Exercices sur Gauss, Bézout et Nb premiers - Corrigé

Exercices sur Gauss, Bézout et Nb premiers - Corrigé

Exercice 1 : Partie 1 : Restitution organisée de connaissances 1. 2. et 3. Voir cours

4. Ce résultat est un autre énoncé d’un corollaire du théorème de Gauss. Il faut le redémontrer.

≡ 0[] = où ∈ ℤ et ≡ 0[] = ′ où ′ ∈ ℤ

On en déduit que = ′ : est donc un diviseur de ′, et comme et sont premiers entre eux, alors, d’après le théorème de Gauss, est un diviseur de ′ : = ′′ où ′′ ∈ ℤ

On en déduit que = ′′ et donc que ≡ 0[]. Partie 2 : 1. Recherche d’éléments de E

(a) 17 et 5 sont premiers entre eux donc , d’après le théorème de Bézout, il existe un couple d’entiers relatifs , tel que : 17+ 5 = 1.

(b) On pose " = 17× 3 + 9 × 5.

" = 17× 3 + 9 × 5 = 17× 3 + 9 × 1 − 17 = 17 3'((()(((*− 9

∈ℤ

+ 9 ≡ 9[17]

" = 17× 3 + 9 × 5 = 1 − 5 × 3 + 9 × 5 = 5 9'((()(((* − 3

∈ℤ

+ 3 ≡ 3[5]

On en déduit que " appartient à E.

(c) On cherche tous les couples , d’entiers tels que : 17 + 5 = 1. 17 + 5 = 1 = 17 + 5 ⇔ 17 − = 5− (1)

On en déduit que 5 divise 17 − , et comme 5 et 17 sont premiers entre eux, c’est que 5 divise − .

De ce fait : = + 5 où ∈ ℤ

En remplaçant dans (1), on obtient − = 17 et donc = − 17. Les solutions de l’équation 17 + 5 = 1 sont les couples + 5; − 17

(d) Le couple , = −2; 7 est solution de 17 + 5 = 1, on en déduit un exemple d’entier "

appartenant à E : " = 17 × −2 × 3 + 9 × 5 × 7 = −102 + 315 = 213 2. (a) Soit " ∈ . : " ≡ 3[5] et " ≡ 9[17]. De même, " ≡ 3[5] et " ≡ 9[17]. Par opération élémentaire, on en déduit que " − " ≡ 3[5] et " − " ≡ 9[17].

De plus, 5 et 17 sont premiers entre eux, donc d’après le 4. de la partie 1, " − " ≡ 0[5 × 17]. Ce qui confirme que " − " ≡ 0[85].

(b) Il faut démontrer deux implications :

Si " = 43 + 85 avec ∈ ℤ, alors " = 43 + 85 = 9 + 34 + 85 = 9 + 172 + 5 ≡ 9[17]

De même, " = 43 + 85 = 3 + 40 + 85 = 3 + 58 + 17 ≡ 3[5]

On en déduit que " appartient à E.

Si " appartient à E, alors " − " ≡ 0[85] ⇒ " ≡ "[85] pour toute valeur de ". En particulier, " = 213 = 43 + 85 × 2 ≡ 43[85] et donc " ≡ 43[85]

On en déduit qu’un entier relatif " appartient à E si, et seulement si, " = 43 + 85 avec ∈ ℤ. 3. Soit " le nombre de cartes d’Arthur : l’énoncé se traduit par " ≡ 9[17] et " ≡ 3[5] donc " ∈ .. D’après ce qui précède, " = 43 + 85 avec ∈ ℤ. Il reste à trouver la ou les valeurs de telles que 400 ≤ 43 + 85 ≤ 500 ⇔ 357 ≤ 85 ≤ 457 ⇒ = 5 ⇒ " = 43 + 5 × 85 = 468

Exercice 2 :

1. (a) 11 et 7 sont deux nombres premiers entre eux, donc d’après le théorème de Bézout, il existe deux entiers ′ et ′ tels que 11′ + 7′ = 1. En posant = ’ et = −’, on obtient 11 − 7 = 1. Il est clair que 11 × 2 − 7 × 3 = 1 donc le couple , = 2,3 est solution.

(b) Il suffit de multiplier l’égalité précédente par 5 :

511 × 2 − 7 × 3 = 5 × 1 ⇔ 11 × 10 − 7 × 15 = 5 : une solution particulière de l’équation (E) est donc le couple 5, 6 = 10,15.

(c) 115 − 76 = 5 = 11 × 10 − 7 × 15 ⇔ 115 − 10 = 76 − 15 (*)

C’est une égalité ne comprenant que des nombres entiers, on est donc en présence de diviseurs : 7 est un diviseur de 115 − 10, et comme 7 et 11 sont premiers entre eux, d’après le théorème de Gauss, 7 est un diviseur de 5 − 10. Il existe alors un entier relatif tel que 5 − 10 = 7 c’est-à-dire 5 = 7 + 10.

On remplace dans l’égalité (*) : 11 × 7 = 76 − 15 ⇔ 11 = 6 − 15 ⇔ 6 = 11 + 15 Les couples solutions de l’équation (E) sont donc les couples 7 + 10,11 + 15 où décrit l’ensemble des entiers relatifs.

(d) Les points de la droite D ont des coordonnées solutions de l’équation 115 − 76 − 5 = 0 ou encore 115 − 76 = 5.

Les couples d’entiers solutions sont de la forme 7 + 10, 11 + 15, il reste à déterminer les valeurs de qui vérifient simultanément : 0 ≤ 5 ≤ 50 et 0 ≤ 6 ≤ 50.

7 0 ≤ 7 + 10 ≤ 50 0 ≤ 11 + 15 ≤ 508 ⇔ 7−10 ≤ 7 ≤ 40 −15 ≤ 11 ≤ 35 8 ⇔ 9−10

7 ≤ ≤40 7

−15

11 ≤ ≤35 11

8 ⇔ ∈ :−1; 0; 1; 2; 3;

Il existe donc 5 points dont les coordonnées vérifient les conditions données : A(3 ;4), B(10 ;15), C(17 ;26), D(24 ;37), E(31 ;48)

2. On considère l’équation (F) : 115^<− 76^< = 5, où 5 et 6 sont des entiers relatifs.

(a) Si le couple 5; 6 est solution de (F), alors 115^< = 5 + 76^< ≡ 76^<[5].

Or 11 ≡ 1[5] et 7 ≡ 2[5] donc 115^< ≡ 5^<[5] et 76^< ≡ 26^<[5], on en déduit que 5^< ≡ 26^<[5]

(b)

Modulo 5, 5 est congru à 0 1 2 3 4

Modulo 5, 5^< est congru à 0 1 4 4 1

Modulo 5, 6 est congru à 0 1 2 3 4

Modulo 5, 26^< est congru à 0 2 3 3 2

Les valeurs possibles du reste de la division euclidienne de 5^< par 5 sont 0, 1 ou 4 Les valeurs possibles du reste de la division euclidienne de 26^< par 5 sont 0, 2 ou 3

(c) Si le couple 5; 6 est solution de (F), alors 5^< ≡ 26^<[5], autrement dit, 5^< et 26^< ont le même reste dans la DE par 5 : d’après les tableaux qui précèdent, il est nécessaire que 5 et 6 soient congrus à 0 modulo 5 : 5 et 6 sont donc des multiples de 5.

3. Si 5 et 6 sont des multiples de 5, alors le couple 5; 6 s’écrit sous la forme 5, 5 où et ’ sont des entiers relatifs : 115^<− 76^< = 11 × 25^<− 7 × 25^< = 2511^<− 7^<

115^< − 76^< est donc un multiple de 25, il ne peut pas être égal à 5 : le couple 5; 6 n’est pas solution de (F).

Conclusion : d’après la question 2.(c), si le couple 5; 6 est solution de (F), alors 5 et 6 sont des multiples de 5. Mais d’après ce qui précède, si 5 et 6 sont des multiples de 5, le couple 5; 6 n’est pas solution de (F) : l’équation (F) n’a donc pas de solutions dans ℤ.

Exercice 3 :

1) 2 013 = 3 × 11 × 61

2) 2013^> = 3^>× 11^>× 61^> et 99 × 2013^? = 3^>× 11^< × 61^? = 3^@?× 11^@× 61^?

Exercice 4 : Soit " un entier naturel non nul.

1) 145² + 76²= 725^< + 6^< avec 25^< + 6^< ∈ ℤ donc 145² + 76² est un multiple de 7.

Si l’équation (E) a des solutions, cela signifie que 10^<A est divisible par 7.

Or 10^<A = 2^<A× 5^<A donc 10^<A n’a pour diviseurs que des multiples de 2 et de 5 et ne peut pas avoir 7 pour diviseur

Conclusion : l’équation (E) : 145² + 76²= 10^<A où 5 et 6 sont des entiers relatifs n’a pas de solutions.

2) On considère l’équation notée (F) : 35² + 76²= 10^<A où 5 et 6 sont des entiers relatifs.

a) 100 = 7 × 14 + 2 donc 100 ≡ 2 7.

Si 5 ; 6 est solution de (F) alors 35² + 76²= 10^<A ⇔ 35²= −76²+ 10^<A

Or −76²≡ 0 7 donc 35²≡ 10^<A 7. De plus 100 ≡ 2 7 donc 10^<A = 100^A ≡ 2^A 7 Conclusion : Si 5 ; 6 est solution de (F) alors 35²≡ 2^A 7.

b)

Reste de la division euclidienne de 5

par7 0 1 2 3 4 5 6

Reste de la division euclidienne de

35² par7. 0 3 5 6 6 5 3

c)

" 0 1 2 3 4 5 6

Reste de la division euclidienne de

2^Apar7. 1 2 4 1 2 4 1

D’après le tableau ci-dessus, il semble que :

Si " ≡ 0 3, alors 2^A ≡ 1 7 ; Si " ≡ 1 3, alors 2^A ≡ 2 7 ; Si " ≡ 2 3, alors 2^A ≡ 4 7. Démontrons tout d’abord que 2^>BCD≡ 2^D 7 où et E sont des entiers naturels :

2^>BCD= 2^>B× 2^D = 8^B× 2^D ≡ 1^B× 2^D ≡ 2^D 7

Pour tout " ∈ ℕ, " = 3 + E où E est le reste de la DE de " par 3 et le quotient avec E ∈ :0; 1; 2;.

Donc, pour tout " ∈ ℕ, 2^A = 2^>BCD ≡ 2^D 7. Or E ∈ :0; 1; 2;, donc d’après le tableau ci-dessus, 2^A est congru à 1, 2 ou 4 modulo 7.

D’après la question 2)a), si 5 ; 6 est solution de (F) alors 35²≡ 2^A 7. D’après la question 2)b), 35² est congru à 0, 3, 5 ou 6 modulo 7.

Enfin, 2^A est congru à 1, 2 ou 4 modulo 7.

35² et 2^A n’ont donc pas le même reste dans la DE par 7 ce qui contredit 35² ≡ 2^A 7. Conclusion : l’équation (F) n’admet pas de solution.

Exercice 5 :

1) Pour G = 12, l’algorithme affiche successivement 1 et 12 puis 2 et 6 et enfin 3 et 4. Il s’arrête car ensuite, H = 4 > √12 .

2) Cet algorithme donne la liste de diviseurs positifs de l’entier A choisi par l’utilisateur.

3) La 5^ème ligne de l’algorithme signifie que si _L^K est un entier, c’est-à-dire si H divise G, alors l’algorithme affiche deux diviseurs de G à savoir H et ^K_L.