Enoncé A354 (Diophante)
Ces entiers qui font de la résistance
Q1 Trouver le plus petit entier n1 divisible par d = 2014 tel qu’en sup- primant l’un de ses chiffres p non nul de sa représentation décimale, on obtient un nombre lui aussi divisible par d. Par exemple avec d = 2, on aurait n1 = 22.
Q2 Trouver le plus petit entiern2 divisible pard= 2014 qui contient deux chiffres p etq >0 dans sa représentation décimale, tels qu’en supprimant le chiffrepou le chiffreqou les deux chiffrespetqà la fois, on obtient trois nombres divisibles par d. Par exemple avec d= 2, on auraitn2 = 222.
Q3 Démontrer que pour tout couple d’entiers (d, k) fixé à l’avance, il existe au moins un entiern, appelé « résistant », multiple de d, tel qu’en suppri- mant dans un ordre quelconque 1 puis 2, puis 3, etc.,kchiffres non nuls de sa représentation décimale, on obtient à chaque fois des nombres toujours divisibles par d.
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin Question 1
J’écris [ApB] la concaténation de 3 nombres A, p, B;p a un chiffre,B en a b.
[ApB] et [AB] ont pour différence 10b(9A+p), qui doit être multiple de 2014 = 2·1007. 1007 étant premier avec 10 doit diviser 9A+p, 1008A+112p, A+ 112p,A−895p.
1007 divisant [AB] = 10bA+B divise 10b ·895p+B et B −10b·112p.
Pour la divisibilité par 2014, nombre pair, B doit être pair et 2014 divise B−10b·112p.
Essayant p= 1 à 9 et b = 1 à 3, on trouve que B n’a jamais moins de 3 chiffres ; la plus petite valeur de Acorrespond àp= 7, donnant le nombre n1 = 2237554 = 2014×1111.
Question 2
Si (9A+p)10b = [ApB]−[AB] est multiple de d, il en est de même de (9A+p)10b+1 = [AppB]−[ApB]. D’où le nombre 22377554 = 2014×11111, où l’on peut supprimer un ou deux chiffres 7. Peut-on faire mieux ? Soitn2 = [ApBqC], B ayant bchiffres et C ayant cchiffres.
Les raisonnements de la question 1 s’appliquent aux nombres [ABC], [ApBC] et [ABqC] : 1007 divise A−895p et A·10b +B −895q; 2014 diviseC−10c·112q etB·10c+C−10b+c·112p.
Il en résulte que, modulo 2007,A= 895p,B = 112(10bp−q),C = 10c·112q.
Et comme 9A+pest multiple de 2014, c’est aussi le cas de [ApBqC].
Mais les résultats de la question 1 montrent aussi que ni A ni C n’ont moins de 3 chiffres. Ainsi l’existence deB conduit à un nombre de plus de 8 chiffres. Si n2 = [ApqC], il faut p = q pour que [ApC] et [AqC] soient tous deux multiples de 2014.
La réponse serait différente si l’on demandait quep etq soient distincts.
Question 3
Aprèsk−1 puis ksuppressions de chiffres,nest devenu [ApB] puis [AB].
Comme dans la question 1, il s’agit de trouverptel queddivise (9A+p)10b. On considère d’abord e=P GCD(10b, d), d=ef,f doit diviser 9A+p; si 9 divisef,p= 9 et f /9 divise A+ 1. Sif est multiple de 3 et non de 9, p= 3, 6 ou 9 et f /3 divise 3A+p/3 ; si 3 ne divise pas f, soitg= inverse de 9 modulof,f diviseA+pg.
B est ensuite déterminé par la condition 10bA+B multiple de d.
Alorsn= [App . . . pB], le chiffrep étant répétékfois. Chaque suppression d’un chiffrep modifien d’un multiple de 9A+p, donc de d.
