Compl´eter l’algorithme ci-dessous de telle sorte qu’apr`es ex´ecution, la variable Acontienne PGCD

TS9 DS 3 : Correction 7 janvier 2020 Correction issue de l’APMEP

Dur´ee 55 minutes. Le bar`eme est donn´e `a titre indicatif.

Le manque de soin et de clart´e dans la r´edaction sera p´enalis´e.

Exercice 1 : PGCD et Matrices (20 points)

Partie A :

Soient aetbdeux entiers naturels tels que a > b.

1. D´emontrer que PGCD(a, b) = PGCD(a−b, b).

2. En utilisant l’´egalit´e pr´ec´edente, calculer PGCD 4³−1, 4²−1 .

3. Compl´eter l’algorithme ci-dessous de telle sorte qu’apr`es ex´ecution, la variable Acontienne PGCD 4³−1, 4²−1

.

A←4³−1 B←4²−1 Tant que . . . :

SiA > B, alors : A←. . . Sinon :

B ←. . . Fin Si Fin Tant que Solution:

Soient aetbdeux entiers naturels tels que a > b.

1. • Tout diviseur commun de aet de best un diviseur commun de a−b et de b;

• Tout diviseur commun de a−bet de best un diviseur commun de (a−b) +b=a

Les diviseurs communs deaetbsont donc les diviseurs communs dea−bet deb, donc leur plus grand diviseur est le mˆeme.

2. On a donc d’apr`es le r´esultat pr´ec´edent : PGCD 4³−1, 4²−1

= PGCD 4³−1−4²+ 1 ; 4²−1

= PGCD 4³−4² ; 4²−1

= PGCD(48 ; 15) = PGCD(33 ; 15) = PGCD(18 ; 15) = PGCD(3 ; 15) = 3.

3.

Partie B :

On consid`ere la suite (un) d´efinie par u0 = 0, u1 = 1 et pour tout entier naturel npar : u_n+2= 5u_n+1−4u_n.

On admettra que pour tout entier natureln non nul,u_n est un entier naturel non nul.

On note V_n= u_n+1

u_n

.

1. Justifier que pour tout entier naturel n, Vn+1 =AVn o`u A est une matrice carr´ee d’ordre 2 dont on pr´ecisera les coefficients.

2. On poseP = 1 4

1 1

etQ=

−¹₃ ⁴₃

1 3 −¹₃

(a) Donner sans justification les produits de matricesQP etP Q. Quels sont les noms de ces matrices ?

TS9 DS 3 Page 2 sur 3 (b) V´erifier que QAP est la matrice D=

1 0 0 4

.

3. D´emontrer par r´ecurrence que pour tout entier naturel nnon nul,Aⁿ=P DⁿQ.

On admet dans le reste de l’exercice que Dⁿ=

1 0 0 4ⁿ

4. Soit un entier naturel nnon nul. Calculer les coefficients de la matriceAⁿ. 5. D´emontrer par r´ecurrence que pour tout entier naturel nnon nul,V_n=AⁿV₀. 6. Justifier que pour tout entier naturel n,u_n=−1

3 +1 3 ×4ⁿ. 7. (a) V´erifier que pour tout entier natureln, un+1= 4un+ 1.

(b) En d´eduire PGCD(un+1, un) pour tout entier natureln.

(c) D´eterminer pour tout entier natureln, PGCD 4ⁿ⁺¹−1, 4ⁿ−1 .

Solution:

On consid`ere la suite (u_n) d´efinie par u₀ = 0, u₁= 1 et pour tout entier naturel npar : un+2= 5un+1−4un.

On admettra que pour tout entier natureln non nul,un est un entier naturel non nul.

1. On a Vn+1 = un+2

u_n+1

=

5un+1−4un

u_n+1

=

5un+1−4un

u_n+1+ 0u_n

=

5 −4

1 0

un+1

u_n

=AUn, avec A=

5 −4

1 0

. 2. On poseP =

1 4 1 1

.

(a) On remarque queP Q=QP = 1 0

0 1

. Cette matrice est la matrice identit´e.

(b) On a AP =

5 −4 1 0

× 1 4

1 1

=

1 16 1 4

, puis

QAP =







−1 3

4 1 3 3 −1

3





×

1 16 1 4

= 1 0

0 4

.

3. Initialisation : d’apr`es la question pr´ec´edente : D=QAP, d’o`u en multipliant `a gauche par P et `a droite parQ :

P D=AP, puisP DQ=A : la relation est vraie au rang 1.

H´er´edit´e : soitn∈N, avec n>1 et supposons que Aⁿ=P DⁿQ.

Alors en multipliant `a gauche par Q, puis `a droite parP, on obtient : QAⁿP =Dⁿ. Multiplions chaque membre par D=QAP :

QAP QAⁿP =Dⁿ⁺¹; orP Q=I2, d’o`u :

QAAⁿP =Dⁿ⁺¹ et en multipliant `a gauche par P et `a droite parQ : P QAⁿ⁺¹P Q=P Dⁿ⁺¹Q, soit finalement :

Aⁿ⁺¹=P Dⁿ⁺¹Q.

La relation est donc vraie au rang (n+ 1).

La relation est vraie au rang 1 et si elle est vraie `a un rangnau moins ´egal `a 1, elle est vraie au rangn+ 1 : d’apr`es le principe de r´ecurrence pour tout entier natureln non nul,Aⁿ=P DⁿQ.

TS9 DS 3 Page 3 sur 3 4. D=

1 0 0 4

etD²=

1 0 0 4²

. D´emontrons par r´ecurrence queDⁿ=

1 0 0 4ⁿ

. Initialisation :D¹ =

1 0 0 4

: la relation est vraie au rang 1.

H´er´edit´e : soitnun entier naturel, n>1 et supposons queDⁿ=

1 0 0 4ⁿ

. AlorsDⁿ⁺¹ =Dⁿ×D=

1 0 0 4ⁿ

× 1 0

0 4

=

1 0 0 4ⁿ⁺¹

. La relation est vraie au rangn+ 1.

La relation est vraie au rang 1 et si elle est vraie au rang n, elle l’est au rang n+ 1 : d’apr`es le principe de r´ecurrence Dⁿ=

1 0 0 4ⁿ

pour tout natureln non nul.

On a doncAⁿ=P DⁿQ.

P Dⁿ= 1 4

1 1

×

1 0 0 4ⁿ

=

1 4ⁿ⁺¹ 1 4ⁿ

, puis

P DⁿQ=Aⁿ=

1 4ⁿ⁺¹ 1 4ⁿ

×







−1 3

4 1 3 3 −1

3





=

−¹₃+ ⁴ⁿ⁺¹₃ ⁴₃ −⁴ⁿ⁺¹₃

−¹₃+⁴₃^{n 4}₃ −⁴₃ⁿ

. 5. Par r´ecurrence, on montre que V_n=AⁿV₀

6. V_n=AⁿV₀ ou encore

un+1

u_n

=

−¹₃+ ⁴ⁿ⁺¹₃ ⁴₃ −⁴ⁿ⁺¹₃

−¹₃+ ⁴₃^{n 4}₃ −⁴₃ⁿ

× u1

u₀

=

−¹₃ +⁴ⁿ⁺¹₃ ⁴₃ −⁴ⁿ⁺¹₃

−¹₃ +⁴₃^{n 4}₃− ⁴₃ⁿ

× 1

0

=

−¹₃+ ⁴ⁿ⁺¹₃

−¹₃+ ⁴₃ⁿ

. Donc un=−1 3 +4ⁿ

3 . 7. (a) D’apr`es le r´esultat pr´ec´edent :

4un+ 1 = 4

−1 3+4ⁿ

3

+ 1 =−4

3 + 1 +4ⁿ⁺¹ 3 =−1

3 +4ⁿ⁺¹

3 =un+1. On a donc pour tout entier naturel n, u_n+1 = 4u_n+ 1.

(b) D’apr`es la partie A :

PGCD(u_n+1, u_n) = PGCD (4u_n+ 1 ; u_n) = (3u_n+ 1 ; u_n) = (2u_n+ 1 ; u_n) = (u_n+ 1 ; u_n) = (1 ; u_n) = 1.

un etun+1 sont premiers entre eux.

(c) On a d´emontr´e `a la question5.que un=−1 3 +4ⁿ

3 soit en multipliant chaque membre par 3 : 3un=−1 + 4ⁿ et par cons´equent 3un1=−1 + 4ⁿ⁺¹.

On a donc PGCD 4ⁿ⁺¹−1, 4ⁿ−1

= PGCD (3u_n+1 ; 3u_n).

Comme PGCD(u_n+1, u_n) = 1, PGCD (3u_n+1 ; 3u_n) = 3×PGCD (u_n+1, u_n) = 3×1 = 3.

Deux termes cons´ecutifs de la suite (4ⁿ−1)_n∈

N ont pour PGCD 3.