G2953-Les cousins les plus proches On appelle

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G2953-Les cousins les plus proches

On appelle 𝑐_𝑘 << cousin le plus proche de l’entier 𝑘 >> le plus petit entire supérieur à 𝑘 dont la somme des chiffres (sdc) est égale à celle de 𝑘.

Par exemple 𝑐₂₀₂₀ = 2101 avec sdc(2101) = sdc(2020) = 4 et sdc des entiers compris entre 2021 et 2100 ≠ 4. On considère la suite 𝑆 des 𝑐_𝑘 pour 𝑘 = 1,2,3, … … .. Ainsi 𝑐₁ = 10, 𝑐₂ = 11, … … ..

Q₁ L’entier 399 appartient-il à la suite 𝑆 ? l’entier 1569 ? l’entier 1979 ? l’entier 1999 ? l’entier 2020 ?

Q₂ Déterminer et caractériser la suite croissante des entiers positifs ≤ 2020 qui n’appartiennent pas à 𝑆.

Q₃ Déterminer le nombre d’entiers ≤ 2020 qui appartiennent à 𝑆.

Q₄ Sachant que la somme des 𝑛 premiers cousins les plus proches est égale à 2110546, en déduire 𝑛.

Solution de Kee-Wai Lau

Q₁ Puisque 𝑐₁₄₉₇= 1569, 𝑐₁₈₉₈ = 1979 et 𝑐₂₀₁₁= 2020, donc

1569, 1979, 2020 ∈ 𝑆. Évidemment, sdc(𝑛) < sdc(399) si 𝑛 < 399 et sdc(𝑛) < sdc(1999) si 𝑛 < 1999. Ainsi 399, 1999 ∉ 𝑆.

Q₂ Soit 𝐸 l’ensemble des entiers positifs. Désigne le complémentaire de 𝑆 dans

𝐸 par 𝑇. On a 𝑇 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} ⋃ {𝑎(10^𝑏) − 1: 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐸 et 𝑎 ≤ 9}.

En particulier, la suite croissante des entiers positifs ≤ 2020 qui n’appartiennent pas

à 𝑆 est 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 19,29,39,49,59,69,79,89,99, 199, 299, 399, 499, 599,

699, 799, 899, 999, 1999.

Q₃ Le nombre d’entiers ≤ 2020 qui appartiennent à 𝑆 est égale à 1992.

Q₄ Puisque 2110546 = ∑^𝑛_𝑘=1𝑐_𝑘 > ∑ 𝑘 = ^𝑛(𝑛+1)

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𝑛𝑘=1 , on a 𝑛 < 2055.

Il est facile de vérifier avec un ordinateur que 𝑛 = 2020.

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Voici notre progamme en GW-BASIC.