Universit´e Lille I L3 Maths
2013-2014 M-52
4 - ESPACES METRIQUES COMPLETS
Quizz
Exercice 1 –Q n’est pas complet
Montrer queQn’est pas ferm´e dansR. Est-il complet ?
Exercice 2 – [0; 1[ n’est pas complet
Montrer de trois fa¸cons diff´erentes que [0; 1[ n’est pas complet : - avec la d´efinition ;
- en utilisant que [0; 1[ n’est pas ferm´e dansR; - en consid´erant l’applicationx7→ x+12 .
Pour s’entraˆıner
Exercice 3 – Suites de Cauchy
D´ecider si les suites (un)n suivantes sont de Cauchy : 1. un= (−1)n dans (R,|.|) ;
2. un=
1 sin(1/n)
cos(1/n) 1
dans (M2(R), N∞) ;
3. un:t7→
t−n+12 sin−12 ≤t < n
−t+n+12 sin≤t < n+12 0 sinon
dans (C(R+,R), N∞).
Exercice 4 – La compl´etude est une notion m´etrique
a) Montrer que (R+,|.|) est complet et quef :x7→ 1−xx est un hom´eomorphisme de [0; 1[ sur R+. b) V´erifier que la suite (un), avec un = 1−n1, est de Cauchy mais ne converge pas dans [0; 1[. La suite
(f(un)) est-elle de Cauchy dansR+?
Exercice 5
On munitRn de la norme euclidienne. SoitA=B(0,1). On consid`ere deux distances surA:d2(x, y) = kx−yk2induite par la norme euclidienne, et d1(x, y) =kx−yk2+
1
d2(x,cA)− 1 d2(y,cA)
. a) V´erifier qued1 est une distance.
b) Montrer que id : (A, d1)→(A, d2) est un hom´eomorphisme.
c) Montrer que (A, d2) n’est pas complet, mais que (A, d1) est complet.
Exercice 6
Soitf : R→R une fonction continue, Γ :={(x, f(x)) |x∈R} son graphe dansR2 euclidien. Montrer que Γ est complet. Est-ce encore vrai sif n’est pas continue (consid´erer la fonction caract´eristique 11{0}) ?
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Exercice 7
SoitE l’ensemble des fonctions lipschitziennes de [0; 1] dansR. Pourf ∈E, on pose N(f) = sup
x∈[0;1]
|f(x)|+ sup
x6=y
|f(x)−f(y)|
|x−y|
Montrer queN est une norme surE, pour laquelleE est complet.
Les essentiels Exercice 8
SoitEet F des espaces vectoriels norm´es, o`u F est complet. Montrer que (Lc(E, F),k.kop) est complet.
Exercice 9
Soit (E, d) un espace m´etrique complet,f une application deE dansE. On suppose qu’il existen∈N∗ tel que lani`eme it´er´ee fn =f◦ · · · ◦f soit strictement contractante. Montrer que f a un unique point fixe dansE.
Exercice 10 – Espaces de suites
On note`∞ l’ensemble des suites born´ees, muni de N∞, et c0 l’ensemble des suites qui tendent vers 0.
Montrer que (`∞, N∞) est complet. En d´eduire que (c0, N∞) est complet.
Exercice 11
Soit a∈ R et λ ∈ Cavec |λ| <1. Montrer que, pour toute fonction born´ee g ∈ C(R,C), il existe une unique fonction born´eef ∈ C(R,C) telle que∀x∈R, f(x)−λf(x+a) =g(x).
Pour aller plus loin Exercice 12
Montrer que le th´eor`eme de prolongement des applications lipschitziennes est encore vrai dans le cadre uniform´ement continu.
Exercice 13
Soit (an)n une suite de Cauchy dans un espace m´etrique (E, d).
a) Montrer que pour toutx∈E, la suite (d(x, an))n converge dansR. On notef(x) sa limite.
b) Montrer quef :E→Rest 1-lipschitzienne, positive, et que inff = 0. A quelle condition sur (an) la fonctionf atteint-elle son inf ?
c) En d´eduire que si (E, d) n’est pas complet, alors il existe une fonctiong:E→Rnon born´ee.
Exercice 14 – Compl´etude au sens de Cantor
Soit (E, d) un espace m´etrique. On dit qu’il estcomplet au sens de Cantorsi pour toute suite d´ecroissante (Fn) de ferm´es non vides dont le diam`etre tend vers 0, l’intersection∩nFn est r´eduite `a un singleton.
a) Montrer que siE est complet, alors il est complet au sens de Cantor.
b) R´eciproquement, montrer que siEest complet au sens de Cantor, alors il est complet (pour une suite de Cauchy (xn)n, consid´ererFn={xp/ p≥n}).
c) V´erifier que l’hypoth`ese sur les diam`etres est indispensable (par exemple avecE=R,Fn= [n; +∞[).
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