E650 Le serpentin
Une grille carrée de côté n contient tous les entiers de 1 à n2 qui sont échelonnés le long d’un unique serpentin de telle sorte que deux entiers consécutifs sont adjacents le long d’une ligne ou d’une colonne.
Exprimer en fonction de n la valeur minimale et la valeur maximale de la somme des entiers inscrits le long d’une grande diagonale.
Application numérique : n = 2009 et n = 2010 Solution proposée par Antoine Vanney
Pour trouver le minimum, le principe est de commencer par couvrir la grande diagonale (un nombre sur 2 en fait partie) en laissant un passage (une case extrême de la diagonale) puis de couvrir l’une des deux partie complètement et de passer dans l’autre partie (à couvrir
complètement également) par le passage laissé. Pour couvrir complètement chaque partie, on couvre la diagonale selon la méthode indiquée sur les exemples ci-dessous.
On ne peut pas faire moins : on a forcément un saut de 2 entre 2 nombres consécutifs de la diagonale et le nombre du passage nécessite d’avoir couvert une partie complète. On peut se poser des questions sur les nombres qu’on a dû mettre dans l’autre partie en construisant la diagonale. Mais ils sont indispensables pour couvrir entièrement une partie (ils permettent un
« retour »).
23 22 21 20 19 18 31 32 33 34 39 40 49 24 1 2 15 16 17 30 1 2 35 38 41 48 25 26 3 14 13 12 29 28 3 36 37 42 47 28 27 4 5 6 11 26 27 4 5 6 43 46 29 30 31 32 7 10 25 24 23 22 7 44 45 36 35 34 33 8 9 18 19 20 21 8 9 10 17 16 15 14 13 12 11
Ainsi la somme minimum est :
Smin = 1 à n-1(2k-1)+ 1 à n(k)+E((n-1)/2) = (n-1)2+n(n+1)/2+E((n-1)/2)
La somme maximum est obtenue en faisant le même parcours mais en commençant par le plus grand nombre :
Smax = n(n2+1)-Smin
Pour n = 2009, Smin= 6.050.104 et Smax= 8.102.438.634 Pour n = 2010, Smin= 6.056.130 et Smax= 8.114.546.880
