A365. Les nombres prodigieux
Un nombre est appelé prodigieux s'il est divisible par le produit de ses chiffres non nuls écrits en base 10.
Par exemple l'entier 2016 est prodigieux car il est divisible par le produit des ses chiffres non nuls égal à 12.
Q1 Trouver le plus petit entier prodigieux supérieur à 2016 qui ne contient aucun chiffre 0. (*) Q2 Trouver quatre entiers consécutifs prodigieux > 10.(**)
Q3 Déterminer la longueur maximale d'une suite d'entiers consécutifs prodigieux. (****). Donner un exemple d'une telle suite.
Solution proposée par Thérèse Eveilleau D'emblée je considère que 0 n'est pas prodigieux,
Question Q1
Le plus petit supérieur à 2016 est 2112 qui est divisible par 4,
Question Q2 : quatre entiers consécutifs prodigieux Avant d'en déterminer quatre, cherchons-en deux puis trois.
Deux entiers prodigieux consécutifs : 1 et 2
ou bien 11 et 12 ou bien 111 et 112 etc.
Trois entiers prodigieux consécutifs : 1 puis 2 et 3
ou bien
1 111 puis 1 112 et enfin 1 113 ou bien
1 111 111 puis 1 111 112 puis 1 111 113 Quatre entiers consécutifs prodigieux
inférieurs à 10 : 1 ; 2; 3; 4 ou bien 2, 3, 4 et 5 ou bien 3, 4, 5 et 6 ou bien 4, 5, 6 et 7
ou bien 5, 6, 7 et 8 et enfin
6,7,8 et 9.
Quatre entiers consécutifs prodigieux > 10 1110 ; 1111 ; 1112 ; 1113.
Notons qu'on est obligé de placer un 0 au moins dans les nombres trouvés.
Question Q3 : plus longue suite d'entiers prodigieux consécutifs ?
5 entiers prodigieux consécutifs :
1, 2, 3, 4, 5 OU 11100 ; 11101 ; 11102 ; 11130 ; 11104.
6 entiers prodigieux consécutifs :
1, 2, 3, 4, 5, 6 OU 11100 ; 11101 ; 11102 ; 11103 ; 11104 ; 11105.
7 entiers prodigieux consécutifs :
1, 2, 3, 4, 5, 6 , 7 OU 11100 ; 11101 ; 11102 ; 11103 ; 11104 ; 11105 ; 11106.
8 entiers prodigieux consécutifs : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 OU
1010100 ; 1010101 ; 1010102 ; 1010103 ; 1010104 ; 1010105 ; 1010106 ; 1010107.
9 entiers prodigieux consécutifs : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 OU
10101000 ; 10101001 ; 10101002 ; 10101003 ; 10101004 ; 10101005 ; 10101006 ; 10101007 ; 10101008.
10 entiers prodigieux consécutifs : 1 ,2 ,3 ,4 ,5 ,6 , 7 , 8 , 9 , 10 OU
1111011111000 ; 1111011111001 ; 1111011111002 ;
1111011111003 ;1111011111004 ;1111011111005 ;1111011111006 ;1111011111007 ;1111011111008 ;1111011111009.
11 entiers prodigieux consécutifs : 1 ,2 ,3 ,4 ,5 ,6 ,7 ,8 ,9 ,10 ,11 OU
1111011111000 ; 1111011111001 ; 1111011111002 ;
1111011111003 ;1111011111004 ;1111011111005 ;1111011111006 ;1111011111007 ;1111011111008 ;1111011111009 ; 1111011111010.
12 entiers prodigieux consécutifs : 1 ,2 ,3 ,4 ,5 ,6 ,7 ,8 ,9 ,10 ,11 ,12 OU
1111011111000 ; 1111011111001 ; 1111011111002 ;
1111011111003 ;1111011111004 ;1111011111005 ;1111011111006 ;1111011111007 ;1111011111008 ;1111011111009 ; 1111011111010 ; 1111011111011.
13 entiers prodigieux consécutifs :
1111011111000 ; 1111011111001 ; 1111011111002 ;
1111011111003 ;1111011111004 ;1111011111005 ;1111011111006 ;1111011111007 ;1111011111008
;1111011111009 ; 1111011111010 ; 1111011111011 ; 1111011111012.
Notons que la suite des premiers nombres
1 ,2 ,3 ,4 ,5 ,6 , 7 , 8 , 9 , 10 , 11 , 12 , 13 ne fonctionne pas car 13 n'est pas multiple de 3,
On ne peut pas trouver quatorze nombres prodigieux consécutifs.
DEMONSTRATION
On aura forcément deux multiples de 3 décalés de 10 dans la liste des 14 nombres consécutifs et donc impossibilité d'avoir une suite correcte de 13 nombres prodigieux.
Nommons les nombres consécutifs du plus petit au plus grand n0, n2, n3 jusqu'à n13.
Les différentes possibilités pour les chiffres des unités sont successivement :
soit 0, 1, 2 ,3 , 4 ,5 ,6 ,7 ,8 ,9 ,0 ,1 ,2 ,3 n3 et n13 ont le même chiffre des unités : 3.
Si n3 est divisible par 3, alors n13 ne peut pas l'être car on aurait n3 = 3k (k entier) et n13 = n3 +10 = 3k +9 + 1= 3(k+3) +1
n13 est congru à 1 modulo 3 et il y a incompatibilité. → IMPOSSIBLE
Soit 1, 2 ,3 , 4 ,5 ,6 ,7 ,8 ,9 ,0 ,1 ,2 ,3, 4
Même raisonnement entre n2 et n12=n2+10. → IMPOSSIBLE
Soit 2, 3 , 4 ,5 ,6 ,7 ,8 ,9 ,0 ,1 ,2 ,3, 4, 5
Même raisonnement entre n1 et n11=n1+10. → IMPOSSIBLE
Soit 3, 4 ,5 ,6 ,7 ,8 ,9 ,0 ,1 ,2 ,3, 4, 5, 6
Ici n3 se termine par 6 et est donc multiple de 6 : n2 = 6k (k entier) et n13= n3 +10 = 6k +10 = 6(k+1) + 4
n13 est congru à 4 modulo 6.
Alors n13 ne pourra être multiple de 6. → IMPOSSIBLE.
Soit 4, 5 ,6 ,7 ,8 ,9 ,0 ,1 ,2 ,3, 4, 5, 6, 7
Même raisonnement entre n2 et n12=n2+10. → IMPOSSIBLE
Soit 5, 6 ,7 ,8 ,9 ,0 ,1 ,2 ,3, 4, 5, 6, 7, 8
Même raisonnement entre n1 et n11=n1+10. → IMPOSSIBLE
Soit 6, 7 ,8 ,9 ,0 ,1 ,2 ,3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
Ici n3 se termine par 9 et est donc multiple de 9 : n3 = 9k (k entier) et n13= n3 +10 = 9k +10 = 9(k+1) + 1
n13 est congru à 1 modulo 9 .
Alors n13 ne pourra être multiple de 9. → IMPOSSIBLE
Soit 7, 8 ,9 ,0 ,1 ,2 ,3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0
Même raisonnement que précédemment entre n2 et n12. → IMPOSSIBLE
Soit 8, 9 ,0 ,1 ,2 ,3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0, 1
Même raisonnement que précédemment entre n1 et n11. → IMPOSSIBLE
Soit 9, 0 ,1 ,2 ,3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0, 1, 2
n0 se termine par 9 et doit être un multiple de 9 et donc de 3 n4 se termine par 3 et doit donc être multiple de 3 mais n3 = n0 +4 = 3k + 3 + 1 = 3k' +1
n3 est congru à 1 modulo 3 et ne peut être multiple de 3. → IMPOSSIBLE
Nous avons fait le tour de tous les cas possibles quant aux possibilités des chiffres des unités d'une suite de 14 nombres. Chaque cas mène à une impossibilité.
La plus grande suite de nombres prodigieux ne peut contenir que 13 nombres.
