Exercice 1 (D’après ENSAM — L 1) Pour tout entier n on pose u n =
Z
π4
0
tan n t dt.
1) Montrer que (u n ) est décroissante.
2) Calculer u n+2 + u n
3) Déterminer un équivalent de u n . Exercice 2
Soit f : [0, 1] → R continue, telle que Z 1
0
f (x) dx = 1
2 . Montrer qu’il existe x 0 ∈]0, 1[ tel que f (x 0 ) = x 0 . Exercice 3 (Formule de la moyenne)
Soient f, g : [a, b] → R continues avec g > 0.
Montrer qu’il existe c ∈ [a, b] tel que Z b
a
f (t)g(t) dt = f (c) Z b
a
g(t) dt
Exercice 4 (*)
Soit I un intervalle de R et a ∈ I. Soit f ∈ C 1 (I, U ), et g : I → C définie par g(x) = ib + Z x
a
f 0 (t) f (t) dt, où b ∈ R est un argument de f (a).
1) Vérifier que g est bien définie et de classe C 1 sur I.
2) Soit h : I → C définie par h(x) = f(x) exp(−g(x)). Calculer h 0 et en déduire h.
3) Montrer qu’il existe une fonction θ : I → R , de classe C 1 , telle que f = e iθ . Exercice 5
On pose f(x) = Z 2x
x
sh (t) t dt.
Déterminer le domaine de définition, prolonger en 0, la dérivabilité, la dérivée, les variations puis la limite en +∞.
Exercice 6
Soit f : R ∗ + → R définie par f(x) = Z x
1
e −(xt)2 dt
t . Montrer que f est dérivable et calculer f 0 . Exercice 7
Calculer les limites suivantes : 1) lim
x→0
Z 3x x
1 − cos t
t 3 dt 2) lim
x→1
Z x
2x
t − 1
(ln t) 2 dt 3) lim
x→+∞
Z 2x x
cos(1/t)
t dt
Indication : Penser aux DL.
Exercice 8
1) Calculer la limite de la suite Z 1
0
x n ln(1 + x 2 ) dx
n
.
2) Trouver une suite de fonctions f n continues sur [0, 1] telles que pour tout x ∈ [0, 1], lim
n→+∞ f n (x) = 0, mais aussi telles que I n =
Z 1
0
f n (x) dx ne tende pas vers 0. Indication : On pourra faire un dessin.
3) Soit f : [0, 1] → R de classe C 2 . Calculer la limite de la suite n Z 1
0
e −nx f (x) dx
n
. Que peut-on dire si f est C 1 ?
Exercice 9
Soit f : R → R continue et T > 0.
1) On suppose qu’il existe K ∈ R telle que ∀x ∈ R , Z x+T
x
f (t) dt = K. Montrer que f est T -périodique.
2) Montrer la réciproque.
3) On suppose que f est T-périodique et d’intégrale nulle sur une période. Montrer que F , une primitive de f , est T-périodique. Est-ce toujours vrai en supposant seulement f périodique ?
Exercice 10 (Théorème de Riemann-Lebesgue) Soit f : [a, b] → C de classe C 1 .
1) Montrer que lim
s→+∞
Z b a
f (t)e ist dt = 0.
2) Soit ϕ : R → C une fonction continue, T -périodique, d’intégrale nulle sur une période.
Montrer que lim
s→+∞
Z b a
f (t)ϕ(st) dt = 0.
3) On ne suppose plus que ϕ est d’intégrale nulle. Déduire de la question précédente que
s→+∞ lim Z b
a
f (t)ϕ(st) dt = 1 T
Z T 0
ϕ(t) dt Z b
a
f (t) dt Exercice 11
Soit f : [a, b] → R continue. Montrer que x 7→
Z R
x af (t) dt a
f (u) du est dérivable puis calculer la dérivée.
Exercice 12
Soit f ∈ C 1 ([a, b], R ) telle que f 0 (x) ∈ [0, 1] pour tout x, et f (a) = 0. On définie la fonction F par F (x) =
Z x a
f 3 (t) dt − Z x
a
f (t) dt 2
1) Déterminer les variations de F . 2) Monter que
Z b a
f 3 (t) dt 6 Z b
a
f(t) dt
! 2
. Exercice 13 (*)
Soit f : R + → R une fonction dérivable et strictement croissante telle que f(0) = 0.
1) Pour tout x > 0 montrer que Z x
0
f (t) dt + Z f(x)
0
f −1 (t) dt = xf (x) (Indication : faire un dessin).
2) En déduire que Z a
0
f (t) dt + Z b
0
f −1 (t) dt > ab, l’égalité se produisant si et seulement si b = f (a).
Exercice 14 (Primitives)
Déterminer des primitives des fonctions suivantes sur des intervalles que l’on précisera : 1) 1
ix − 1 2) x 3 + x 2 + 1
x 2 + x + 1 3) 1
t(ln t) 2 4) cos x
sin(x) + 1 5) cos 2 x sin 4 x 6) x 2 e −3x 7) (x 2 + x + 1) cos(2x) 8) x Arctan x Exercice 15 (Cours)
Nature des intégrales : 1)
Z +∞
1
dt
t α , où α ∈ R ; 2) Z +∞
0
e −βt dt où β ∈ R 3) Z 1
0
dt
t α , où α ∈ R ; 4) Z 1
0
ln t dt Exercice 16 (un exemple)
Soit f : [0, +∞[→ R + défini par f (x) = 0 sauf sur les intervalles de la forme
n − 1
2 n , n + 1 2 n
(pour n ∈ N ∗ ) où la courbe C f forme un triangle de hauteur 1.
Faire un dessin. Encadrer Z X
0
f (t) dt lorsque X ∈
n − 1 2 , n + 1
2
. En déduire que Z +∞
0
f (t) dt converge.
Construire sur ce modèle une fonction g définie et continue sur R + , non bornée au voisinage de +∞ telle que
Z +∞
0
g(t) dt converge.
Exercice 17
Les intégrales suivantes sont-elles convergentes ?
1) Z +∞
0
e −t2dt 2)
Z +∞
0
t 3 − 5t 2 + 1
2t 4 + 2t 3 + t 2 + 1 dt 3) Z +∞
0
sin(t)
1 + cos(t) + e t dt 4)
Z 1 0
1 − t 2 1 − √
t dt 5)
Z
π20
tan(t)
t dt 6)
Z +∞
0
(ln t) 2 p |t 2 − 1|( √
t + 2) dt 7)
Z +∞
2 π
ln
cos 1 t
dt 8)
Z +∞
0
t n e −zt dt, où z ∈ C , n ∈ N . 9) Z +∞
1
e sin t t dt Exercice 18 (Intégrales de Bertrand)
Pour α, β ∈ R on étudie la nature de l’intégrale Z +∞
e
dt t α (ln t) β . 1) On suppose α 6= 1. Étudier la limite de t
1+α2t α (ln t) β lorsque t → +∞. En déduire la nature de l’intégrale.
2) Étudier le cas α = 1. Conclure.
3) Déduire du cas α = 1 la nature de X 1
n(ln n) β en fonction de β . 4) Déduire de l’étude précédente la nature de
Z 1/e 0
1
t α | ln t| β dt, où (α, β) ∈ R 2 . Exercice 19
Les intégrales suivantes sont-elles convergentes ? Si oui, calculer leur valeur.
1) Z +∞
1
ln(t)
t α dt 2)
Z 1 0
ln t
√ 1 − t dt 3) Z 1
−1
√ t
1 − t 2 dt 4)
Z
π2