On appelle ck « cousin le plus proche de l’entier k » le plus petit entier supérieur à k dont la somme des chiffres (sdc) est égale à celle de k.
Par exemple c2020 = 2101 avec sdc(2101) = sdc(2020) = 4 et sdc des entiers compris entre 2021 et 2100 ≠ 4.
On considère la suite S des ck pour k = 1,2,3,…….. Ainsi c₁ = 10, c₂ = 11, ……..
Q₁ L’entier 399 appartient-il à la suite S ? l’entier 1569 ? l’entier 1979 ? l’entier 1999 ? l’entier 2020 ? Q₂ Déterminer et caractériser la suite croissante des entiers positifs ≤ 2020 qui n’appartiennent pas à S.
Q₃ Déterminer le nombre d’entiers ≤ 2020 qui appartiennent à S.
Q₄ Sachant que la somme des n premiers cousins les plus proches est égale à 2110546, en déduire n.
L’ensemble des nombres ayant la même somme des chiffres s forme une suite croissante a(s, k) telle que ca(s,k)=a(s, k+1) ; seul le premier terme n’est donc pas un «cousin» : les nombres qui n’appartiennent pas à la suite S forment donc la suite bs des plus petits nombres de somme des chiffres s pour s=1, 2, ....
Q1 : 399 et 1999 n’appartiennent pas à la suite S : 399=b21 et 1999=b28 ; en revanche 1569=c1497, 1979=c1898, 2020=c2011
Q2 : Les termes de la suite bs inférieurs à 2020 sont au nombre de 28 : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 19, 29, 39, 49, 59, 69, 79, 89, 99, 199, 299, 399, 499, 599, 699, 799, 899, 999, 1999.
Q3 : Il y a donc 1992 entiers inférieurs ou égaux à 2020 appartenant à la suite S Q4 : La somme des 28 premiers termes de la suite b est égale à 7966 ; tous les autres nombres inférieurs ou égaux à 2020 appartiennent à la suite S, avec un rang inférieur ou égal à 2020 et leur somme est 1010*2021-7966=2033244. Il y a donc 28 nombres ≤2020 dont le cousin est >2020 :
c1000=10000 ; c1930=2029, c1940=2039, ..., c1980=2079, c1990=2089 ; c1991=2099, c1992=2199, ..., c1999=2899 ; c2000=10001, ; c2010=2100 ; c2012=2021, ..., c2019=2028 ; c2020=2101. La somme de ces termes est égale à 77302, et 2033244+77302=2110546 qui est le nombre proposé par l’énoncé : c’est donc la somme des n=2020 premiers termes de la suite S.
