Soit (u 1 , · · · , u d ) une base orthonormale de R d . Montrer que

Correction du TD4

L3, Dauphine, 2020-2021 D. Gontier, gontier@ceremade.dauphine.fr

Échauffement

Exercice 1.

Soit (u 1 , · · · , u d ) une base orthonormale de R ^d . Montrer que

I d =

d

X

i=1

|u i ihu i |.

Pour tout x ∈ R ^d , on a x =

d

X

i=1

hu i , xiu i =

d

X

i=1

u i u ^T _i x

=

d

X

i=1

|u i ihu i |

! x.

Exercice 2.

Soit A ∈ S d ( R ), et soit λ 1 ≤ λ 2 ≤ · · · ≤ λ d ses valeurs propres rangées dans l’ordre croissant, et soit (u 1 , · · · , u d ) une base orthonormale de vecteurs propres associés.

a/ Montrer que

A =

d

X

i=1

λ i |u i ihu i |.

b/ Montrer que pour tout P ∈ R [X ], on a P (A) = P d

i=1 P (λ _i )|u _i ihu _i |.

c/ En déduire qu’il existe P ∈ R [X ] de degré d tel que P (A) = 0.

d/ On suppose que A ∈ S _d ⁺ ( R ). Montrer que pour tout n ∈ N ^∗ , il existe B n ∈ S _d ⁺ ( R ) tel que (B n ) ⁿ = A.

On note généralement B n =: A ^1/n .

a/ Soit B l’opérateur de gauche. On a Bu k =

d

X

i=1

λ i |u i ihu i |u k i = λ k u k ,

par orthonormalité des u _i . Donc Bu _k = λ _k u _k = Au _k . Les opérateurs associés A et B coïncident sur la base u _i , donc A = B.

b/ Pour commencer, on a que P (A) est symétrique. De plus, on obtient facilement P(A)u _i = P(λ _i )u _i , donc u _i est vecteur propre de P(A) avec valeur propre associée P (λ _i ). En appliquant la question a/ à P(A), on en déduit que

P (A) =

d

X

i=1

P(λ i )|u i ihu i |.

c/ Il suffit de prendre P (X ) := (X − λ ₁ ) · · · (X − λ _d ).

d/ On pose B := P d

i=1 λ ^1/n _i |u _i ihu _i |, qui est bien défini car λ _i ≥ 0. D’après la question b/, on a bien B ⁿ = A.

Exercice 3.

Soit A : t 7→ A(t) une application continue de [0, 1] à valeurs dans S d ( R ), et soit A := R 1 0 A(t)dt.

a/ Montrer que A ∈ S d ( R ).

b/ On suppose qu’il existe l ≤ L tel que, ∀t ∈ [0, 1], l ≤ A(t) ≤ L. Montrer que l ≤ A ≤ L.

a/ L’intégrale d’une matrice, c’est la matrice des intégrales des composantes. On en déduit la symétrie de A.

b/ Par définition, pour tout x ∈ S ^d−1 , on a l ≤ hx, A(t)xi ≤ L. En intégrant, on obtient l ≤

Z 1

0

hx, A(t)xidt =

x, Z 1

0

A(t)dt

x

= hx, Axi ≤ L.

Ceci étant vrai pour tout x ∈ S ^d−1 , on a bien l ≤ A ≤ L.

Calcul de valeurs propres

Exercice 4.

a/ On note S ^d−1 :=

x ∈ R ^d , kxk 2 = 1 . Montrer que S ^d−1 est compact, puis que λ 1 = min

hx, Axi _R

, x ∈ S ^d−1 , et λ d = max

hx, Axi _R

, x ∈ S ^d−1 , kxk = 1 . b/ En déduire que kAk op = max{|λ 1 |, |λ d |}.

a/ S ^d−1 est fermé (car c’est k · k ⁻¹ ({1}) par exemple), et borné, donc compact. En particulier, le problème d’optimisation est bien posé.

Pour x ∈ R ^d , on a

hx, Axi =

d

X

i=1

λ _i |hu _i , xi| ² ≥ λ ₁

d

X

i=1

|hu _i , xi| ² = λ ₁ kxk ² ,

on où a utilisé le premier exo pour la dernière égalité. De plus, on a égalité si x = u 1 , d’où le résultat. La preuve pour λ d est similaire.

b/ On a

kAk op = max

x∈ S

kAxk _R

= max

x∈ S

p hx, A ² xi = p

λ d (A ² ) = max{|λ 1 (A)|, |λ d (A)|}.

Exercice 5. Méthode des puissances itérées

Soit A ∈ S _d ⁺⁺ ( R ). On suppose que les valeurs propres de A sont toutes distinctes. On les note 0 < λ 1 < · · · < λ d , et (u ₁ , . . . u _d ) est une base orthonormale de vecteurs propres associés.

a/ Soit b ∈ R ^d tel que hb, u _d i > 0. Montrer que

n→∞ lim A ⁿ b

kA ⁿ bk = u d , et que λ d = lim

n→∞

kA ⁿ⁺¹ bk kA ⁿ bk . b/ En déduire un algorithme itératif pour calculer λ _d et u _d .

c/ Soit b ∈ R ^d tel que hb, u _d−1 i 6= 0, et soit e b := b − hb, u _d iu d . Montrer que

n→∞ lim A ⁿ b e

kA ⁿ bk e = ±u d−1 , et que λ _d−1 = lim

n→∞

kA ⁿ⁺¹ e bk kA ⁿ bk e .

a/ On a

A ⁿ b = λ ⁿ _d

hb, u d iu d + λ _d−1

λ _d ⁿ

hb, u _d−1 iu _d−1 + · · ·

.

En particulier, comme λ _d−1 < λ _d , on a lim _n→∞ λ ⁻ⁿ _d A ⁿ b = hb, u d iu d 6= 0. En divisant par la norme, on obtient la première égalité. La seconde s’obtient simplement en écrivant

λ d = kλ d u d k = kAu d k = lim

n→∞

A A ⁿ b kA ⁿ bk

= lim

n→∞

kA ⁿ⁺¹ bk kA ⁿ bk . b/ On peut calculer λ d et u d avec le code suivant.

1 d e f p l u s G r a n d e V A P ( A , tol =1 e -6 , N i t e r = 1 0 0 0 ) : 2 d = s h a p e ( A ,0)

3 b = 0 , r a n d ( d ) 4 u_n = b / n o r m ( b )

5 l a m b d a _ n = n o r m ( dot ( A , u_n ) ) 6 f o r n in r a n g e ( N i t e r ) :

7 if n o r m ( dot ( A , u_n ) - l a m b d a _ n * u_n ) < tol : 8 r e t u r n l a m b d a _ n , u_n

9 u_n = dot ( A , u_n ) / n o r m ( A , u_n ) 10 l a m b d a _ n = n o r m ( dot ( A , u_n ) )

c/ On remarque que hu d , bi e = hu d , bi − hu d , bi = 0. Autrement dit, on peut reprendre la question a/ en com- mençant avec λ d−1 . Le reste suit.

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Exercice 6. (Le principe min-max de Courant-Fisher)

Soit A ∈ S d ( R ). On note λ 1 ≤ λ 2 ≤ · · · ses valeurs propres, et (u 1 , · · · u d ) les vecteurs propres associés.

Soit V k l’ensemble des sous-espaces vectoriel de R ^d de dimension k. Pour V ∈ V k . On note µ(V ) := max

hx, Axi, x ∈ S ^d−1 ∩ V , puis µ k := inf {µ(V ), V ∈ V k } . Enfin, pour k ≥ 1, on note L k l’espace vectoriel généré par {u k , u k+1 , · · · u d }.

1/ Pour k = 1, montrer que pour tout V ∈ V 1 , on a µ(V ) ≥ λ ₁ . En déduire que λ ₁ = µ ₁ . 2/ Montrer que pour tout V ∈ V k , on a V ∩ L _k 6= {0}.

3/ En déduire que pour tout V ∈ V k , on a µ(V ) ≥ λ _k . 4/ Montrer la formule du min-max :

λ k = µ k = min

V ∈V

max

hx, Axi.

cf la preuve dans Wikipédia : Théorème min-max de Courant-Fischer.

Exercice 7. (Projections)

On dit que P ∈ M d ( R ) est une projection si P = P ^T P .

a/ Montrer que si P ∈ M d ( R ) est une projection, alors P ∈ S _d ⁺ ( R ) (P est symétrique positive).

b/ Montrer que P ∈ S _d ( R ) est une projection ssi ses seules valeurs propres sont 0 et 1.

c/ Soit P une projection de rang r ∈ N . Montrer que Tr (P) = r, puis qu’il existe r vecteurs orthonormaux (u 1 , · · · , u r ) tel que

P =

r

X

i=1

|u r ihu r |.

a/ On a P ^T = P ^T P = P donc P est symétrique. De plus, pour tout x ∈ R ^d , on a hx, P xi = kP xk ² ≥ 0, donc P est positive.

b/ Comme P est symétrique, on peut écrire sa décomposition spectrale. On écrit P = P d

i=1 λ _i |u _i ihu _i |.

Comme P ² = P , on doit avoir λ ² _i = λ _i , et donc λ _i ∈ {0, 1}.

c/ Soit r le rang de P. D’après la décomposition précédente, cela signifie qu’il y a r valeurs propres non nulles, forcément égalent à 1. Donc P est de la forme

P =

r

X

i=1

|u i ihu i |.

En prenant la trace, et en utilisant la cyclicité, on obtient

Tr (P ) =

r

X

i=1

Tr (|u i ihu i |) =

r

X

i=1

Tr (hu i , u i i

| {z }

=1

) =

r

X

i=1

1 = r ∈ N .

Exercice 8. (Produit de Hadamard)

Pour A, B ∈ M d ( R ), on note C := A B ∈ M d ( R ) (produit de Hadamard) la matrice définie par

∀1 ≤ i, j ≤ d, c ij = a ij b ij . a/ Montrer que si A, B ∈ S d ( R ) alors A B ∈ S d ( R ).

b/ Pour x ∈ R ^d , on note X = diag(x) ∈ S d ( R ) la matrice dont la diagonale est X ii = x i (et de même pour y → Y , z → Z etc.). Montrer que

hx, (A B)yi _R

= Tr (AXBY ) . c/ On suppose A, B ∈ S _d ⁺ ( R ). Montrer que pour tout x ∈ R ^d , √

AXBX √

A est une matrice symétrique positive.

d/ En déduire que si A, B ∈ S _d ⁺ ( R ), alors A B ∈ S _d ⁺ ( R ).

En Python, le produit de Hadamard se fait simplement avec C = A*B.

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a/ Evident.

b/ On a, en utilisant la symétrie de A et B, hx, A Byi = X

i,j

c ij x i y j = X

i,j

a ji x i b ij y j = Tr (AXBY ).

c/ Pour tout x ∈ R ^d , on a hx, √

AXBX √

Axi = hX √

Ax, B, X √

Axi ≥ λ 1 (B)kX √

Axk ² ≥ 0, donc la matrice √

AXBX √

A est positive.

d/ Si A est de plus positive, on peut écrire A = √ A √

A, et en utilisant la cyclicité de la trace, on obtient hx, A B, x = Tr (AXBX) = Tr ( √

AXBX √

X) ≥ 0, car la trace d’une matrice symétrique positive est positif. Cela conclut la preuve.

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