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Soit E un ensemble muni d'une relation d'équivalence R . Soient px, yq P E

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Academic year: 2022

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(1)

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1

contient quelques exercices corrigés sur les classes d'équivalence et il est à travailler après avoir assimilé le document sur les relations. Il peut contenir quelques bugs ... Merci de me les signaler cuvelier@math.univ-paris13.fr

Dénition 1

Soit E un ensemble muni d'une relation d'équivalence R . Soient px, yq P E

2

, si x R y (par symétrie, on a aussi y R x ) alors on dit que x et y sont équivalents (modulo la relation R ).

On le note

x „ ypmod Rq ou x „ y.

Si x 6R y alors x et y ne sont pas équivalents et on le note x  ypmod Rq ou x  y.

Dénition 2

Soit E un ensemble muni d'une relation d'équivalence R et soit x P E. On appelle classe d'équivalence de x modulo R le sous-ensemble de E formé des éléments de E en relation avec x. On le note C

x

ou rxs, et on a

C

x

:“ rxs :“ y P E ; x „ ypmod Rq ( .

Lorsqu'il n'y a pas d'ambiguité, on peut noter x „ y à la place de x „ ypmod Rq.

Théorème 3

Soit E un ensemble muni d'une relation d'équivalence R . (a) @x P E, x P C

x

et C

x

‰ H.

(b) @px, yq P E

2

, px „ yq ðñ pC

x

“ C

y

q.

(c) @px, yq P E

2

, px  yq ðñ pC

x

X C

y

“ Hq.

Dénition 4: (version simpliée provisoire)

Soient pQ

i

q

ni“1

, n sous-ensembles non vides d'un ensemble E. On dit qu'ils forment une partition de E si

E “

n

ď

i“1

Q

i

et s'ils sont deux à deux disjoints :

@pi, jq P vnw, pi ‰ jq ùñ pQ

i

X Q

j

“ Hq

Proposition 5

Soit E un ensemble muni d'une relation d'équivalence R . Les classes d'équivalence de E modulo R forment une partition de E.

1. Version du 25 novembre 2018 à 10:29

(2)

1 Classe d'équivalence

Exercice 1.1

On dénit sur R la relation R par

px, yq P R , x R y ðñ px

2

´ y

2

“ x ´ yq.

Q. 1 Montrer que R est une relation d'équivalence.

Q. 2 1. Déterminer la classe d'équivalence d'un élément x de R . 2. Combien y-a-t'il d'éléments dans cette classe ?

Correction Exercice On dénit sur R la relation R par

px, yq P R , x R y ðñ px

2

´ y

2

“ x ´ yq.

Q. 1 R est une relation d'équivalence si elle est réexive, symétrique et transitive.

‚ Réexive. Soit x P E, montrons que x R x.

Comme x

2

´ x

2

“ 0 et x ´ x “ 0, on a x

2

´ x

2

“ x ´ x, ce qui démontre que x R x.

‚ Symétrique. Soit px, yq P E

2

, montrons que

px R yq ðñ py R xq.

En eet, on a

px R yq ðñ px

2

´ y

2

“ x ´ yq

ðñ py

2

´ x

2

“ y ´ xq en multipliant par ´ 1 ðñ py R xq

‚ Transitive. Soit px, y, zq P E

3

, montrons que

` x R y et y R z ˘

ùñ px R zq.

En eet, si px R yq et py R zq alors

` px

2

´ y

2

“ x ´ yq et py

2

´ z

2

“ y ´ zq ˘ En regroupant les termes, la propriété précédente est équivalente à

` px

2

´ x “ y

2

´ yq et py

2

´ y “ z

2

´ zq ˘ On en déduit alors la propriété suivante

px

2

´ x “ z

2

´ zq.

Cette dernière s'écrit aussi sous la forme

px

2

´ z

2

“ x ´ zq et on conclu que px R zq.

Q. 2 1. Soit x P R . On doit déterminer l'ensemble C

x

des éléments y P R tels que x R y. Il faut donc pour celà résoudre l'équation (en y ) :

x

2

´ y

2

“ x ´ y ðñ px ´ yqpx ` yq ´ px ´ yq “ 0 ðñ px ´ yqpx ` y ´ 1q “ 0

Les solutions sont donc y “ x et y “ 1 ´ x. On a,

"

si

(3)

2. On a

cardpC

x

q “

"

2 si x ‰ 1{2 1 si x “ 1{2

˛

Exercice 1.2

Sur R

2

, on dénit la relation d'équivalence R par

@X X X “ px

1

, x

2

q P R

2

, @Y Y Y “ py

1

, y

2

q P R

2

, `

pX X X R Y Y Y q ðñ px

1

“ y

1

q ˘ . Q. 1 Démontrer que R est une relation d'équivalence,

Q. 2 Déterminer la classe d'équivalence d'un élément A A A “ pa

1

, a

2

q P R

2

.

Correction Exercice

Q. 1 On va démontrer que la relation R est une relation d'équivalence c'est à dire qu'elle est réexive, symétrique et transitive.

‚ R est réexive si

@X X X P R

2

, pX X X R X X X q.

En eet, pour tout X X X “ px

1

, x

2

q P R

2

on a

pX X X R X X X q ðñ px

1

“ x

1

q or on a toujours x

1

“ x

1

!

La relation R est donc réexive.

‚ R est symétrique si

@pX X X, Y Y Y q P R

2

ˆ R

2

, `

pX X X R Y Y Y q ðñ pY Y Y R X X Xq ˘ . Soient X X X “ px

1

, x

2

q P R

2

et Y Y Y “ py

1

, y

2

q P R

2

, alors on a

pX X X R Y Y Y q ðñ px

1

“ y

1

q ðñ py

1

“ x

1

q ðñ pY Y Y R X X X q La relation R est donc symétrique.

‚ R est transitive si

@pX X X, Y Y Y , Z Z Zq P R

2

ˆ R

2

ˆ R

2

, ´ `

pX X X R Y Y Y q et pY Y Y R Z Z Zq ˘

ùñ pX X X R Z Z Z q

¯

Soient X X X “ px

1

, x

2

q P R

2

, Y Y Y “ py

1

, y

2

q P R

2

et Z Z Z “ pz

1

, z

2

q P R

2

, alors on a

` pX X X R Y Y Y q et pY Y Y R Z Z Zq ˘ ðñ `

px

1

“ y

1

q et py

1

“ z

1

q ùñ px

1

“ z

1

q ðñ pX X X R Z Z Zq La relation R est donc transitive.

Q. 2 La classe d'équivalence de A A A “ pa

1

, a

2

q P R

2

, notée C

AAA

, est l'ensemble de R

2

déni par C

AAA

“ X X X P R

2

; pX X X R A A Aq (

.

Il faut donc expliciter l'ensemble des éléments X X X “ px

1

, y

1

q de R

2

tels que X X X R A A A . Or on a X X X R A A A ðñ x

1

“ a

1

.

On en déduit alors que

C

AAA

“ pa

1

, yq P R

2

; y P R ( .

˛

(4)

Exercice 1.3

On munit l'ensemble E “ R

2

de la relation R dénie par

@px

1

, x

2

q P R

2

, @py

1

, y

2

q P R

2

, `

px

1

, x

2

q R py

1

, y

2

q ˘ ô `

Da ą 0, Db ą 0, py

1

“ ax

1

q et py

2

“ bx

2

q ˘ . Q. 1 Montrer que R est une relation d'équivalence.

Q. 2 Donner la classe d'équivalence des éléments A “ p1, 0q, B “ p0, ´1q et C “ p1, 1q.

Q. 3 Déduire (sans démonstration) toutes les classes d'équivalence de R .

Correction Exercice

Q. 1 On va démontrer que la relation R est une relation d'équivalence c'est à dire qu'elle est réexive, symétrique et transitive.

‚ R est réexive si

@px

1

, x

2

q P R

2

, `

px

1

, x

2

q R px

1

, x

2

q ˘ .

Soit px

1

, x

2

q P R

2

, en prenant a “ 1 ą 0 et b “ 1 ą 0 on a x

1

“ ax

1

et x

2

“ ax

2

ce qui est équivalent à

` px

1

, x

2

q R px

1

, x

2

q ˘ . La relation R est donc réexive.

‚ R est symétrique si

@px

1

, x

2

q P R

2

, @py

1

, y

2

q P R

2

, `

px

1

, x

2

q R py

1

, y

2

q ˘

ðñ `

py

1

, y

2

q R px

1

, x

2

q ˘ .

Soient px

1

, x

2

q P R

2

et py

1

, y

2

q P R

2

. On a

` px

1

, x

2

q R py

1

, y

2

q ˘

ðñ `

Da ą 0, Db ą 0, py

1

“ ax

1

q et py

2

“ bx

2

q ˘ Comme a ą 0 et b ą 0, on pose c “ 1{a ą 0 et d “ 1{b ą 0. On alors

` px

1

, x

2

q R py

1

, y

2

q ˘

ðñ `

Dc ą 0, Dd ą 0, px

1

“ cy

1

q et px

2

“ dy

2

q ˘ ðñ `

py

1

, y

2

q R px

1

, x

2

q ˘ . La relation R est donc symétrique.

‚ La relation R est transitive si

@px

1

, x

2

q P R

2

, @py

1

, y

2

q P R

2

, @pz

1

, z

2

q P R

2

,

´ `

px

1

, x

2

q R py

1

, y

2

q ˘ et `

py

1

, y

2

q R pz

1

, z

2

q ˘ ¯ ùñ `

px

1

, x

2

q R pz

1

, z

2

q ˘ . .

Soient px

1

, x

2

q P R

2

, py

1

, y

2

q P R

2

et pz

1

, z

2

q P R

2

. On a

` px

1

, x

2

q R py

1

, y

2

q ˘

ðñ `

Da ą 0, Db ą 0, py

1

“ ax

1

q et py

2

“ bx

2

q ˘ et

` py

1

, y

2

q R pz

1

, z

2

q ˘

ðñ `

Dc ą 0, Dd ą 0, pz

1

“ cy

1

q et pz

2

“ dy

2

q ˘ . Si `

px

1

, x

2

q R py

1

, y

2

q ˘ et `

py

1

, y

2

q R pz

1

, z

2

q ˘

alors z

1

“ acx

1

et z

2

“ bdx

2

avec ac ą 0 et bd ą 0.

On en déduit alors que `

px

1

, x

2

q R pz

1

, z

2

q ˘

. La relation R est donc transitive.

On a démontré que la relation R est une relation d'équivalence.

(5)

Q. 2 La classe d'équivalence de px

1

, x

2

q P R

2

, notée C

px1,x2q

, est l'ensemble de R

2

déni par C

px1,x2q

“ py

1

, y

2

q P R

2

; py

1

, y

2

q R px

1

, x

2

q (

.

‚ Pour déterminer la classe d'équivalence de A “ p1, 0q on va chercher l'ensemble des points py

1

, y

2

q P R

2

vériant py

1

, y

2

q R p1, 0q. Or on a

` py

1

, y

2

q R p1, 0q ˘

ðñ `

Da ą 0, Db ą 0, py

1

“ a ¨ 1q et py

2

“ b ¨ 0q ˘ On a alors

C

A

“ C

p1,0q

“s0, `8rˆt0u.

‚ Pour déterminer la classe d'équivalence de B “ p0, ´1q on va chercher l'ensemble des points py

1

, y

2

q P R

2

vériant py

1

, y

2

q R p0, ´1q. Or on a

` py

1

, y

2

q R p0, ´1q ˘ ðñ `

Da ą 0, Db ą 0, py

1

“ a ¨ 0q et py

2

“ b ¨ p´1qq ˘ On a alors

C

B

“ C

p0,´1q

“ t0uˆs ´ 8, 0r.

‚ Pour déterminer la classe d'équivalence de C “ p1, 1q on va chercher l'ensemble des points py

1

, y

2

q P R

2

vériant py

1

, y

2

q R p1, 1q. Or on a

` py

1

, y

2

q R p1, 1q ˘

ðñ `

Da ą 0, Db ą 0, py

1

“ a ¨ 1q et py

2

“ b ¨ 1q ˘ On a alors

C

C

“ C

p1,1q

“s0, `8rˆs0, `8r.

Q. 3 La question précédente suggère qu'il y a quatre classes d'équivalence qui sont des demi-droites : C

p1,0q

“s0, `8rˆt0u,

C

p´1,0q

“s ´ 8, 0rˆt0u, C

p0,1q

“ t0uˆs0, `8r, C

p0,´1q

“ t0uˆs ´ 8, 0r.

Il y a aussi quatre classes d'équivalence qui sont des quarts de plan C

p1,1q

“s0, `8rˆs0, `8r, C

p´1,1q

“s ´ 8, 0rˆs0, `8r, C

p1,´1q

“s0, `8rˆs ´ 8, 0r, C

p´1,´1q

“s ´ 8, 0rˆs ´ 8, 0r.

Et enn on peut noter que

C

p0,0q

“ tp0, 0qu.

Ces neuf ensembles constituent bien une partition de R

2

, ce qui prouve que l'on a trouvé toutes les classes d'équivalence.

˛

Références

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