A365 ‒ Les nombres prodigieux
Un nombre est appelé prodigieux s'il est divisible par le produit de ses chiffres non nuls écrits en base 10.
Par exemple l'entier 2016 est prodigieux car il est divisible par le produit de ses chiffres non nuls égal à 12.
Q₁ Trouver le plus petit entier prodigieux supérieur à 2016 qui ne contient aucun chiffre 0. (*) Q₂ Trouver quatre entiers consécutifs prodigieux >10.(**)
Q₃ Déterminer la longueur maximale d'une suite d'entiers consécutifs prodigieux. (****). Donner un exemple d'une telle suite.
Solution par Patrick Gordon Q1
Si ce nombre ne contient aucun chiffre 0, il est ≥ 2111. Or 2112 répond à la question.
Q2
Toute suite d'entiers consécutifs prodigieux doit être de la forme suivante, [A] ou [A+1] ou [A+2], etc. étant un radical et k un chiffre :
[A]k, [A](k+1)… [A]9, [A+1]0, [A+1]1…
Soit P le produit des chiffres de A et deux nombres [A]k, [A](k+1) consécutifs1. Pour qu'ils soient tous deux prodigieux, il faut que :
[A]k soit divisible par Pk
[A](k+1) soit divisible par P(k+1).
Les deux doivent donc être divisibles par P. Or leur différence est 1. C'est impossible, sauf si P=1. Donc, A doit n'être formé que de 1 et de 0 et être ≠ 0.
On notera que [A]0, [A]1 et [A]2 sont prodigieux quel que soit A ≠ 0 formé de 1 et de 0.
Par ailleurs 1113 est prodigieux et 1114 ne l'est pas mais 11104 l'est.
Enfin, si [A]k est prodigieux, comme P = 1, cela veut dire que A est divisible par k, donc [A0]k l'est aussi, ainsi que [A00]k, etc.
Une suite de quatre entiers consécutifs prodigieux >10 est donc :
1 idem avec [A+1]n et [A+1](n+1), etc.
11101, 11102, 11103, 11104.
Q3
On peut poursuivre au-delà de k (dernier chiffre) = 4, avec toujours A ≠ 0 formé de 1 et de 0.
Avec k = 5, le nombre est toujours prodigieux.
Avec k = 6, il l'est si A est formé de tranches 111 entrecoupées éventuellement de 0.
Avec k = 7, il l'est si A est formé de tranches 111 111 entrecoupées éventuellement de 0.
Avec k = 8, il l'est si A est terminé par deux 0.
Avec k = 9, il l'est si A formé de tranches 111 111 111 entrecoupées éventuellement de 0.
On peut donc déjà former une suite de 13 entiers consécutifs prodigieux :
nombre produit des
chiffres ≠ 0 quotient 111 111 111 000 1 111 111 111 000 111 111 111 001 1 111 111 111 001 111 111 111 002 2 55 555 555 501 111 111 111 003 3 37 037 037 001 111 111 111 004 4 27 777 777 751 111 111 111 005 5 22 222 222 201 111 111 111 006 6 18 518 518 501 111 111 111 007 7 15 873 015 858 111 111 111 008 8 13 888 888 876 111 111 111 009 9 12 345 679 001 111 111 111 010 1 111 111 111 010 111 111 111 011 1 111 111 111 011 111 111 111 012 2 55 555 555 506 Peut-on faire mieux?
Dans la séquence [A]20 à [A]29 (A étant toujours formé de 0 et de 1), le produit des chiffres est toujours pair, donc [A]21, [A]23, etc. sont exclus.
Dans la séquence [A]30 à [A]39, le produit des chiffres est toujours multiple de 3, donc il faudrait un nombre différent de "1" dans [A] pour [A]31 et [A]33, notamment, qui n'ont pas le même reste mod. 3.
Dans toutes les séquences [A]d0 à [A]d9 avec d pair, le problème est le même que pour d = 2.
Dans toutes les séquences [A]d0 à [A]d9 avec d impair > 1, le problème est le même que pour d
= 3.
Une suite de plus de 13 termes ne peut donc enjamber aucune autre séquence que [A]00 à [A]19.
Elle ne pourrait donc que prolonger la suite ci-dessus vers le haut ou vers le bas.
Vers le haut? Il faudrait un terme de la forme [A]13. Le produit des chiffres serait alors de 3 et il faudrait que A = 111…1 avec un nombre de 1 égal à 2 mod. 3. Or on a vu ci-dessus que [A]06 notamment exige que A = 111…1 avec un nombre de 1 multiple de 3. Ce n'est donc pas possible.
Vers le bas? Il faudrait un terme de la forme [A']99 et que son suivant soit de la forme [A]00. À l'évidence, [A] et [A'] ne peuvent pas être tous deux formés seulement de 0 et de 1.
