Soit n un entier naturel.

PanaMaths Mars 2014

Soit n un entier naturel.

1. Calculer la dérivée nième de la fonction ^{x 6 x}

ⁿ

( ) ^{1 − x}

ⁿ

^.

2. En déduire la valeur de

2

0 n k

n

=

k

⎛ ⎞⎜ ⎟

⎜ ⎟⎝ ⎠

∑ ^.

Analyse

L’expression proposée de ^ϕ

( )

^x suggère d’utiliser la formule de Leibniz pour calculer la dérivée nième demandée. Mais à la deuxième question, on se doit d’utiliser une autre expression de ^ϕ

( )

^{x …}

Résolution

Question 1.

Soit n un entier naturel quelconque fixé.

Posons : ϕ

( )

^x =^xn

(

¹−^x

)

ⁿ = ^{f x}

( ) ( )

×^{g x} avec ^{f x}

( )

=^xn et ^{g x}

( ) (

^{= −1 x}

)

^n.

Les fonctions f et g étant polynômiales, elles sont de classe

C

^{∞ sur \.}

La formule de Leibniz nous donne alors :

( )

( )

^{( )}

( )

^{( )}

( )

0 n

n k n k

k

x n f x g x

ϕ k ⁻

=

= ⎛ ⎞⎜ ⎟

∏

⎝ ⎠ Pour tout entier naturel k dans

a

^{0 ;n}

b

^{, on a :}

( )^k

( ) (

¹

)(

^{2 ...}

) (

¹

)

^{n k}

(

^n!

)

^{! n k}

f x n n n n k x x

n k

− −

= − − − + =

−

( )

( ) (

¹

)(

^{2 ...}

) (

¹

)( ) (

^{1 1}

) (

^!

) ( ) (

^{1 1}

)

!

k n k k n k

k n

g x n n n n k x x

n k

− −

= − − − + − − = − −

−

On en déduit : ^{( )}

( )

^!

( ) (

^{1 1}

)

!

n k k

n k n

g x x

k

− = − − − .

PanaMaths Mars 2014

D’où :

( )

( )

^{( )}

( )

^{( )}

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

0

0 2

0

! !

1 1

! !

! 1 1

n

n k n k

k

n n k n k k

k

n n k n k k

k

x n f x g x

k

n n n

x x

k n k k

n n x x

k

ϕ ⁻

=

− −

=

− −

=

= ⎛ ⎞⎜ ⎟

⎝ ⎠

= ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ − − −

= ⎛ ⎞⎜ ⎟ − −

⎝ ⎠

∑

∑

∑

( )

( )

²

( ) ( )

0

! 1 1

n n k k

n n k

k

x n n x x

ϕ k ^{− −}

=

= ⎛ ⎞⎜ ⎟ − −

∑

⎝ ⎠

Question 2.

On a aussi, la fonction ϕ étant de degré 2n : ^ϕ

( )

^{x =xn}

(

^1−x

)

^{n =}

(

^x−x2

)

^{n = −}

^{( )}

^{1 nx2n+...}

La fonction ϕ^{( )n} est donc de degré 2n n− =n et on a :

( )

( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

1 2 2 1 2 2 ... 2 1 ...

2 !

1 ...

!

n n n

n n

x n n n n n x

n x n

ϕ = − − − − + +

= − +

Dans la somme ^{( )}

( )

²

( ) ( )

0

! 1 1

n n k k

n n k

k

x n n x x

ϕ k ^{− −}

=

= ⎛ ⎞⎜ ⎟ − −

∑

⎝ ⎠ , chaque terme est une fonction

polynômiale de degré n :

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2 2 2

! n 1 ^{n k n k} 1 ^k ! n 1 ^{n k} 1 ^{k n} ... ! n 1 ^{n n} ...

n x x n x n x

k k k

− − −

⎛ ⎞ − − = ⎛ ⎞ − ⎡ − + ⎤= ⎛ ⎞ − ⎡ + ⎤

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎣ ⎦ ⎜ ⎟ ⎣ ⎦

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Ainsi, le coefficient de « xⁿ » vaudra :

( )

²

( )

²

0 0

1 ! 1 !

n n

n n

k k

n n

n n

k k

= =

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

− ⎜ ⎟ = − ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∑ ∑

^.

En identifiant ainsi les coefficients de « xⁿ », on obtient l’égalité :

( ) ( ) ( )

²

0

2 !

1 1 !

!

n n n

k

n

n n

k

n ₌

− = − ⎛ ⎞⎜ ⎟

∑

⎝ ⎠ soit, finalement :

( )

( )

2

2 0

2 !

!

n

k

n n

k n

=

⎛ ⎞ =

⎜ ⎟⎝ ⎠

∑

^.

( ) ( )

2

2 0

2 !

!

n

k

n n

k n

=

⎛ ⎞ =

⎜ ⎟⎝ ⎠

∑