Nombres Premiers
D´ efinitions :
Un entier naturel n estpremiersi n¡1 et s’il a exactement deux diviseurs positifs 1 et n.
D´ecomposer un nombre entier en produit de facteurs premiers, c’est l’´ecrire sous la forme d’un produitde puissances de nombrespremiers distincts.
Exemples :
105 = 357.
3 5 7 est la d´ecomposition en produit de facteurs premiers du nombre 105.
99 = 911 = 32 11
600 = 8325 = 23 3 52
233 52est la d´ecomposition en produit de facteurs premiers de 600.
Les facteurs premiers sont 2, 3 et 5 affect´es des exposants 3, 1 et 2.
Exercice 1 - Comment reconnaˆıtre un nombre premier ? 1.Le nombre 97 est-il premier ?
2.Le nombre 259 est-il premier ?
Exercice 2 - Comment d´ecomposer un nombre entier en un produit de facteurs premiers ? D´ecomposer 2 520 en produits de facteurs premiers.
Exercice 3
D´eterminer si les nombres suivants sont premiers :
13 ; 18 ; 23 ; 27 ; 43 ; 89 ; 101 ; 197 ; 319 ; 405.
Exercice 4
Quel est le plus petit nombre non nul divisible par deux nombres premiers distincts ?
Exercice 5
R´epondre par vrai ou faux :
1.tous les nombres impairs sont premiers.
2.aucun nombre pair n’est premier.
3.la diff´erence entre deux nombres premiers est toujours deux.
4.il y a une infinit´e de nombres premiers.
Exercice 6
1.D´eterminer le nombre de nombres premiers inf´erieurs `a 100 se terminant par 2.
2.D´eterminer le nombre de nombres premiers inf´erieurs `a 100 se terminant par 3.
Exercice 7
D´ecomposer en produit de facteurs premiers.
18 ; 24 ; 30 ; 42 ; 49 ; 196 ; 252 ; 455 ; 546 ; 840.
Exercice 8
Simplifier les fractions suivantes en d´ecomposant le num´erateur et le d´enominateur en produit de facteurs premiers.
48
75; 180
126; 585
1275; 360
252; 32670
792 ; 17303 1859.
Exercice 9
Ecrire sous la formea
?
bles nombres suivants en d´ecomposant le radicande en produit de facteurs premiers.
?
54 ;
?
74 ;
?
845 ;
?
1000 ;
?
1044 ;
?
6125 ;
?
20825.
Correction
Exercice 1
Indication :
On effectue les divisions du nombre donn´e par les nombres premiers successifs, sans omission.
Si le reste est nul, le nombre n’est pas premier.
Si aucun des restes n’est nul, on continue jusqu’`a ce que le quotient devienne ´egal ou inf´erieur au diviseur. Le nombre donn´e est alors premier.
1.On effectue la division du nombre 97 par :
2 97 n’est pas divisible par 2 car son dernier chiffre 7 n’est pas pair.
3 97 n’est pas divisible par 3 car la somme de ses chiffres 9 + 7 = 16 n’est pas divisible par 3.
5 97 n’est pas divisible par 5 car son dernier chiffre 7 n’est ni 0, ni 5.
7 97 = 713 + 6. Le reste de la division de 97 par 7 n’est pas nul, donc 97 n’est pas divisible par 7.
11 97 = 118 + 9. Le reste de la division de 97 par 11 n’est pas nul, donc 97 n’est pas divisible par 11. Le quotient 8 est inf´erieur au diviseur 11.
On peut donc conclure : aucune des divisions de 97 par 2, 3, 5, 7 et 11 n’a un reste nul et le quotient de la derni`ere division est inf´erieur au diviseur premier. Le nombre 97 est donc premier.
Remarque : si 97 n’est pas divisible par 2, il ne le sera bien sˆur pas non plus par ses multiples 4, 6, 8, etc.
De mˆeme, 97, non divisible par 3, ne sera donc pas divisible par 9.
Remarque : on peut s’arrˆeter `a la division de 97 par 11. En effet, si, par exemple, 97 ´etait divisible par 13, on aurait : 97 = 13 d o`u d serait un entier inf´erieur `a 8. Donc d diviserait 97 et serait plus petit que 11, ce qui est impossible d’apr`es ce qui pr´ec`ede.
Remarque : pour la division par 2, 3, 5 ou 11, on utilise de pr´ef´erence les crit`eres de divisibilit´e.
2.On effectue la division du nombre 259 par :
2 259 n’est pas divisible par 2 car son dernier chiffre n’est pas pair.
3 259 n’est pas divisible par 3 car la somme de ses chiffres 2 + 5 + 9 = 16 n’est pas divisible par 3.
5 259 n’est pas divisible par 5 car son dernier chiffre 9 n’est ni 0, ni 5.
7 259 = 737. Le reste de la division de 259 par 7 est nul. 259 est divisible par 7.
Le nombre 259 n’est donc pas un nombre premier.
Exercice 2
Indication :
On divise le nombre donn´e par les nombres premiers successifs en ´ecrivant `a chaque fois le quotient obtenu sous le dividende.
On divise 2 520 par le plus petit nombre possible c’est-`a-dire 2.
2 5202 = 1 260.
Le diviseur 2 se note `a droite du trait, le quotient 1 260 sous 2 520.
Le plus petit diviseur premier de 1 260 est 2.
630 ´etant pair, son plus petit diviseur premier est 2.
630 2 = 315.
3 est le plus petit diviseur premier de 315.
315 3 = 105.
3 est le plus petit diviseur premier de 105.
105 3 = 35.
5 est le plus petit diviseur premier de 35.
355 = 7.
7 est premier, donc divisible par 7.
7 7 = 1.
Finalement,
2 520 = 2223357 2 520 = 23 32 5 7.
233257 est la d´ecomposition en produit de facteurs premiers de 2 520.
Remarque : on choisit les nombres premiers de pr´ef´erence dans l’ordre croissant pour ne pas en oublier.
Remarque : un nombre est divisible par 2 s’il se termine par un chiffre pair.
Remarque : un nombre est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est divisible par 3. La somme des chiffres de 315 est : 3 + 1 + 5 = 9. 9 est divisible par 3 donc 315 l’est aussi.
Remarque : un nombre est divisible par 5 s’il se termine par 0 ou par 5.
Exercice 3
13 est unnombre premiercar les seuls diviseurs de 13 sont 1 et 13 ;
18 ´etant divisible par 2 et par 3, alors ce n’estpas un nombre premier;
23 n’est pas divisible par 2, 3, 5. D’autre part dans la division de 23 par 5, le quotient 4 est inf´erieur au diviseur 5 donc 23 est unnombre premier;
27 ´etant divisible par 3, alors ce n’estpas un nombre premier;
43 n’est pas divisible par 2, 3, 5, 7 : 43 = 76 + 1, le quotient 6 est inf´erieur au diviseur 7, donc 43 est unnombre premier;
89 n’est pas divisible par 2, 3, 5, 7, 11. 89 = 118 + 1, le quotient de la division euclidienne de 89 par 11 est 8 ; il est inf´erieur au diviseur 11 donc 89 est unnombre premier;
101 n’est pas divisible par 2, 3, 5, 7, 11. Le quotient de la division de 101 par 11 est 9. 9 ´etant inf´erieur `a 11, le nombre 101 est unnombre premier;
197 n’est pas divisible par 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17. Le quotient de 197 par 17 est 11 ; 11 17, donc 197 est un nombre premier.
319 = 1129, donc 319 est divisible par 11 et n’estpas un nombre premier.
405 se termine par 5 donc est divisible par 5 et n’estpas un nombre premier.
Exercice 4
Soient p et q deux nombres premiers distincts. Cela signifie que les seuls diviseurs positifs de p sont 1 et p et les seuls diviseurs positifs de q sont 1 et q.
Par cons´equent, le plus petit nombre non nul divisible par deux nombres premiers distincts est leur produit pq.
Exercice 5
1.FAUX, tous les nombres impairs ne sont pas premiers. Par exemple : 9 est un nombre impair divisible par 3.
2.FAUX, 2 est pair et c’est un nombre premier.
3.FAUX, entre 7 et 11, il n’y a pas de nombre premier et 11 - 7 = 4 qui est diff´erent de 2.
4.VRAI.
Exercice 6
1.2 est le seul nombre premier inf´erieur `a 100 se terminant par 2 car les autres nombres se terminant par 2 seront des nombres pairs, ils seront donc au moins divisibles par 2.
2.Il y a 7 nombres premiers inf´erieurs `a 100 se terminant par 3 : 3, 13, 23, 43, 53, 73, 83.
23 n’est pas divisible par 2, 3, 5. D’autre part dans la division de 23 par 5, le quotient 4 est inf´erieur au diviseur 5 donc 23 est un nombre premier ;
43 n’est pas divisible par 2, 3, 5, 7 : 43 = 7 6 + 1, le quotient 6 est inf´erieur au diviseur 7, donc 43 est un nombre premier ;
53 n’est pas divisible par 2, 3, 5, 7, 11 : 53 = 114 + 9, le quotient 4 est inf´erieur au diviseur 11 donc 53 est un nombre premier ;
73 n’est pas divisible par 2, 3, 5, 7, 11 : 73 = 116 + 7, le quotient 6 est inf´erieur au diviseur 11 donc 73 est un nombre premier.
83 n’est pas divisible par 2, 3, 5, 7, 11 : 83 = 117 + 6, le quotient 7 est inf´erieur au diviseur 11 donc 83 est un nombre premier.
33 est divisible par 11 ; 63 est divisible par 3 ; 93 est divisible par 3.
Exercice 7
18 = 29 = 232 24 = 83 = 23 3 30 = 215 = 23 5 42 = 221 = 23 7 49 = 77 = 72
196 = 2 2 7 7 = 22 72 252 = 22327
455 = 5 7 13 546 = 2 3 7 13 840 = 233 5 7
Exercice 8
Pour 48
75 :
48 = 22223 = 243 et 75 = 35 5 = 352, donc : 48
75
243 352
24 52
16 25 Pour 180
126 :
180 = 2 2 3 3 5 = 22 32 5 et 126 = 2337 = 2327, donc : 180 10
585 1275
39 85 Pour 360
252 :
360 = 2 2 2 3 35 = 23 32 5 et 252 = 22 3 3 7 = 22327, donc : 360
252 10
7 Pour 32670
792 :
32670 = 2333 5 1111 = 2 33 5 112 et 792 = 22 2 3311 = 23 3211, donc :
32670
792
2335112 233211
3511
22
165 4 Pour 17303
1859 :
17303 = 11111113 = 113 13 et 1859 = 111313 = 11 132, donc : 17303
1859
11313 11132
112
13
121 13
Exercice 9 Pour
?
54 54 = 2333 = 233, donc :
?
543
?
6 Pour
?
74 74 = 237, donc l’´ecriture de
?
74 ne peut pas ˆetre am´elior´ee Pour
?
845 845 = 51313 = 5132 , donc :
?
84513
?
5 Pour
?
1000 1000 = 222555 = 23 53, donc :
?
100010
?
10 Pour
?
1044 1044 = 223329 = 22 32 29 , donc :
?
10446
?
29 Pour
?
6125 6125 = 55577 = 53 72 , donc :
?
612535
?
5 Pour
?
20825 20825 = 557717 = 52 72 17, donc :
?
2082535
?
17
