 1 xE 1 x pdqxÞÝÑ# x2 sixPQ xsixRQ peqxÞÝÑEpxqEp2xqpfqxÞÝÑxα sin1 xαPR pgqxÞÝÑ1cos? x xphqxÞÝÑcosxcos1 x piqxÞÝÑsinxsin1 x contlocale_6.tex 15.16Soitf:RÑRunefonctioncontinueen0telleque @xPRfpxqfp2xq D´emontrerquefestconstantesurR.contlocale_7.tex 15.17SoitfetgdeuxfonctionscontinuessurRtellesque @xPQ,fpxqgpxq Quepeut-ondiredefetg.contlocale_8.tex 15.18Soitf:RÑRunefonctioncontinueen0telleque @px,yqPR2 fpxyqfpxqfpyq (a)Montrerquefp0q0,puisquefestimpaire; (b)D´emontrerquefestcontinueentoutpointdeR; (c)Onposefp1qa.Montrerquepourtoutentiernatureln,ettoutr´eel x,onafpnxqnfpxq,etquefpnqna; (d)Montrerquepourtoutrationnelx,onafpxqax; (e)End´eduirequepourtoutr´eelx,onafpxqax. contlocale_9.tex 15.19D´eterminerlalimiteen1de: sin3πx sin4πx

contlocale_10.tex 15.20SoitfetgdeuxfonctionsrabsÑR,continuessurrabs.Onpose hsuppf,gq. (a)D´emontrerqueh1 2pfg|fg|q; (b)End´eduirequehestcontinuesurrabs; (c)Peut-ong´en´eraliser`aunefamillefiniephsuppf1,,fnqq? (d)Peut-ong´en´eraliser`aunefamilleinfinie? Onpourraconsid´erer: fn:r01sÑR xÞÑp1xqneth:r01sÑR xÞÑsupptfnpxq,nPNuq contlocale_11.tex 15.21Donnerpourchacunedesfonctionssuivantes,end´etaillantpr´eci- s´ementlesarguments: (a)ledomaineded´efinition; (b)lespointsdecontinuit´e;

(c)l’existence´eventuelled’unprolongementparcontinuit´e. fpxq1 22tanxgpxqsin1 x e1 x1hpxq1sin3x 1cos2x contlocale_16.tex 15.22Peut-onprolongerxÞÑsin1 xparcontinuit´een0?contlocale_24.tex 15.23Soitf:R ÑR.Onsupposequ’ilexiste`PRtelque fpx1qfpxqÝÝÝÝÑ xÑ8`.Montrerquefpxq xÝÝÝÝÑ xÑ8`.contlocale_23.tex 15.24Quedired’unefonctionfT-p´eriodiquequiadmetunelimitefinie `en8?contlocale_25.tex 15.25MontrerquexÞÑsinxestcontinueentoutpointx0deRcontlo- cale_26.tex 15.26MontrerquexÞÑ? xestlipschitziennesurr1,8r.Est-cevrai surR?contlocale_38.tex