Exercices sur Gauss, Bézout et nombres premiers
Exercice 1 :
Partie 1 : Restitution organisée de connaissances 1. Enoncer le théorème de Bézout.
2. Enoncer le théorème de Gauss.
3. En utilisant le théorème de Bézout, démontrer le théorème de Gauss.
4. p et q sont deux entiers naturels premiers entre eux.
Déduire du théorème de Gauss que si a est un entier relatif tel que ≡ 0[] et ≡ 0[] alors ≡ 0[].
Partie 2 :
On se propose de déterminer l’ensemble E des entiers relatifs tels que ≡ 9[17] ≡ 3[5] . 1. Recherche d’éléments de E
(a) Montrer, en utilisant un théorème du cours, qu’il existe un couple d’entiers relatifs , tel que : 17 + 5 = 1. (On ne cherchera pas à donner un exemple numérique d’un tel couple pour le moment)
(b) On pose = 17× 3 + 9 × 5. Démontrer, en utilisant a), que appartient à E.
(c) Préciser tous les couples , d’entiers tels que : 17 + 5 = 1. (d) Donner un exemple d’entier appartenant à E.
2. Caractérisation des éléments de E
(a) Soit ∈ . Démontrer que − ≡ 0[85].
(b) En déduire qu’un entier relatif appartient à E si, et seulement si, il peut s’écrire sous la forme = 43 + 85 avec ∈ ℤ.
3. Application
Arthur sait qu’il a entre 400 et 500 cartes de collection. S’il fait des tas de 17, il lui en reste 9 et s’il fait des tas de 5, il lui en reste 3.
Combien a-t-il de cartes ?
Exercice 2 :
1. On considère l’équation (E) : 11 − 7! = 5, où et ! sont des entiers relatifs.
(a) Justifier, en énonçant un théorème, qu’il existe un couple d’entiers relatifs ; tels que : 11 − 7 = 1. Trouver un tel couple.
(b) En déduire une solution particulière de l’équation (E).
(c) Résoudre l’équation (E).
(d) Dans le plan rapporté à un repère orthonormé #; $%, &%, on considère la droite D d’équation cartésienne 11 − 7! − 5 = 0.
On note ( l’ensemble des points ) ; ! du plan tels que 0 ≤ ≤ 50 et 0 ≤ ! ≤ 50.
Déterminer le nombre de points de la droite D appartenant à l’ensemble ( et dont les coordonnées sont des nombres entiers.
2. On considère l’équation (F) : 11 +− 7!+ = 5, où et ! sont des entiers relatifs.
(a) Démontrer que si le couple ; ! est solution de (F), alors + ≡ 2!+[5].
(b) Soient et ! des entiers relatifs. Recopier et compléter les deux tableaux suivants :
Modulo 5, est congru à 0 1 2 3 4
Modulo 5, + est congru à
Modulo 5, ! est congru à 0 1 2 3 4
Modulo 5, 2!+ est congru à
Quelles sont les valeurs possibles du reste de la division euclidienne de + et de 2!+ par 5 ? (c) En déduire que si le couple ; ! est solution de (F), alors et ! sont des multiples de 5.
3. Démontrer que si et ! sont des multiples de 5, alors le couple ; ! n’est pas solution de l’équation (F). Que peut-on en déduire pour l’équation (F) ?
Exercice 3 :
1) Donner la décomposition en produit de facteurs premiers de 2013.
2) En déduire la décomposition en facteurs premiers de 2013. et de 99 × 2013/
Exercice 4 : Soit un entier naturel non nul.
1) Etablir que l’équation (E) : 14 ² + 7!²= 10+0 où et ! sont des entiers relatifs n’a pas de solutions.
2) On considère l’équation notée (F) : 3 ² + 7!²= 10+0 où et ! sont des entiers relatifs.
a) Montrer que 100 ≡ 2 7.
Démontrer que si ; ! est solution de (F) alors 3 ²≡ 20 7. b) Compléter le tableau suivant :
Reste de la division euclidienne de par7 0 1 2 3 4 5 6 Reste de la division euclidienne de
3 ²par7.
c) Démontrer que 20 est congru à 1, 2 ou 4 modulo 7 (on pourra s’aider d’un tableau).
En déduire que l’équation (F) n’admet pas de solution.
Exercice 5 :
On considère l’algorithme suivant où 1 2435 désigne la partie entière de 3
4.
6 et 7 sont des entiers naturels Saisir 6
7 prend la valeur 1 Tant que 7 ≤ √6
Si 34− 1 2345 = 0 alors Afficher 7 et 43 Fin si
7 prend la valeur 7 + 1 Fin Tant que.
1) Quels résultats affiche cet algorithme pour 6 = 12 ? 2) Que donne cet algorithme dans le cas général ? 3) Interpréter la 5ème ligne de l’algorithme.
