Universit´e Lille I L3 Maths
2011-2012 M-52
3 - CONTINUITE
Quizz
Exercice 1 – Exemples de fonctions continues Montrer que les applications suivantes sont continues :
f : R×R → R
(x, y) 7→ xy ; g: R∗ → R
x 7→ 1x ; h: Mn(K) → K
M 7→ det(M)
Exercice 2 – Propri´et´es utiles
Soit X un espace topologique etf :X → R une fonction continue. Que peut-on dire topologiquement des parties suivantes deX :
{x/ f(x) = 0} , {x/ f(x)≥0} , {x/ f(x)≤0}
{x/ f(x)6= 0} , {x/ f(x)>0} , {x/ f(x)<0}
Montrer que{(a, b)∈R2/1< a2+b2<2} et{(a, b)∈R2/ ab >0}sont des ouverts du plan euclidien.
Exercice 3 – Applications lipschitziennes
a) SoitE=C([0; 1]) muni deN1. V´erifier que l’applicationf 7→R1
0 |f(t)|dtest 1-lipschitzienne deEdans R. Est-elle lin´eaire ?
b) Soit f : (E, dE)→(F, dF) une isom´etrie,ie :∀x, y∈E, dF(f(x), f(y)) =dE(x, y). Montrer qu’alors f est un hom´eomorphisme sur son image. Est-elle n´ecessairement surjective ?
Pour s’entraˆıner Exercice 4
SoitF ={(x, y)∈R2/ xy= 1}: montrer queF est ferm´e dansR2. Que repr´esenteF g´eom´etriquement ? V´erifier que sa projection sur l’axe des abscisses n’est pas un ferm´e deR.
Exercice 5
Soit E l’espace des fonctions continues born´ees de R dans R muni de N∞. Pour a ∈ R, on note Ta l’application qui `a f ∈E associeTa(f) :x7→f(a+x). Montrer queTa est une application continue de E dansE.
Exercice 6
DansR2 euclidien, on consid`ere Γ ={(x,sin(1/x))/ x >0}. D´eterminer Γ.
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Exercice 7
Soit (E, d) un espace m´etrique.
a) Montrer que siA⊂E, la fonctionx7→d(x, A) est 1-lipschitzienne, donc continue.
b) SoitA etB des ferm´es disjoints deE : montrer que
U ={x∈E/ d(x, A)< d(x, B)}et V ={x∈E/ d(x, A)> d(x, B)}
sont deux ouverts disjoints contenant respectivementAetB.
Exercice 8
Soitθ ∈R, on suppose queθ/π /∈Q. Montrer que A={cos(kθ)/ k∈Z} est dense dans [−1; 1] et que B={eikθ/ k∈Z}est dense dans le cercle unit´e (utiliser la densit´e du sous-groupe θZ+ 2πZdansR).
Exercice 9
Montrer que les op´erateurs suivants sont continus et calculer leur norme :
a) sur Rn muni deN∞ puis N2, l’endomorphismeu repr´esent´e dans la base canonique par la matrice diagonale diag(λ1, . . . , λn) ;
b) sur (R2, N2), l’endomorphisme u: (x1, x2)7→(2x1, x2) et son inverse u−1;
c) sur (`∞, N∞), l’endomorphismeS: (x0, x1, x2, . . .)7→(0, x0, x1, . . .) (appel´eschift) ; d) surE=C([0; 1]) muni de N∞, l’endomorphismeT :f 7→f ×g o`ug∈E est fix´e.
Les essentiels Exercice 10
On se place dansMn(K) muni deN∞(ou d’une norme ´equivalente). Montrer queGLn(K) est un ouvert, et que l’applicationM 7→M−1est continue surGLn(K).
Exercice 11
Soitdetd0 deux distances sur un ensembleE : montrer quedetd0 sont topologiquement ´equivalentes si et seulement si l’application identit´e id : (E, d)→(E, d0) est un hom´eomorphisme.
Exercice 12
Le but est de montrer que l’ensembleDn(C) des matrices diagonalisables dans Cest dense dansMn(C) muni deN∞(ou d’une norme ´equivalente).
a) Soit T =
λ1 ∗
. ..
(0) λn
et Tk =
λ1+k1 ∗ . ..
(0) λn+nk
pour k∈N∗. Montrer queTk →T et que les matricesTk sont diagonalisables pourkassez grand (rappelons qu’une conditionsuffisante pour ˆetre dansDn(C) est d’avoirnvaleurs propres distinctes).
b) Soit A ∈ Mn(C) : expliquer pourquoi il existe P ∈GLn(C) et T triangulaire sup´erieure telles que A=P T P−1. Montrer que l’application lin´eaireM 7→P M P−1 est continue surMn(C). En d´eduire queP TkP−1→A.
c) Conclure.
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Exercice 13
Le th´eor`eme de Weierstrass affirme que toute fonction continue de [a;b] dans R est limite uniforme de fonctions polynomiales.
a) Traduire ce r´esultat en terme de densit´e.
b) Soit f : [a;b]→Rune fonction continue, v´erifiantRb
a f(t)tndt= 0 pour toutn∈N. Montrer qu’alors Rb
af(t)g(t)dt= 0 pour toutg∈ C([a;b],R). En d´eduire quef = 0.
Exercice 14
SoitE=R[X]. PourP(X) =Pn
k=0akXk, on posekPk= Max{|ak|/0≤k≤n}et u(P)(X) =
n
X
k=1
1
kakXk , v(P)(X) =
n
X
k=1
kakXk
Montrer que k.k d´efinit une norme sur E et queu, v ∈ L(E). Les applications lin´eairesuet v sont-elles continues sur (E,k.k) ?
Pour aller plus loin
Exercice 15 – Hyperplans dans un evn
SoitE unK-evn. On rappelle qu’un hyperplan deE est le noyau d’une forme lin´eaire non nulle (ou, de fa¸con ´equivalente, un sev deE de codimension 1).
a) Soitϕune forme lin´eaire non continue surE : construire une suite (yn)n deEqui converge vers 0 et telle que∀n, ϕ(yn) = 1. Six∈E est fix´e, que peut-on dire de la suitexn =x−ϕ(x)yn?
b) En d´eduire qu’un hyperplan H = Kerϕde E est ou bien ferm´e dans E (lorsque ϕest continue) ou bien dense dansE (lorsqueϕest non continue).
c) Application : soitE=C([−1; 1],R) etF ={f ∈E/f(0) = 0}. Montrer queF est ferm´e dans (E, N∞) mais dense dans (E, N1).
Exercice 16 – Limite d’une suite vue comme limite d’une fonction
Soit Y un espace topologique et (un) une suite d’´el´ements de Y : on peut voir cette suite comme une applicationu:N→Y, d´efinie paru(n) =un.
(a) Montrer queu:N→Y est automatiquement continue.
(b) On poseX =N∪ {+∞}. On munitX de la topologie suivante : les ouverts non vides deX sont les r´eunions de parties finies deNet de parties de la forme{n≥N} ∪ {+∞}. V´erifier que c’est bien une topologie surX, et qu’elle induit surNla topologie discr`ete.
(c) Montrer queN=X.
(d) Soitl∈Y : montrer que la suite (un) converge verslsi et seulement si la fonctionu:N→Y a pour limitel en +∞ ∈N.
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