G2953 – Les cousins les plus proches [** à la main]
On appelle ck « cousin le plus proche de l’entier k » le plus petit entier supérieur à k dont la somme des chiffres (sdc) est égale à celle de k.
Par exemple c₂₀₂₀ = 2101 avec sdc(2101) = sdc(2020) = 4 et sdc des entiers compris entre 2021 et 2100 ≠ 4.
On considère la suite S des ck pour k = 1,2,3,…….. Ainsi c₁ = 10, c₂ = 11, ……..
Q₁ L’entier 399 appartient-il à la suite S ? l’entier 1569 ? l’entier 1979 ? l’entier 1999 ? l’entier 2020 ? Q₂ Déterminer et caractériser la suite croissante des entiers positifs ≤ 2020 qui n’appartiennent pas à S.
Q₃ Déterminer le nombre d’entiers ≤ 2020 qui appartiennent à S.
Q₄ Sachant que la somme des n premiers cousins les plus proches est égale à 2110546, en déduire n.
Solution proposée par Daniel Collignon
Q1
399 : non car tout entier < 399 a une somme de chiffres < 3+9+9 c_1497 = 1569
c_1898 = 1979
1999 : non car tout entier < 1999 a une somme de chiffres < 1+9+9+9 c_2011 = 2020
Q2 : il s'agit de tout entier positif à k>=1 chiffres se terminant par k-1 "9".
Il y a ainsi 28 entiers :
les chiffres : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 les d9 : 19, 29, 39, 49, 59, 69, 79, 89, 99
les c99 : 199, 299, 399, 499, 599, 699, 799, 899, 999 les m999 : 1999
Q3 : en utilisant le résultat de Q2, 2020-28=1992 entiers appartiennent à S.
Q4 : à l'aide d'un tableur on détermine aisément n=2020
Référence : https://oeis.org/A228915 et sa complémentaire https://oeis.org/A051885
