TS9 Interrogation 1B 6 novembre 2019 Calculatrice interdite.
Exercice 1 :
On rappelle que 27×37 = 999 et que 100≡19[27]
(1) Compl´eter : 1000≡ [27].
(2) Compl´eter : Pour tout entier natureln, 103n≡ [27].
(3) Quel est alors le reste dans la division euclidienne de 10100+ 1020 par 27 ?
Solution:
(1) 1000≡1[27]
(2) 103n≡1[27]
(3) 10100= 103×99+1≡10[27] et 1020= 103×6+2≡19[27]. Donc 10100+ 1020≡29[27].
Le reste est donc 2
Exercice 2 :
D´emontrons que 52n−14n est divisible par 11 (1) Compl´eter 52 ≡ [11] ;
(2) Compl´eter 14≡ [11]
(3) En d´eduire que 52n≡14n[11]
(4) Conclure.
Solution:
(1) 52 ≡3[11]
(2) 14≡3[11]
(3) Pour tout entiern, on a donc 52n≡3n[11] et 14n≡3n[11], d’o`u l’´egalit´e.
(4) On en conclut que 52n−14n≡0[11].
