G2953-Les cousins les plus proches MB
On appelle ck « cousin le plus proche de l’entier k » le plus petit entier supérieur à k dont la somme des chiffres (sdc) est égale à celle de k.
Par exemple c2020 = 2101 avec sdc(2101) = sdc(2020) = 4 et sdc des entiers compris entre 2021 et 2100 ≠ 4.
On considère la suite S des ck pour k = 1,2,3,…….. Ainsi c1 = 10, c2 = 11, ……..
Q1 L’entier 399 appartient-il à la suite S ? l’entier 1569 ? l’entier 1979 ? l’entier 1999 ? l’entier 2020 ?
Q2 Déterminer et caractériser la suite croissante des entiers positifs ≤ 2020 qui n’appartiennent pas à S.
Q3 Déterminer le nombre d’entiers ≤ 2020 qui appartiennent à S.
Q4 Sachant que la somme des n premiers cousins les plus proches est égale à 2110546, en déduire n.
Q1)
399 : non car aucun nombre inférieur à 399 n'a une sdc égale à 21
1579 : oui car 1498 est le plus grand entier x inférieur à 1579 et tel que sdc(x) = sdc(1579) 1979 : oui car 1898 est le plus grand entier x inférieur à 1979 et tel que sdc(x) = sdc(1979) 1999 : non car aucun nombre inférieur à 1999 n'a une sdc égale à 28
2020 : oui car 2011 est le plus grand entier x inférieur à 2020 et tel que sdc(x) = sdc(2020) Q2) Un nombre qui n'appartient pas à S est un nombre x tel que pour tout y<x sdc(y) < sdc(x) S' = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,19,29,39,49,59,69,79,89,99,199,299,399,499,599,699,799,899,999,1999}
L'ensemble S' des entiers qui n'appartiennent pas à S est constitué par les 9 premiers entiers et par tous les nombres de plusieurs chiffres dont tous les chiffres sont des 9, sauf éventuellement le chiffre de gauche qui peut prendre n'importe quelle valeur de 1 à 9. S' comprend 28 nombres.
Q3) Nombre des entiers ≤ 2020 qui appartiennent à S : 2020 – 28 = 1992 Q4) La somme des nombres de S' est 9(5 + 59 + 599) +1999 = 7966 Les 1992 premiers cousins inférieurs ou égaux à 2020 ont pour somme : la somme des entiers de 1 à 2020 diminuée de 7966 soit 2033244.
On présume que la réponse est n = 2020.
Lorsqu'on recense tous les cousins jusqu'au 2020ième, en notant dans l'ordre où ils apparaissent tous ceux qui sont supérieurs à 2020 on obtient une suite qu'on arrête dès avoir inscrit 28 cousins supplémentaires :
10000 2029 2039 2049 2059 2069 2079 2089 2099 2199
2299 2399 2499 2599 2699 2799 2899 10001 2100 2021
2022 2023 2024 2025 2026 2027 2028 2101
La somme de ces 28 cousins est (9*2025)+(7*2069)+4201+(4*5098)+20101 = 77302.
La somme des 2020 premiers cousins est 2033234 + 77302 = 2110536.
Si la somme des n premiers cousins les plus proches est égale à 2110546, on déduit que n = 2020.
D 4 9 0 1
‒ P a v a g e s d ' h e x a g o n e b s [
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* à l a m a i n ] A v e c n t r i a n g l e s
