Universit´e Lille I L3 Maths
2013-2014 M-52
3 - CONTINUITE
Quizz
Exercice 1 – Exemples de fonctions continues Montrer que les applications suivantes sont continues :
f : R×R → R
(x, y) 7→ xy ; g: R∗ → R
x 7→ 1x ; h: Mn(K) → K
M 7→ det(M)
Exercice 2 – Propri´et´es utiles
Soit X un espace topologique etf :X → R une fonction continue. Que peut-on dire topologiquement des parties suivantes deX :
{x/ f(x) = 0} , {x/ f(x)≥0} , {x/ f(x)≤0}
{x/ f(x)6= 0} , {x/ f(x)>0} , {x/ f(x)<0}
Montrer que{(a, b)∈R2/1< a2+b2<2} et{(a, b)∈R2/ ab >0}sont des ouverts du plan euclidien.
Exercice 3 – Applications lipschitziennes
a) Soit E =C([0; 1],K) muni deN1. V´erifier que l’application E 3f 7→R1
0 |f(t)|dt est 1-lipschitzienne deE dansR.
b) Soit f : (E,k · kE)→(F,k · kF) une isom´etrie, ie : ∀x, y∈E, kf(x)−f(y)kF =kx−ykE. Montrer qu’alorsf est un hom´eomorphisme sur son image. Est-elle n´ecessairement surjective ?
Pour s’entraˆıner Exercice 4
SoitF ={(x, y)∈R2/ xy= 1}: montrer queF est ferm´e dansR2. Que repr´esenteF g´eom´etriquement ? V´erifier que sa projection sur l’axe des abscisses n’est pas un ferm´e deR.
Exercice 5
Soit E l’espace des fonctions continues born´ees de R dans R muni de N∞. Pour a ∈ R, on note Ta l’application qui `a f ∈E associeTa(f) :x7→f(a+x). Montrer queTa est une application continue de E dansE.
Exercice 6
DansR2 euclidien, on consid`ere Γ ={(x,sin(1/x))/ x >0}. D´eterminer Γ.
1
Exercice 7
Soit (E, d) un espace m´etrique.
a) Montrer que siA⊂E, la fonctionx7→d(x, A) est 1-lipschitzienne, donc continue.
b) SoitA etB des ferm´es disjoints deE : montrer que
U ={x∈E/ d(x, A)< d(x, B)}et V ={x∈E/ d(x, A)> d(x, B)}
sont deux ouverts disjoints contenant respectivementAetB.
Exercice 8
Montrer que les op´erateurs suivants sont continus et calculer leur norme :
a) sur Rn muni deN∞ puis N2, l’endomorphismeu repr´esent´e dans la base canonique par la matrice diagonale diag(λ1, . . . , λn) ;
b) sur (R2, N2), l’endomorphisme u: (x1, x2)7→(2x1, x2) et son inverse u−1;
c) sur (`∞, N∞), l’endomorphismeS: (x0, x1, x2, . . .)7→(0, x0, x1, . . .) (appel´eshift) ; d) surE=C([0; 1],K) muni deN∞, l’endomorphismeT :f 7→f×go`ug∈E est fix´e.
Les essentiels Exercice 9
On se place dansMn(K) muni deN∞(ou d’une norme ´equivalente).
a) Montrer queGLn(K) est un ouvert.
b) Montrer que l’applicationM 7→M−1 est continue surGLn(K).
c) On suppose par l’absurde que ∀A ∈ Mn(K), ∀P ∈ GLn(K), N∞(P−1AP) = N∞(A) : montrer qu’alors on a ∀A, B ∈ Mn(K), N∞(AB) = N∞(BA). En d´eduire que N∞ n’est pas invariante par conjugaison d`es quen≥2.
Exercice 10
Montrer que l’application x 7→ √
x est uniform´ement continue sur [0; +∞[ (on pourra raisonner par l’absurde en construisant deux suites (xn) et (yn)).
Exercice 11
Le but est de montrer que l’ensembleDn(C) des matrices diagonalisables dans Cest dense dansMn(C) muni deN∞(ou d’une norme ´equivalente).
a) Soit T =
λ1 ∗
. ..
(0) λn
et Tk =
λ1+k1 ∗ . ..
(0) λn+nk
pour k∈N∗. Montrer queTk →T et que les matricesTk sont diagonalisables pourkassez grand (rappelons qu’une conditionsuffisante pour ˆetre dansDn(C) est d’avoirnvaleurs propres distinctes).
b) Soit A ∈ Mn(C) : expliquer pourquoi il existe P ∈GLn(C) et T triangulaire sup´erieure telles que A=P T P−1. Montrer que l’application lin´eaireM 7→P M P−1 est continue surMn(C). En d´eduire queP TkP−1→A.
c) Conclure.
2
Exercice 12
Le th´eor`eme de Weierstrass affirme que toute fonction continue de [a;b] dans R est limite uniforme de fonctions polynomiales.
a) Traduire ce r´esultat en terme de densit´e.
b) Soit f : [a;b]→Rune fonction continue, v´erifiantRb
a f(t)tndt= 0 pour toutn∈N. Montrer qu’alors Rb
af(t)g(t)dt= 0 pour toutg∈ C([a;b],R). En d´eduire quef = 0.
Exercice 13
SoitE=R[X]. PourP(X) =Pn
k=0akXk, on posekPk= Max{|ak|/0≤k≤n}et u(P)(X) =
n
X
k=1
1
kakXk , v(P)(X) =
n
X
k=1
kakXk
Montrer que k.k d´efinit une norme sur E et queu, v ∈ L(E). Les applications lin´eairesuet v sont-elles continues sur (E,k.k) ?
Pour aller plus loin Exercice 14
Soitθ ∈R, on suppose queθ/π /∈Q. Montrer que A={cos(kθ)/ k∈Z} est dense dans [−1; 1] et que B={eikθ/ k∈Z}est dense dans le cercle unit´e (utiliser l’exercice 14 de la feuille 2).
Exercice 15
Soit (E1, d1) et (E2, d2) deux espaces m´etriques, on munit l’espace produitE =E1×E2 de la distance dmax. Soitpla projection surE1 :p(x1, x2) =x1.
a) Montrer que l’image parpde tout ouvert deE est un ouvert deE1.
b) Soit (E0, d0) un autre espace m´etrique. Montrer qu’une application f : E1 → E0 est continue si et seulement sif◦p:E→E0 est continue.
Exercice 16 – Examen, d´ecembre 2012
SoitE=C([0; 1],R), muni de la normek · k∞ :kfk∞= Maxt∈[0;1]|f(t)|. Soit
A=
f ∈E
f(0) = 0 et Z 1
0
f(t) dt≥1
.
a) V´erifier queA6=∅.
b) Montrer queAest une partie ferm´ee deE.
c) On posem:= inf{kfk∞ |f ∈A}.
i) Soitf ∈A. Montrer qu’il existeδ∈]0; 1[ tel que∀t∈[0;δ], |f(t)|< 12, et qu’on a alors l’in´egalit´e 1≤12δ+kfk∞(1−δ). En d´eduire quekfk∞>1.
ii) D´eterminerm.Indication : On pourra introduire les fonctions fn donn´ees par
fn(t) =
((n+ 1)t si 0≤t <1/n 1 + 1/n si 1/n≤t≤1 . d) Calculer dist(0E, A), o`u 0E d´esigne la fonction constante nulle.
3
