Théorème de Bézout Théorème de Gauss

(1)

TS spécialité : PGCD - Théorème de Bézout - Théorème de Gauss page 1

PGCD

Théorème de Bézout Théorème de Gauss

I. PGCD de deux entiers

Exercices n^o1 - 2 p 78 - 79

(A) Définition et propriété de réduction Remarques

4

Les diviseurs communs à 0 et a sont les diviseurs de a, pour tout entier a.

4

Les diviseurs communs à 1 et a sont −1 et 1.

Propriété 1 et définition

Si a et b sont des entiers relatifs non tous les deux nuls.

L’ensemble des diviseurs communs à a et b admet un plus grand élément.

On appelle Plus Grand Commun Diviseur de a et b et on le note PGC D (a; b).

Démonstration

Supposons par exemplea6=0. L’ensemble des diviseurs communs deaetbest non vide car il contient−1 et 1 et il est fini car il ne contient que des entiers compris entre−aeta. Donc il admet un plus grand élément qui est le plus grand des diviseurs communs àaetb.

(On admet que« Toute partie finie non vide deZadmet un plus grand élément ».)

Exemple

Les diviseurs de 12 sont 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 12 et leurs opposés. Ceux de−9 sont 1 ; 3 ; 9 et leurs opposés. DoncPGC D(12;−9)=3.

Propriété 2

Soit D(a; b) l’ensemble des diviseurs communs à deux entiers relatifs a et b.

Alors D(a; b) = D(a − b; b) = D(a − kb ; b) pour tout k ∈ Z.

Démonstration

Siddiviseaetbalorsddiviseaeta−kbpour toutk∈Z, doncddivisea−kbetb.

Siddivisea−kbetbalorsddivisea−kb+kb=aetb, doncddiviseaetb.

Par suite,D(a;b)=D(a−kb;b) pour toutk∈Z. Pourk=1,D(a;b)=D(a−b;b).

Propriété 3 : Réduction du PGCD

Si a et b sont des entiers relatifs non tous les deux nuls.

4

PGC D (a; b) = PGC D (a − b; b) = PGC D (a − kb ; b) pour tout k ∈ Z.

4

Si 0 < b ≤ a, PGC D(a; b) = PGC D(r ; b) où r est le reste dans la division euclidienne de a par b.

4

Si b est un diviseur positif de a, PGC D(a; b) = b.

Démonstration

4Conséquence de la première propriété.

4^{Si 0}<b≤a, on applique l’égalité précédente aveck=q, quotient dans la division deaparb.

4^Si^b^divise^a,^r=0, doncPGC D(a;b)=PGC D(0;b)=b.

Exercices n^o1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 6 - 7 - 8 - 9 - 10 - 11 - 12 - 13 p 101

1

(2)

TS spécialité : PGCD - Théorème de Bézout - Théorème de Gauss page 2

(B) Algorithme d’Euclide Propriété 4

Soit a et b deux entiers tels que 0 < b ≤ a .

L’algorithme suivant, appelé algorithme d’Euclide, permet de calculer, en un nombre fini d’étapes, le PGC D (a; b ) :

Calculer le reste r dans la division euclidienne de a par b.

Tant que r 6= 0, remplacer a par b et b par r . FinTantQue PGC D (a; b) = b

Remarque

Quand b ne divise pas a, on dit que PGC D (a; b) est « le dernier reste non nul » de l’algorithme d’Euclide.

Démonstration

Écrivons les divisions euclidiennes successives : DéterminonsPGC D(a;b) a=bq0+r0avec 0≤r0<b. Sir0=0, on s’arrête à cette étape. Sir0=0,PGC D(a;b)=bcarb|a Sir06=0, on remplaceaetbparbetr0:b=r0q1+r1avec 0≤r1<r0 Sir06=0,PGC D(a;b)=PGC D(r1;r0) Sir₁6=0, on remplacebetr₀parr₀etr₁:r₀=r₁q₂+r₂avec 0≤r₂<r₁ =PGC D(r₂;r₁) Sir26=0, on remplacer0etr1parr1etr2:r1=r2q3+r3avec0≤r3<r2 . . .

On construit ainsi une liste strictement décroissanter0,r1,r2, . . . d’entiers =PGC D(r_k;r_k−1) positifs. Or il n’y a qu’un nombre fini d’entiers entrer₀et 0. =PGC D(r_k₊₁;r_k₋₁) Donc cette liste est finie : c’est-à-dire qu’il existe un reste nul. =r_kcarr_k+1=0 Il existe donck≥0 tel quer_k6=0 etr_k+1=0. Commer_k+1=0, l’algorithme r_kest le dernier reste non nul.

s’arrête. Il comporte bien un nombre fini d’étapes.

Propriété 5

Soit a et b deux entiers relatifs non tous les deux nuls.

Les diviseurs communs à a et b sont les diviseurs de leur PGCD.

Démonstration

Deux nombres entiers ayant les mêmes diviseurs, on peut supposer 0<b≤a.

Sib=0,D(a;b)=D(a) etPGC D(a;b)=adonc la propriété est vérifiée.

Sibdivisea,D(a;b)=D(b) avecb=PGC D(a;b) donc la propriété est aussi vérifiée.

Sib6=0 etbne divise pasa, avec les notations de la démonstration de l’algorithme d’Euclide, par la propriété 2 : D(a;b)=D(r₀;b)=D(r₀;r₁)= · · · =D(r_k₋₁;r_k)=D(r_k) oùr_k=PGC D(a;b).

Exercices n^o14 - 15 - 16 - 17 - 18 - 19 p 102

(C) Autres propriétés du PGCD de deux entiers Propriété 6 : Homogénéité

Soit a et b deux entiers relatifs non tous les deux nuls.

Pour tout λ ∈ N∗, PGC D (λa; λb ) = λ × PGC D (a; b).

Démonstration

Siaoubest nul, ou siadiviseb, le résultat est évident.

Sinon, on suppose0<b<a. La recherche duPGC D(λa;λb) à l’aide de l’algorithme d’Euclide conduit à écrire des égalités obtenues en multipliant parλles deux membres des égalités écrites lors de la rechercher dePGC D(a;b).

Pour le dernier reste non nul, on aura doncPGC D(λa;λb)=λPGC D(a;b).

Exemple

PGC D(150; 100)=50×PGC D(3; 2)=50×1=50

2

(3)

TS spécialité : PGCD - Théorème de Bézout - Théorème de Gauss page 3

Propriété caractéristique 7

Soit a et b deux entiers relatifs non tous les deux nuls et d un entier naturel.

d = PGC D (a; b) si et seulement si a = d a

⁰

et b = d b

⁰

avec a

⁰

et b

⁰

entiers premiers entre eux.

Démonstration

Sid=PGC D(a;b), il existea⁰etb⁰entiers tels quea=d a⁰etb=d b⁰. AlorsPGC D(a;b)=PGC D(d a⁰;d b⁰) donc par homogénéité, sachant qued est un entier naturel non nul,PGC D(a;b)=d×PGC D(a⁰;b⁰).

CommePGC D(a;b)=d, on en déduit quePGC D(a⁰;b⁰)=1 c’est-à-dire quea⁰etb⁰sont premiers entre eux.

Réciproquement, sia=d a⁰etb=d b⁰aveca⁰etb⁰premiers entre eux etdentier naturel, alorsd6=0 caraetbsont non nuls tous les deux, donc par homogénéité,PGC D(a;b)=d×PGC D(a⁰;b⁰)=d×1=d.

Exemple

90=9×10 et 40=4×10 avec 9 et 4 premiers entre eux. DoncPGC D(90; 40)=10.

Remarque

Une fraction est irréductible si son numérateur et son dénominateur sont premiers entre eux.

Si a et b sont des entiers non nuls, on peut écrire a

b sous forme irréductible a

⁰

b

⁰

en divisant a et b par PGC D (a;b).

Propriété 8

Soit a et b deux entiers supérieurs ou égaux à 2.

S’ils n’ont pas de facteur premier en commun, PGC D (a; b ) = 1.

Sinon, PGC D (a; b) est égal au produit des facteurs premiers communs aux deux nombres, cha- cun étant affecté du plus petit exposant avec lequel il figure dans leurs deux décompositions.

Démonstration Voir exercice 98 p 110

Exemple

1008=2⁴×3²×7 et 540=2²×3³×5 doncPGC D(1008; 540)=2²×3²=36.

Exercices n^o20 - 21 - 22 - 23 - 24 - 25 - 26 - 27 - 28 - 29 p 102 - 103

II. Théorème de Bézout et théorème de Gauss Propriété 9

Soit a et b deux entiers relatifs non tous les deux nuls et d = PGC D (a; b) 1. Il existe u et v entiers relatifs tels que au + bv = d.

2. L’ensemble des entiers au + bv (u, v entiers relatifs) est l’ensemble des multiples de d .

Démonstration

1. En utilisant les notations de la démonstration de l’algorithme d’Euclide :

Dea=bq0+r0on obtientr0=a−bq0=au0+bv0avecu0=1 etv0= −q0qui sont des entiers.

Deb=r0q1+r1on obtientr1=b−r0q1=b−(au0+bv0)q1=au1+bv1avecu1= −u0q1etv1=1−v0q1entiers.

Pas à pas, on exprime chaque reste comme combinaison linéaire entière deaet debjusqu’àr_kc’est-à-dired.

2. Soitn=au+bvavecuetventiers relatifs. Commeddiviseaetb, d diviseau+bvdoncnest un multiple ded. Toute combinaison linéaire entière deaetbest multiple ded.

Réciproquement, sinest multiple ded, il existe un entierktel quen=kd.

Or il existeuetventiers tels qued=au+bvdoncn=kau+kbv=u⁰a+v⁰bavecu⁰=kuetv⁰=kventiers.

Tout multiple dedest une combinaison linéaire entière deaetb.

3

(4)

TS spécialité : PGCD - Théorème de Bézout - Théorème de Gauss page 4

Théorème de Bézout 1

Deux entiers relatifs a et b sont premiers entre eux si et seulement si il existe deux entiers relatifs u et v tels que au + bv = 1.

Démonstration

Siaetbsont premiers entre eux,d=1, donc il existeuetvtels queau+bv=1.

Réciproquement, s’il existeuetvtels queau+bv=1, un diviseur commun àaetbdiviseau+bvdonc 1. Par conséquent,d=1 oud= −1 doncaetb sont premiers entre eux.

Exemples

4a=4 etb= −9 sont premiers entre eux car on a 4×2+(−9)×1=1 ou 4×7+(−9)×3=1.

4Deux entiers consécutifs sont toujours premiers entre eux. En effet, pour tout entiern,n×(−1)+(n+1)×1=1.

Théorème de Gauss 2

Soit a, b, c des entiers non nuls.

Si a divise bc et si a est premier avec b alors a divise c .

Démonstration

adivisebcdonc il existe un entierktel quebc=ka.

Oraetbétant premiers entre eux, il existeuetventiers tels queau+bv=1.

On a alorsauc+bvc=csoitauc+akv=cdonca(uc+kv)=cavecuc+kventier. Doncadivisec.

Remarque

L’hypothèse a premier avec b est importante.

Par exemple, si a = 12 = 2

²

× 3, b = 6 = 2 × 3, c = 10 = 2 × 5 alors a divise bc mais a ne divise ni b ni c.

Conséquences

4

Si deux entiers a et b sont premiers entre eux divisent un entier c alors ab divise c.

4

Si un nombre premier p divise un produit ab, alors p divise a ou p divise b.

4

Si un nombre premier p divise un produit de nombres premiers, alors p est égal à l’un des deux.

4

Si un entier est premier avec certains entiers, il est premier avec leur produit.

Exercices n^o30 - 31 - 32 - 33 - 34 - 36 - 37 - 38 p 103

Exercices n^o39 - 40 - 41 - 42 - 43 - 44 - 45 - 46 - 47 - 48 - 49 - 50 p 103 - 104

Exercices n^o51 - 52 - 53 - 54 - 55 - 56 - 57 p 104 - 105

Approfondissement n^o83 - 84 - 85 - 86 - 89 - 90 - 91 - 92 - 93 - 94 - 95 - 98 - 99 - 100 - 101 - 102 - 103 p 108 - 111

Problèmes n^o104 - 105 - 106 - 107 - 108 - 109 p 112 - 113 Algorithmes pages 90 - 91