TS9 Interrogation 4B 20 mars 2019 Calculatrice interdite.
Exercice 1 :
Dans cet exercice xety d´esignent des entiers relatifs.
(1) Montrer que l’´equation (E) : 65x−40y= 1 n’a pas de solution.
(2) Montrer que l’´equation (E0) : 17x−40y = 1 admet au moins une solution.
(3) D´eterminer `a l’aide de l’algorithme d’Euclide un couple d’entiers relatifs solution de l’´equation (E0).
(4) R´esoudre l’´equation (E0).
En d´eduire qu’il existe un unique naturel x0 inf´erieur `a 40 tel que 17x0 ≡1 [40].
Solution:
1. 65 et 40 sont multiples de 5, donc 65x−40y l’est aussi, alors que 1 ne l’est pas.
Conclusion : l’´equation 65x−40y= 1 n’a pas de solution dansZ×Z.
2. 17 et 40 sont premiers entre eux. Il existe donc au moins un couple (u; v) tel que 17u−40v= 1.
3. On a
40 = 17×2 + 6 (1)
17 = 6×2 + 5 (2)
6 = 5×1 + 1. (3)
D’o`u
1 = 6−5 (4)
1 = 6−(17−2×6) =−17 + 3×6 (5)
1 =−17 + 3(40−2×17) = 3×40−7×17. (6) La derni`ere ´egalit´e peut s’´ecrire 17×(−7)−3×(−40) = 1, qui montre que le couple (−7 ; −3) est solution de l’´equation (E0).
4. On a le syst`eme
17x−40y = 1
17×(−7)−40×(−3) = 1 ⇒(par diff´erence) 17(x+ 7)−40(y+ 3) = 0 ⇐⇒ 17(x+ 7) = 40(y+ 3) (7).
Or on a vu que 17 et 40 sont premiers entre eux : d’apr`es le th´eor`eme de Gauss 40 divise 17(x+7) et est premier avec 17, il divise doncx+7. Il existe donck∈Ztel quex+7 = 40k ⇐⇒ x=−7+40k.
En reportant dans (7) et en simplifiant par 40, on obtient 17k=y+ 3 ⇐⇒ y=−3 + 17k.
Inversement : si x=−7 + 40k ety=−3 + 17k, k∈Z, alors
17x−40y= 17(−7 + 40k)−40(−3 + 17k) =−119 + 680k+ 120−680k= 1.
Les solutions de (E0) sont donc tous les couples (−7 + 40k ; −3 + 17k) avec k∈Z.
Soit un couple (x ; y) solution de (E0). Si x ∈Net x <40, alors 0<−7 + 40k <40 ⇐⇒ 7<
40k <47⇒0< k <2.
Il y a une seule solution k= 1 qui donne x0 = 33.
Effectivement : 17×33 = 561 = 40×14 + 1.
