A344 – Carrément brésiliens [*** à main]
Un entier naturel n est appelé « brésilien»* s’il existe un entier b, 1 < b < n – 1, tel que la représentation de n en base b est un nombre uniforme qui s’écrit avec des chiffres ou des symboles tous identiques. Par exemple 62 et 15 sont brésiliens parce que 62 est égal à 222 en base 5 et 15 est égal à 33 en base 4.
Q₁ : Prouver que l’entier 2014 est brésilien et trouver les deux entiers le plus proches de 2014 qui ne sont pas brésiliens.
Q₂ : Combien y a-t-il de nombres pairs ≤ 2014 qui sont brésiliens ? Q₃ : Trouver les deux plus petits nombres premiers qui sont brésiliens.
Q₄ : Combien y a-t-il de carrés parfaits impairs ≤ 2014 qui sont brésiliens ?
*En souvenir du 2ème problème de la 9ème « Olympiada Iberoamericana de Matematica » de Fortaleza en 1994.
Solution proposée par Jacques Guitonneau
Première remarque sur les nombres brésiliens. Tout nombre non premier à l’exception de 6 et non carré de nombres premiers est brésilien. En effet un tel nombre peut toujours s’écrire N = a*b avec b<a-1 et peut donc s’écrire sous forme bb en base a-1. Ce n’est pas le cas avec un nombre premier et un carré de nombre premier. Pour ceux-ci, il faut les tester
individuellement pour savoir s’ils sont brésiliens ou non.
Q1 : 2014 brésilien . En effet 2014=2*19*53, d’où la représentation possible de 2014=38*11 (base53) ou 2*11 (base1007). Une simple consultation de table des nombres premiers nous donne 2011 et 2017 comme premiers les plus proches et on vérifie aisément qu’ils ne sont pas brésiliens.
Q2 :Combien de nombres pairs <=2014 brésiliens. Il y a 1007 nombres pairs concernés.
Compte tenu de la remarque liminaire seuls les nombres 2, 4 et 6 ne sont pas brésiliens, donc 1004 nombres pairs le sont.
Q3 : quels sont les deux plus petits nombres premiers brésiliens . Un nombre pair brésilien s’écrit nécessairement comme une suite de 1, avec au minimum trois 1, soit 111, 1111, 11111,…et ainsi de suite. On voit tout de suite que 7 et 13 sont bien brésiliens ; 7= 111 (base2) et 13= 111 (base3). Par contre 11 ne l’est pas ainsi que 17, 19, 23, 29. Par contre 31 est brésilien de deux façons : 111 (base5) et 11111 (base2).
Q4 :Combien de carrés parfaits impairs brésiliens. Il y a 22 carrés impairs concernés, de 1 à 43. Les non brésiliens potentiels sont les carrés de nombres premiers à savoir : 1, 9 25, 49, 121, 169, 289, 361, 529,841, 961,1369, 1681,1849. A l’analyse seul 121 est brésilien soit 11111 (base3). Il n’y a donc que 22 – 14 + 1 = 9 carrés parfaits brésiliens < 2014.
