A365 ‒ Les nombres prodigieux
Un nombre est appelé prodigieux s'il est divisible par le produit de ses chiffres non nuls écrits en base 10.
Par exemple l'entier 2016 est prodigieux car il est divisible par le produit de ses chiffres non nuls égal à 12.
Q₁ Trouver le plus petit entier prodigieux supérieur à 2016 qui ne contient aucun chiffre 0. (*) Q₂ Trouver quatre entiers consécutifs prodigieux >10.(**)
Q₃ Déterminer la longueur maximale d'une suite d'entiers consécutifs prodigieux. (****). Donner un exemple d'une telle suite.
Solution par Daniel Collignon Q₁ 2112
Q₂ 1110, 1111, 1112, 1113
Q₃ 1000X + i avec i = 0 à 12 et X = (10¹⁸ ‒ 1)/9 = 1...(18)...1 illustrent une longueur maximale de 13 termes Considérons une suite d'au moins 13 entiers consécutifs prodigieux et notons N = 10D + u son plus petit terme.
Si un chiffre de D est 2, 4, 6 ou 8, alors u est pair et N = 0 (mod 2) => N+1 impair n'est pas prodigieux.
Donc tous les chiffres de D sont nuls ou impairs.
Avec un chiffre des dizaines d parmi 3, 5, 7 ou 9 : -si u ≠ 9, N = 0 (mod d) => N + 1 n'est pas prodigieux
-si u = 9, alors N + 1 possède un chiffre des dizaines pair, et d'après ce qui précède N + 2 n'est pas prodigieux Donc le chiffre des dizaines est 0 ou 1.
Avec un chiffre des centaines c parmi 3, 5, 7 ou 9 : -si u ≠ 9, N = 0 (mod c) => N + 1 n'est pas prodigieux -si u = 9
--si d = 1, alors N + 1 possède un chiffre des dizaines pair, et d'après ce qui précède N + 2 n'est pas prodigieux --si d = 0, alors N + 11 possède un chiffre des dizaines pair, et d'après ce qui précède N + 12 n'est pas
prodigieux
Donc le chiffre des centaines est 0 ou 1.
Le même raisonnement s'applique sur les autres chiffres de D qui ne peuvent être formés que des chiffres 0 ou 1.
Voir suite A055471
