G2953 – Les cousins les plus proches [** à la main]
On appelle ck « cousin le plus proche de l’entier k » le plus petit entier supérieur à k dont la somme des chiffres (sdc) est égale à celle de k.
Par exemple c₂₀₂₀ = 2101 avec sdc(2101) = sdc(2020) = 4 et sdc des entiers compris entre 2021 et 2100 ≠ 4.
On considère la suite S des ck pour k = 1,2,3,…….. Ainsi c₁ = 10, c₂ = 11, ……..
Q₁ L’entier 399 appartient-il à la suite S ? l’entier 1569 ? l’entier 1979 ? l’entier 1999 ? l’entier 2020 ? Q₂ Déterminer et caractériser la suite croissante des entiers positifs ≤ 2020 qui n’appartiennent pas à S.
Q₃ Déterminer le nombre d’entiers ≤ 2020 qui appartiennent à S.
Q₄ Sachant que la somme des n premiers cousins les plus proches est égale à 2110546, en déduire n.
Solution proposée par Bernard Vignes
Q₁
Les entiers 399 et 1999 n’appartiennent pas à S car il n’y a aucun entier < 399 et < 1999 dont la somme des chiffres est égale respectivement à 21 et à 28.
c1497 = 1569 avec scd(1467) = sdc(1569) = 18 c₁₈₉₈ = 1979 avec sdc(1898) = sdc(1979) = 27 c2011 = 2020 avec sdc (2011) = sdc(2020) = 4
Q₂ La suite croissante des entiers positifs ≤ 2020 qui n’appartiennent pas à S est constitué des 28 termes suivants :
k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 d_k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 19 29 39 49 59 69 79 89 99 199 299 399 499 599 699 799 899 999 1999
On observe que la somme des chiffres de dk est égale à k. Voir A051885
A051885 Smallest number whose sum of digits is n. 43
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 19, 29, 39, 49, 59, 69, 79, 89, 99, 199, 299, 399, 499, 599, 699, 799, 899, 999, 1999, 2999, 3999, 4999, 5999, 6999, 7999, 8999, 9999, 19999, 29999, 39999, 49999, 59999, 69999, 79999, 89999, 99999, 199999, 299999, 399999, 499999 (list; graph; refs; listen; history; text; internal format)
Q₃
D’après Q₂, on déduit qu’il y a 2020 – 28 = 1992 entiers de S qui sont inférieurs ou égaux à 2020
Q₄
On pose
k n
1 k
k
n c
C
Par tableur : voir ci-après. On obtient n = 2020.
