TS9 DS 2 12 novembre 2019 Dur´ee 60 minutes. Le bar`eme est donn´e `a titre indicatif.
Le manque de soin et de clart´e dans la r´edaction sera p´enalis´e.
Exercice 1 : Question de cours(10 minutes) (3 points)
1. Rappeler la d´efinition dea≡b[7].
2. On suppose de plus queb≡c[7], justifier que a≡c[7].
Solution:
1. a≡b[7] veut dire quea etbont le mˆeme reste dans la division euclidienne par 7.
2. a≡b[7] donc aetb ont le mˆeme reste r dans la division euclidienne par 7.
b≡c[7] doncb etc ont le mˆeme reste dans la division euclidienne par 7. Par unicit´e du reste de la division euclidienne debpar 7. Ce reste est r.
Doncaetc ont le mˆeme reste. On vient de d´emontrer quea≡c[7].
Exercice 2 : Exercice classique (10 minutes) (3 points)
1. D´eterminer le reste dans la division euclidienne de 56 par 7.
2. En d´eduire le reste dans la division euclidienne de 52019 par 7.
Solution:
1. 56 = 15625 = 2232×7 + 11 donc 56≡1[7]
2. 52019 = 52016+3= 56×336×53 donc 52019 ≡1×53[7]. 125 = 17∗7 + 6. Le reste est donc 6.
Exercice 3 : Probl`eme type bac (40 minutes) (14 points)
A toute lettre de l’alphabet on associe un nombre entier` x compris entre 0 et 25 comme indiqu´e dans le tableau ci-dessous :
Lettre A B C D E F G H I J K L M
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Lettre N O P Q R S T U V W X Y Z
x 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
Le chiffre de RABIN est un dispositif de cryptage asym´etrique invent´e en 1979 par l’informaticien Michael Rabin.
Alice veut communiquer de mani`ere s´ecuris´ee en utilisant ce cryptosyst`eme. Elle choisit deux nombres premiers distinctsp etq. Ce couple de nombres est sa cl´e priv´ee qu’elle garde secr`ete.
Elle calcule ensuiten=p×q et elle choisit un nombre entier naturel B tel que 06B6n−1.
Si Bob veut envoyer un message secret `a Alice, il le code lettre par lettre.
Le codage d’une lettre repr´esent´ee par le nombre entierxest le nombre y tel que : y≡x(x+B) [n] avec 06y6n.
Dans tout l’exercice on prend p= 3, q= 11 donc n=p×q = 33 etB = 13.
Partie A : Cryptage
Bob veut envoyer le mot NO`a Alice.
1. Montrer que Bob code la lettreN avec le nombre 8.
2. D´eterminer le nombre qui code la lettreO.
TS9 DS 2 Page 2 sur 3 Partie B : D´ecryptage
Alice a re¸cu un message crypt´e qui commence par le nombre 3.
Pour d´ecoder ce premier nombre, elle doit d´eterminer le nombre entierx tel que : x(x+ 13)≡3 [33] avec 06x <26.
1. Montrer quex(x+ 13)≡3 [33] ´equivaut `a (x+ 23)2≡4 [33].
2. Montrer que si (x+ 23)2 ≡4 [33] alors le syst`eme d’´equations
(x+ 23)2 ≡ 4 [3]
(x+ 23)2 ≡ 4 [11] est v´erifi´e.
On admet dans la suite de l’exercice que : x(x+ 13)≡3 [33] ⇐⇒
(x+ 23)2 ≡ 1 [3]
(x+ 23)2 ≡ 4 [11]
3. (a) D´eterminer les nombres entiers naturels atels que 06a <3 et a2≡1 [3].
(b) D´eterminer les nombres entiers naturels b tels que 06b <11 et b2≡4 [11].
4. (a) En d´eduire que x(x+ 13)≡3 [33] ´equivaut aux quatre syst`emes suivants : x ≡ 2 [3]
x ≡ 8 [11] ou
x ≡ 0 [3]
x ≡ 1 [11] ou
x ≡ 2 [3]
x ≡ 1 [11] ou
x ≡ 0 [3]
x ≡ 8 [11]
(b) On admet que chacun de ces syst`emes admet une unique solution enti`erex telle que 06x <33.
D´eterminer, sans justification, chacune de ces solutions.
5. Compl´eter l’algorithme ci-dessous pour qu’il affiche les quatre solutions trouv´ees dans la question pr´ec´edente.
6. Alice peut-elle connaˆıtre la premi`ere lettre du message envoy´e par Bob ?
Le chiffre de RABINest-il utilisable pour d´ecoder un message lettre par lettre ? Pour ... allant de ...`a ...
Si le reste de la division de ... par ... est ´egal `a ... alors Afficher ...
Fin Si Fin Pour
Solution: Partie A : Cryptage
1. Dans l’alphabet la lettreNest associ´ee `ax= 13 alorsx(x+B) = 13×26 = 338 = 33×10+8≡ 8 [33]
Bob code la lettre Navec le nombre y= 8.
2. Dans l’alphabet la lettreOest associ´ee `ax= 14 alorsx(x+B) = 14×27 = 378 = 33×11+15≡ 15[33]
Bob code la lettre Oavec le nombre y= 15.
Partie B : D´ecryptage
1. Soitx un entier tel que x(x+ 13)≡3 [33]⇐⇒x2+ 13x≡3 [33].
⇐⇒x2+ 13x+ 33x≡3 [33] car 33x≡0 [33]
⇐⇒x2+ 46x+ 529≡3 + 1 [33] car 529 = 16×33 + 1≡1 [33]
⇐⇒(x+ 23)2≡4 [33].
2. Si (x+ 23)2≡3[33] alors il existe un entierktel que (x+ 23)2 = 33k+ 3 = 3×11k+ 3. On a bien le syst`eme voulu.
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3. (a)
a 0 1 2
a2 0 1 4
modulo 3, a2 est congru `a 0 1 1 Les entiers naturels atels que 06a <3 et a2 ≡1 [3] sont 1 et 2.
(b)
b 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
b2 0 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100
modulo 11,b2 est congru `a 0 1 4 9 5 3 3 5 9 4 1
Les entiers naturels btels que 06b <11 et b2≡4 [11] sont 2 et 9.
4. (a) On sait quex(x+ 13)≡3 [33] ⇐⇒
(x+ 23)2 ≡ 1 [3]
(x+ 23)2 ≡ 4 [11]
D’apr`es ce qui pr´ec`ede on a (x+ 23)2≡1 [3]⇐⇒
(x+ 23≡1 [3]
ou x+ 23≡2 [3] ⇐⇒
(x≡ −22 [3]
ou x≡ −21 [3] ⇐⇒
(x≡2 [3]
ou x≡0 [3]
(x+ 23)2≡4 [11]⇐⇒
(x+ 23≡2 [11]
oux+ 23≡9 [11] ⇐⇒
(x≡ −21 [11]
ou x≡ −14 [11] ⇐⇒
(x≡1 [11]
ou x≡8 [11]
x(x+ 13)≡3 [33] ⇐⇒
(x+ 23)2 ≡ 1 [3]
(x+ 23)2 ≡ 4 [11] est donc ´equivalent aux quatre syst`emes donn´es
(b) Avec xentier et 06x <33
x ≡ 2 [3]
x ≡ 8 [11] ⇐⇒x= 8.
x ≡ 0 [3]
x ≡ 1 [11] ⇐⇒x= 12 x ≡ 2 [3]
x ≡ 1 [11] ⇐⇒x= 23 ,
x ≡ 0 [3]
x ≡ 8 [11] ⇐⇒x= 30.
5.
Pour x allant de 0 `a 32
Si le reste de la division de x(x+ 13) par 33 est ´egal `a 3 alors
Afficher x Fin Si Fin Pour
6. La premi`ere lettre du message de Bob a ´et´e cod´ee par 3, d’apr`es ce qui pr´ec`ede cela signifie que cette premi`ere lettre peut ˆetre I, M, X.
Il est donc impossible pour Alice d’utiliser lechiffre de RABINpour d´ecoder un message lettre par lettre.
