PARTIE 1 : Limite d’une fonction en a (a

Chap.4 : LIMITES DE FONCTIONS

PARTIE 1 : Limite d’une fonction en a (a

IR)

a) Limite finie en a

On dit qu’une fonction f admet pour limite L lorsque x tend vers a si, quand x prend des valeurs de plus en plus proches de ……, 𝑓(𝑥) se rapproche de plus en plus de ……

Notation : On note alors : lim

(→...𝑓(𝑥) =. . .

Soit f une fonction définie et continue sur I, alors pour tout nombre réel a de I, . Exemples : lim

(→,√3𝑥 + 2 =………

………

b) Limite infinie en a

Exemple : Soit f la fonction définie sur IR −{2} par : .

On cherche à déterminer . Compléter le tableau de valeurs ci-dessous :

Si, quand x prend des valeurs de plus en plus proches de 𝑎, 𝑓(𝑥) prend des valeurs positives de plus en plus grandes, on dit que f a pour limite ……… en a.

Si, quand x prend des valeurs de plus en plus proches de 𝑎, 𝑓(𝑥) prend des valeurs négatives de plus en plus petites, on dit que f a pour limite ……… en a.

Notation : On note alors : ou .

Remarque importante : en général, une fonction a une limite infinie en a lorsque a est une …………. ……….. pour la fonction.

Une ……….. est une droite vers laquelle la courbe se rapproche.

Si , la droite d’équation 𝑥 =. .. est asymptote verticale à la courbe représentative de f.

Exemple : Soit g la fonction définie sur ] 2 ; [ par : . Compléter le tableau ci-dessous et déterminer .

On en déduit que ………

Donc ………

………..

Tracer l’asymptote correspondante dans le repère ci-contre.

) ( ) (

limf x f a

a

x =

®

= +

®(8-4 3 )

lim ²

2 x x

x

2 ) 3 (

3

-

= + x x x f )

( lim2f x

x®

+¥

® ( )= lim f x

a

x =-¥

® ( ) lim f x

a x

±¥

® ( )= limf x

a x

+¥ 2

) 1

( = -

x x g

) ( lim2g x

x®

® ( )= lim2g x

x

Ti2D / Limites

Format Cours Limites de 𝑓 en 𝑎 et en l’∞

x 1 1,8 1,9 1,99 1,999 1,9999

x 2,5 2,2 2,1 2,01 2,001 2,0001

x 2,5 2,25 2,1 2,01 2,001 2,000001

) (x f

) (x f

) (x g

Conclusion :

lim

𝑓(𝑥) =……..

lim

𝑓(𝑥) =……..

PARTIE 2 : Limite d’une fonction à l’infini

Exemples : A l’aide d’une calculatrice graphique, compléter les égalités suivantes :

……… ……… ……… ……… ………

Si , la droite d’équation 𝑦 =. .. est ……… horizontale à la courbe représentative de f.

Exemple : Soit f la fonction définie sur ] 0 ; [ par : . Déterminer . Que peut-on en déduire ?

………..

………..

………..

………..

Tracer l’asymptote correspondante dans le repère ci-contre.

PARTIE 3 : Limites des fonctions de référence et compléments

Tous les résultats suivants peuvent être retrouvés à l’aide de votre calculatrice :

a) Fonction carrée :

……… et ………

b) Fonction cube :

……… et ………

c) Fonction racine carrée :

………

d) Fonction inverse :

……… et ………

Remarque importante : la limite de la fonction inverse, 𝑓: 𝑥 ⟼⁹₍ en 0 dépend de son ensemble de définition.

Sur ] ; 0 [ : ……… Sur ] 0 ; [ : ………

Si la fonction est définie sur ] ; 0 [ ] 0 ; [, on note souvent les limites de la fonction inverse en 0 :

- par valeurs supérieures : _(→,lim

(5, 9

(=………

- par valeurs inférieures : lim_(→,

(4, 9

(=………

Dans les deux cas, l’axe des ordonnées (d’équation …………..) est asymptote verticale à la courbe représentative de la fonction inverse.

e) Fonction logarithme népérien : lim(→,

(5,

ln 𝑥 =……… lim

(→;<ln 𝑥 =………

f) Fonctions trigonométriques :

Les fonctions cosinus, sinus et tangente n’ont pas de limite en et .

+¥ =

®

2 3

lim x

x =

+¥

® x

xlim ln - =

+¥

®

4 2

lim x

x - =

+¥

® x

x

2 1

lim =

+¥

® x

x

lim 1

b x

x f =

±¥

® ( ) lim

+¥ f(x)=1-1x )

( lim f x

x®+¥

+¥ =

®

lim x2

x =

-¥

®

lim x2 x +¥ =

®

lim x3

x =

-¥

®

lim x3 x +¥ =

® x

xlim

+¥ =

® x

x

lim 1 =

-¥

® x

x

lim 1

-¥ =

® x

x

lim1

0 +¥ =

® x

x

lim1

0

-¥ È +¥

+¥ -¥

PARTIE 4 : Opérations sur les limites

a) Limite de la somme de deux fonctions

Soit a, un nombre réel, ou . Soient L et L’ des nombres réels.

Si L

et si L’

alors

Exemples : 1) Déterminer la limite en de la fonction g définie sur IR^* par : .

……… ……… ……… donc ………

2) ……… ……… ……… donc ………

3) ……… ……… donc ………

……… ……… donc ………

4) ……… ……… donc ………

……… ……… donc ………

Remarque : Lorsqu’on détermine une limite, il ne faut jamais laisser une forme indéterminée et toujours trouver un moyen de lever l’indétermination.

A RETENIR : Une fonction polynôme se comporte en et en comme son terme de plus haut degré.

Exemple : 𝑥³ = ………

Remarques :

La propriété précédente n’est utilisable que pour des limites en et en .

La propriété précédente n’est utilisable que pour des polynômes : et et ne sont pas des polynômes !!!

Exemples : 1) Soit f la fonction définie sur IR par : . Déterminer les limites de la fonction f en −2, et .

(→=3 lim 𝑓(𝑥) =………

(→=<lim 𝑓(𝑥) =………

(→;< lim 𝑓(𝑥) =………

2) Soit g la fonction définie sur IR par : . Déterminer les limites de la fonction g en et .

(→=< lim 𝑔(𝑥) =………

(→;< lim 𝑔(𝑥) =………

b) Limite du produit de deux fonctions

Soit a, un nombre réel, ou . Soient L et L’ des nombres réels.

Si L L > 0 L < 0 0

et si L’

alors

¥

+ -¥

® ( )= limf x

a x

¥

+ -¥

® ( )= limg x

a x

¥

+ -¥ +¥ -¥ -¥

=

® ( ( )+ ( )) lim f x g x

a x

-¥ 1 2

)

( = ³+ + x x x g

-¥ =

®

lim x3

x =

-¥

® x

x

lim 1 =

-¥

® 2

xlim =

-¥

® ( ) lim g x

x +¥ =

® x

x

lim 1 =

+¥

® x

xlim - =

-¥

® 2

xlim ÷=

ø ç ö

è

æ + -

+¥

® 1 2

lim x

x

x +¥ =

® x

xlim ln - =

+¥

® 4

xlim - =

+¥

® (ln 4)

lim x

x

+ =

® x

xlimln

0 - =

® + 4 lim0

x - =

® +(ln 4) lim0 x

x -¥ =

®

lim x2

x - + =

-¥

® 5

lim x

x - + =

-¥

® ( 5)

lim x² x

x +¥ =

®

lim x2

x - + =

+¥

® 5

lim x

x - + =

+¥

® ( 5) lim x² x

x

¥

- +¥

+¥

® +¥

® - + =

x xlim(x² x 5) lim

-¥ +¥

x

1 x lnx

1 3 )

(x =x²+ x-

f ^-¥ +¥

1 3 )

(x =x²+x- x³+

g -¥ +¥

¥

+ -¥

® ( )= limf x

a x

¥

- +¥

® ( )= limg x

a x

¥

+ -¥ +¥ -¥

± ¥

=

® ( ( )´ ( )) lim f x g x

a x

Exemples : 1) ……… ……… ……… ………

2) Soit f la fonction définie sur IR^* par : . Déterminer la limite de la fonction f en .

(→=< lim (𝑥^@+ 1) =……… et lim

(→=< B₍⁹− 2D =……… donc par produit : lim

(→=< 𝑓(𝑥) =………

c) Limite du quotient de deux fonctions

Soit a, un nombre réel, ou . Soient L et L’ des nombres réels.

Si L L ≠ 0 L 0

et si L’ ≠ 0 0 L’ 0

alors

Exemples : 1) Soit f la fonction définie sur IR –{0,5} par : . Déterminer la limite de la fonction f en .

(→;< lim B−6 +⁹₍D =……… et lim

(→;< (4𝑥 − 2) =……… donc par quotient : lim

(→;< 𝑓(𝑥) =………

2) Soit g la fonction définie sur IR –{3} par : . Déterminer la limite de la fonction g en 3 (à gauche et à droite).

lim(→@

(5@

(𝑥 − 3) = ………. donc par quotient lim_(→@

(5@

𝑔(𝑥) =…….

lim(→@

(4@

(𝑥 − 3) = ………. donc par quotient lim_(→@

(4@

𝑔(𝑥) =…….

3) Soit h la fonction définie sur ] ; 2 [ par : . Déterminer la limite de la fonction h en 2.

lim(→3 (43

(𝑥³− 10) = ………. et lim_(→3

(43

(𝑥 − 2) =……… donc par quotient lim_(→3

(43

ℎ(𝑥) =………

d) Formes indéterminées

Il y a quatre cas de formes indéterminées pour lesquels il faudra faire une étude particulière :

« ………… » (1) « ………… » (2) « ………… » (3) « ………… » (4) Pour lever une indétermination de la forme (4), on peut utiliser la propriété suivante : A RETENIR : une fonction rationnelle se comporte en et en

comme le quotient simplifié de ses termes de plus hauts degrés.

Exemples : 1) ………..…………

2) ……….

3) ………

4) ………..

Pour lever une indétermination de la forme (2) ou (4), on peut utiliser la propriété suivante :

A RETENIR :

Remarque : « x l’emporte sur en 0 et »

Pour lever une indétermination de la forme (1), (3) ou (4), il faudra parfois factoriser, développer, simplifier… : Exemple : Calculer la limite en de la fonction g définie sur ] 0 ; [ par :

………..

+¥ =

® (5 ) lim x²

x - =

+¥

® ( 5 ) lim x²

x - + + =

+¥

® ( 5 3 2) lim x² x

x - + + =

-¥

® ( 5 3 2) lim x² x

x

÷ø ç ö èæ - +

= 1 2

) 1 ( )

( ³

x x x

f -¥

¥

+ -¥

® ( )= limf x

a x

¥

± ± ¥

® ( )= limg x

a x

¥

± ± ¥

÷÷= ø çç ö è æ

® ( ) ) lim (

x g

x f

a x

2 4

6 1 )

( -

+

= - x x x

f +¥

3 ) 1

( = -

x x g

-¥ 2

) 10 (

2

-

= - x x x h

¥

- +¥

+ = -

+¥

® 2 3 3 lim 5

x x

x

- = +

+ - -

+¥

® 3 2 1 4 lim 2₂³

t t

t t

t

- = +

+

-¥

® 2 3 1

3 lim 2 ₂

4

x x

x

x

+ = -

+ -

+¥

® 3 2 1 3 lim ₂6

x x

x

x

0 ln lim0 =

® x x

x ln 0

lim =

+¥

® x x

x =+¥

+¥

® x

x

xlim ln x

ln +¥

+¥ +¥ g(x)=4x-lnx

Ti2D / Limites Format Cours Formes indéterminées

………..

COMPLEMENT 1 : limites de fonctions composées simples

Exemples : 1) Déterminer la limite en de la fonction f définie sur [ ; [ par : .

………...

………...

2) Déterminer , et .

COMPLEMENT 2 : notion d’asymptote oblique

Si , alors on dit que la droite D d’équation

est asymptote oblique à la courbe représentative de la fonction f en .

Remarque : On peut définir de la même façon une asymptote oblique en . Exemple : Soit f la fonction définie sur ] 2 ; [ par : .

Démontrer que la droite D d’équation est asymptote oblique à la courbe représentative de la fonction f.

………

………

………..

………..

Soient f et g deux fonctions définies sur un intervalle I. On note "f et "g les courbes représentatives respectives des fonctions f et g.

Pour étudier la position relative de "f et "g, il suffit d’étudier le signe de :

Si pour tout x de I, (soit ) alors "f est en dessous de "g sur I.

Si pour tout x de I, (soit ) alors "f est au dessus de "g sur I.

Exemple : Dans l’exemple précédent, étudier les positions relatives de la courbe représentative de la fonction f et de la droite D.

………...

………...

Remarque : Si la fonction f peut s’écrire sous la forme avec , alors la droite d’équation est asymptote oblique à la courbe représentative de la fonction f en .

Exercice : Soit f la fonction définie sur IR −{1} par : .

1) Déterminer les nombres réels a, b et c tels que .

………....

………

………

2) Etudier les limites de f aux bornes de son ensemble de définition. Interpréter graphiquement le résultat.

………

………

………

………

3) Montrer que la courbe représentative "f de la fonction f admet une asymptote oblique D.

………

………

4) Etudier la position relative de "f et D.

………

………

+¥ 4

1 +¥

x x

f 1

4 )

( = -

3

2 4

lim ÷

ø ç ö è æ +

-¥

® x

x

x x

xlim 5-2

-¥

® ÷

ø ç ö è æ +

+¥

® 1 2

ln

lim x

x

0 )) ( ) ( (

lim - + =

+¥

® f x ax b

x

b ax y= + +¥

-¥

+¥ 2

1 4 2 )

( = - + -

x x x f

1 2 -

= x y

) ( ) (x g x

f -

• f(x)-g(x)<0 f(x)<g(x)

• f(x)-g(x)>0 f(x)>g(x)

) ( )

(x ax b g x

f = + + lim ( )=0

±¥

® g x

x

b ax

y= + ±¥

1 3 2 ) 2

(

2

- -

= - x

x x x

f

) 1

( = + + -

x b c ax x f