u k est plus petit

Soit

Ω

^{un domaine borné du plan dontle spetre de Dirihlet est}

λ ₁ < λ ₂ ≤ λ ₃ · · · ր ∞

^.

Soit

(u k )

^{un base} Hilbertienne de

L ² (Ω)

^{assoiée àe spetre.}

Théorème 8.1 (Courant). Le nombre de domaines nodaux de la fontion

u _k

^{est plus petit}

où égal à

k

^.

Exerie 1. Montrez que lenombre de domaines nodaux d'une

k

^{-ième fontion propre peut}

être stritement inférieur à

k

^.

Exerie 2. Cherhez quelques informationsur les plaques de Chladni.

Endimension 1,le nombre de domaines nodaux de

u _k

^est

k

^{. Le théorème suivant montre}

que ette propriété n'est pas vraieen dimension plus grande.

Théorème 8.2 (Pleijel,1956). Soit

Ω ⊂ R ²

un domaine. Pour haque

k ∈ N

, posons

N (k)

lenombrede domainesnodauxmaximald'une

k

^{-ième fontionpropre. Alorsil existe}

n ₀ ∈ N

tel que pour haque

k ≥ n ₀

^,

N (k) < k.

Exerie 3. Le but de et exerie est de démontrer le Théorème de Pleijel.

(1) Soit

u

^{une fontion propre assoiée à la valeur propre}

λ _n

^{. Soit}

Ω ₁ , · · · , Ω _N

^{les do-}

maines nodaux de

u

^{. Montrez que pour haque}

k = 1, · · · , N

^,

λ _n = λ ₁ (Ω k ).

(2) Vous devrez utiliser une inégalité isopérimétrique spetrale très lassique, que nous

démontrerons bientt en lasse.

Théorème8.3(Faber,1923etKrahn,1926). Soit

Ω

^{undomaineeulidien. Onnote}

Ω ^⋆

^{laboule dont l'aire est ellede}

Ω

^{. On a alors}

λ ₁ (Ω) ≥ λ ₁ (Ω ^⋆ ).

Montrez que l'inégalité de FaberKrahn s'exprime aussi

|Ω|

πj ² ≥ 1 λ ₁ (Ω) ,

où

j

^{est la plus petite raine positive de la fontion de Bessel}

J ₀

^{. Pensez à utiliser}

l'homogénéité des valeurs propres: pour haque

c > 0

^,

λ _k (cΩ) = c ⁻² λ _k (Ω).

(3) Montrez que pour haque

k = 1, · · · , N

^,

1

λ _n ≤ |Ω k | πj ² .

(4) En déduire que

N

λ _n ≤ |Ω|

πj ² .

(5) Utilisez le théorème de Weyl, ainsi que la valeur expliite de

j

^{pour arriver à une}

ontradition.

Théorème9.1(LoideWeyl). Soit

Ω ⊂ R ^d

undomainebornéeulidien. Lesvaleurspropres de Dirihlet vérient

λ _k ∼ 4π ² ω ^2/d _d

k

|Ω|

2/d

, k → ∞,

où

ω _d = _Γ(1+d/2) ^{π d/2}

^{est la mesure d'uneboule de rayon 1 dans}

R ^d

.

La preuve de e théorème est présentée de manière très laire au Chapitre 3 du livre de

Boulton etLevitin.

On y fait appelà une généralisationde l'exeriesuivant.

Exerie 4. Soit

0 = µ ₀ < µ ₁ ≤ µ ₂ ≤ր ∞

^{le spetre de Neumann d'un domaine borné}

régulier

Ω

^{. Montrez que}

µ _k ≤ λ _k .