Feuille d’exercices n˚18 Limite et continuit´ e (partie 1)

Lyc´ee Benjamin Franklin PTSI−2012-2013

D. Blotti`ere Math´ematiques

Feuille d’exercices n˚18 Limite et continuit´ e (partie 1)

Exercice 167 (D´ecomposition d’une fonction en partie paire et en partie impaire)

1. SoitI une partie deRnon vide, sym´etrique par rapport `a 0. SoientF^p(I,R) etFⁱ(I,R) les deux parties deF(I,R) d´efinies par :

F^p(I,R) ={f ∈ F(I,R) : f est paire} et Fⁱ(I,R) ={f ∈ F(I,R) : f est impaire}. Montrer queFp(I,R) etFi(I,R) sont deux sous-espaces vectoriels suppl´ementaires deF(I,R).

2. D´ecomposer la fonction exponentielle

exp :R→R; x7→e^x relativement `a la d´ecompositionF(R,R) =Fp(R,R)⊕ Fi(R,R).

Exercice 168 (Structure de l’ensemble des fonctions lipschitziennes) SoitI un intervalle non vide deR. SoitLip(I,R) la partie de F(I,R) d´efinie par :

Lip(I,R) ={f ∈ F(I,R) : f est lipschitzienne}. Montrer queLip(I,R) est un sous-espace vectoriel deF(I,R).

Exercice 169 (Fonctions p´eriodiques) 1. Montrer que la fonction

f1:R→R; x7→cos(5x) est p´eriodique et d´eterminer la plus petite p´eriode T >0 de f. 2. Montrer que les fonctions

f2:R→R; x7→sin(6x) et f3:R→R; x7→cos(15x) sont p´eriodiques et d´eterminer la plus petite p´eriodeT >0 commune `a f2 etf3. 3. Soitf4:R→Rl’unique fonctionπ-p´eriodique, paire, qui v´erifie :

∀x∈h 0,π

2 i

f(x) = 1− 2 πx.

Tracer la courbe repr´esentative de f4.

Exercice 170 (Calculs de limites en revenant `a la d´efinition)

D´emontrer les r´esultats suivants, en revenant `a la d´efinition de la notion de limite.

1. x²_x→+∞→ +∞

2. x²−6x+ 8 →

x→3−1 3. 1

x →

x→0⁺+∞ 4. E(x) →

x→2⁻1

1

Exercice 171 (Admettre une limite finie l >0 et ˆetre localement strictement positive)

Soita∈R. SoitI une partie non vide deRtelle qu’il existe un r´eel ?>0 v´erifiant ]a−?, a[⊂I ou ]a, a+?[⊂I.

Soit f: I →R une fonction admettant une limite finie l >0 en a. Montrer que f est localement strictement positive ena, i.e. que :

∃δ >0 ∀x∈I |x−a| ≤δ⇒f(x)>0.

Exercice 172 (Quelques ´etudes de limites) 1. Soita∈R^∗. Soit la fonction

f1: R^∗\ {a} →R; x7→

1 x−a¹

x−a. (a) ´Etudier la limite ´eventuelle de la fonctionf1 ena.

(b) Interpr´eter le r´esultat de la question 1.(a).

2. Soita∈R⁺. Soit la fonction

f2:R⁺\ {a} →R; x7→

√x−√ a x−a .

(a) ´Etudier la limite ´eventuelle de la fonctionf2 ena, en distinguant plusieurs cas.

(b) Interpr´eter le r´esultat de la question 2.(a).

3. Soit (n, a)∈N^∗×R. Soit la fonction

f3:R\ {a} →R; x7→ xⁿ−aⁿ x−a . (a) ´Etudier la limite ´eventuelle de la fonctionf3 ena.

(b) Interpr´eter le r´esultat de la question 3.(a).

4. Soit la fonction

f4:R→R; x7→ln(x²+ 1) + cos(x).

Etudier la limite ´eventuelle de la fonction´ f4 en +∞. 5. Soit la fonction

f5:R^+∗→R; x7→3^x−x³. (a) ´Etudier la limite ´eventuelle de la fonctionf5 en 0⁺.

(b) ´Etudier la limite ´eventuelle de la fonctionf5 en +∞.

Exercice 173 (Un ´equivalent d’une application r´eciproque) Soit la fonction

f:R⁺→[1,+∞[ ; x7→x⁵+x+ 1.

1. Justifier que l’applicationf est bien d´efinie.

2. D´emontrer quef est bijective.

3. Montrer que :

f⁻¹(x)_x→+∞→ +∞. 4. Montrer que :

f⁻¹(x)_x→+∞∼ ⁵√ x.

Exercice 174 (La fonction cosinus n’admet aucune limite en +∞) D´emontrer que la fonction

f:R→R; x7→cos(x) n’admet aucune limite en +∞.

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