E650. Le serpentin
Une grille carrée de côté n contient tous les entiers de 1 à n
2qui sont échelonnés le long d’un unique serpentin de telle sorte que deux entiers consécutifs sont adjacents le long d’une ligne ou d’une colonne.
Exprimer en fonction de n la valeur minimale et la valeur maximale de la somme des entiers inscrits le long d’une grande diagonale.
Application numérique : n = 2009 et n = 2010
A. ݊ impair, somme mini
݊ = 9 = 4݇ + 1 ݊ = 11 = 4݇ − 1
ݔ 1
2 3 4
5 6
7
8 9
10 11 12
13 14
15 ݔ
1
2 3 4
5 6
7
8 9
10 11 12 13 14
15 16 17
18 19
On part de la case (2,2), et on reproduit le pavage de 8 cases suivant (le dernier étant incomplet) : 1
2 3 4
5 6
7 8
On retourne aisément vers la case (1,1), en faisant attention à ne pas bloquer sur les séquences de 3 nombres (parcours rouge), et on finit le serpentin de façon analogue (parcours bleu).
Il ne reste plus qu'à compter tout ça.
݊ − 1 cases de la diagonale sont remplies par les ݊ − 1 premiers nombres impairs (de 1 à 2݊ − 3) dont la somme est ሺ݊ − 1ሻଶ Il y a ݊ cases sur la diagonale, donc ଵ
ଶሺ݊ଶ− ݊ሻ cases sont strictement situées de chaque coté de la diagonale.
Il y a ݊ − 2 nombres pairs inscrits dans la grille, dont ିଷ
ଶ d'un coté de la diagonale, et ିଵ
ଶ de l'autre. On remonte vers (1,1) toujours par le coté qui contient le moins de nombres pairs, soit ିଷ
ଶ . On parcourt ଵ
ଶሺ݊ଶ− ݊ሻ −ଵଶሺ݊ − 3ሻ cases pour arriver à la case (1,1).
Donc :
ݔ = ሾ2݊ − 3ሿ + 1
2 ሺ݊ଶ− ݊ሻ −1
2 ሺ݊ − 3ሻ൨ + 1 =݊ଶ+ 2݊ − 1 2 Et la somme des nombres inscrits sur la diagonale vaut :
ݏ = ሺ݊ − 1ሻଶ+݊ଶ+ 2݊ − 1=3݊ଶ− 2݊ + 1
B. ݊ impair, somme maxi
݊ = 9 = 4݇ + 1 ݊ = 11 = 4݇ − 1
ݔ 81
80 79 78
77 76 75 74 73
72 71 70
69 68 67
ݔ 121
120 119 118 117 116
115 114 113
112 111 110 109 108
107 106 105
104 103
On remplit comme dans A)
݊ − 1 cases de la diagonale sont remplies par ݊ − 1 nombres impairs (à partir de ݊ଶen décroissant) dont la somme est ܵଶ. Soit ܵଵ la somme des ݊ − 1 premiers nombres impairs (à partir de 1 en croissant) : ܵଵ= ሺ݊ − 1ሻଶ
1 2 3 4 … ݊ − 1
ܵଵ 1 3 5 7 … 2݊ − 3
ܵଶ ݊ଶ ݊ଶ− 2 ݊ଶ− 4 ݊ଶ− 6 … ݊ଶ− 2ሺ݊ − 2ሻ
ܵଵ+ ܵଶ ݊ଶ+ 1 ݊ଶ+ 1 ݊ଶ+ 1 ݊ଶ+ 1 … ݊ଶ+ 1
ܵଵ+ ܵଶ= ሺ݊ − 1ሻሺ݊ଶ+ 1ሻ
ܵଶ= ሺ݊ − 1ሻሺ݊ଶ+ 1ሻ − ሺ݊ − 1ሻଶ= ݊ଷ− 2݊ଶ+ 3݊ − 2 Il y a ݊ cases sur la diagonale, donc ଵ
ଶሺ݊ଶ− ݊ሻ cases sont strictement situées de chaque coté de la diagonale.
Il y a ݊ − 2 nombres pairs inscrits dans la grille, dont ିଷ
ଶ d'un coté de la diagonale, et ିଵ
ଶ de l'autre. On remonte vers (1,1) toujours par le coté qui contient le moins de nombres pairs, soit ିଷ
ଶ . On parcourt ଵ
ଶሺ݊ଶ− ݊ሻ −ଵଶሺ݊ − 3ሻ cases pour arriver à la case (1,1).
Donc :
ݔ = ሾ݊ଶ− 2ሺ݊ − 2ሻሿ − 1
2 ሺ݊ଶ− ݊ሻ −1
2 ሺ݊ − 3ሻ൨ − 1 =݊ଶ− 2݊ + 3 2 Et la somme des nombres inscrits sur la diagonale vaut :
ܵ = ݊ଷ− 2݊ଶ+ 3݊ − 2 +݊ଶ− 2݊ + 3
2 =2݊ଷ− 3݊ଶ+ 4݊ − 1 2
C. ݊ pair, somme mini
݊ = 8 ݊ = 10
ݔ 1
2 3 4
5 6
7
8 9
10 11 12
13
ݔ 1
2 3 4
5 6
7
8 9
10 11 12 13 14
15 16 17
On remplit comme dans A)
݊ − 1 cases de la diagonale sont remplies par les ݊ − 1 premiers nombres impairs (de 1 à 2݊ − 3) dont la somme est ሺ݊ − 1ሻଶ Il y a ݊ cases sur la diagonale, donc ଵ
ଶሺ݊ଶ− ݊ሻ cases sont strictement situées de chaque coté de la diagonale.
Il y a ݊ − 2 nombres pairs inscrits dans la grille, et ିଶ
ଶ de chaque coté de la diagonale.
En remontant vers (1,1) , on parcourt ଵଶሺ݊ଶ− ݊ሻ −ଵଶሺ݊ − 2ሻ cases pour arriver à la case (1,1).
Donc :
ݔ = ሾ2݊ − 3ሿ + 1
2 ሺ݊ଶ− ݊ሻ −1
2 ሺ݊ − 2ሻ൨ + 1 =݊ଶ+ 2݊ − 2 2 Et la somme des nombres inscrits sur la diagonale vaut :
ݏ = ሺ݊ − 1ሻଶ+݊ଶ+ 2݊ − 2
2 =3݊ଶ− 2݊
2
D. ݊ impair, somme maxi
݊ = 8 ݊ = 10
ݔ 64
63 62 61
60 59
58
57 56
55 54 53
52 ݔ
100
99 98 97 96 95
94 93 92
91 90 89 88 87
86 85 84
On remplit comme dans A)
݊ − 1 cases de la diagonale sont remplies par ݊ − 1 nombres pairs (à partir de ݊ଶen décroissant) dont la somme est ܵଷ.
ܵଷ= ݊ଶ+ ሺ݊ଶ− 2ሻ + ሺ݊ଶ− 4ሻ + ⋯ + ሾ݊ଶ− 2ሺ݊ − 2ሻሿ = ݊ଶሺ݊ − 1ሻ − 2 − 4 − ⋯ − 2ሺ݊ − 2ሻ
ܵଷ= ݊ଶሺ݊ − 1ሻ − 2ሾ1 + 2 + ⋯ ሺ݊ − 2ሻሿ = ݊ଶሺ݊ − 1ሻ − ሺ݊ − 2ሻሺ݊ − 1ሻ = ݊ଷ− 2݊ଶ+ 3݊ − 2 Il y a ݊ cases sur la diagonale, donc ଵ
ଶሺ݊ଶ− ݊ሻ cases sont strictement situées de chaque coté de la diagonale.
Il y a ݊ − 2 nombres impairs inscrits dans la grille, et ିଶ
ଶ de chaque coté de la diagonale.
En remontant vers (1,1) , on parcourt ଵ
ଶሺ݊ଶ− ݊ሻ −ଵଶሺ݊ − 2ሻ cases pour arriver à la case (1,1).
Donc :
ݔ = ሾ݊ଶ− 2ሺ݊ − 2ሻሿ − 1
2 ሺ݊ଶ− ݊ሻ −1
2 ሺ݊ − 2ሻ൨ − 1 =݊ଶ− 2݊ + 4 2 Et la somme des nombres inscrits sur la diagonale vaut :
ܵ = ݊ଷ− 2݊ଶ+ 3݊ − 2 +݊ଶ− 2݊ + 4
2 =2݊ଷ− 3݊ଶ+ 4݊
2
En résumé :
݊ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 … 2009 2010
݊ impair ܵ
3݊ଶ− 2݊ + 12
1 11 33 67 113 171 …
6 052 113
ܵ
௫ 2݊ଷ− 3݊ଶ+ 4݊ − 12
1 19 97 283 625 1 171 …
8 102 436 625
݊ pair ܵ
3݊ଶ− 2݊2
4 20 48 88 140 …
6 058 140
ܵ
௫ 2݊ଷ− 3݊ଶ+ 4݊2
