Universit´e du Littoral Ann´ee universitaire 2011-2012
Licence 1 `ere ann´ee Math´ematiques et Informatique
TD d’Alg`ebre 5 – Espaces vectoriels
Exercice 1. L’ensemble R
2muni des lois suivantes est-il un espace vectoriel sur R ? 1. (x, y) + (x
0, y
0) = (y + y
0, x + x
0) et λ(x, y) = (λx, λy).
2. (x, y) + (x
0, y
0) = (0, 0) et λ(x, y) = (λx, y).
3. (x, y) + (x
0, y
0) = (x + x
0, y + y
0) et λ(x, y) = (λx, 0).
Exercice 2. Soit E l’ensemble des suites r´eelles. Montrer que E muni des op´erations naturelles (addition des suites et multiplication d’une suite par un r´eel) est un espace vectoriel sur R .
Exercice 3. Les sous ensembles suivants sont-ils des sous-espaces vectoriels de R
2? 1. F = Z
2.
2. F = {(x, y) ∈ R
2/|x| = |y|}.
3. F = {(x, y) ∈ R
2/x + 2y = 0} . 4. F = {(x, y) ∈ R
2/x + y = 1}.
Exercice 4. Consid´erons le sous-ensemble E = {(x, y, z) ∈ R
3/y = 0} de R
3. 1. Montrer que E est un sous-espace vectoriel de R
3.
2. Le compl´ementaire de E dans R
3est-il un sous-espace vectoriel de R
3?
Exercice 5. Soit E l’ensemble des fonctions continues de [−1, 1] dans R muni de l’addition de fonctions et de la multiplication d’une fonction par un r´eel.
1. Montrer que E est un espace vectoriel sur R.
On consid`ere les sous-ensembles de E suivants. Pr´eciser lesquels sont des sous-espaces vectoriels de E : 2. les fonctions v´erifiant 2f (0) = f(1).
3. les fonctions v´erifiant f (0) = f (1) + 1.
4. les fonctions paires.
5. les fonctions polynomiales de degr´e exactement 4.
6. les fonctions polynomiales de degr´e inf´erieur ou ´egal `a 4.
Exercice 6. Pour chacune des familles de R
2suivantes, dire si elle est g´en´eratrice, libre ou si elle consti- tue une base de R
2:
1. A = {(2, 1); (4, 1)} .
2. B = {(−1, 2); (4, 3); (6, −1)}.
3. C = {(2, −3); (1, 5); (0, 0)}.
4. D = {(1, 1)} .
Exercice 7. Les polynˆomes suivants sont-ils lin´eairement ind´ependants dans R [X] ? 1. 1, X − 1, X
2+ X + 1, X
3.
2. 2X, X + 1, X
2+ 1, X
2− 1.
3. X
3, X
2+ 1, X − 1, X
4+ X + 1.
Les familles suivantes sont-elles libres, g´en´eratrices dans R
4[X] ? 4. 1, X + 2, −X
2+ X + 4, X
4+ X
3, X
4+ X
3+ 2X
2. 5. X + 1, X − 1, X
2+ X − 1, X
3, X
4+ X, X
4+ X
2+ X
2.
1
2